Что такое вещественное число

Вещественные числа в математике с примерами решения и образцами выполнения

Вещественные или действительные числа — это математическая абстракция, используемая для представления и сравнения значений физических величин. Чаще всего такое число представляют как описывающее положение точки или прямой. Множество вещественных чисел обозначается буквой R, которую нередко называют вещественной прямой.

Множества и обозначения. Логические символы

Понятие множества является одним из основных в математике. Оно принадлежит к так называемым первичным, неопределяемым понятиям. Слова «совокупность», «семейство», «система», «набор» и т. п. — синонимы слова «множество». Примерами множеств могут служить множество студентов данной аудитории; совокупность тех из них, кто сдал вступительные экзамены без троек; семейство звезд Большой Медведицы; система трех уравнений с тремя неизвестными; множество всех целых чисел и т. д. Из приведенных примеров следует, что множество может содержать конечное или бесконечное число произвольных объектов.

Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами или точками. Множества часто обозначают большими, а их элементы — малыми буквами. Если х — элемент множества X, то пишут Вещественные числа (х принадлежит X). Если х не является элементом множества X, то пишут (х не принадлежит X). Если — некоторые элементы, то запись означает, что множество X состоит из элементов Вещественные числа Аналогичный смысл имеет запись

Пусть X и У — два множества. Если X и У состоят из одних и тех же элементов, то говорят, что они совпадают, и пишут X=Y. Если в X нет элементов, не принадлежащих У, то говорят что X содержится в У или что X — подмножество множества У. В этом случае пишут Вещественные числа или (Y содержит X). Если X не содержится в У, то пишут В математике часто используется пустое множество. Оно не содержит ни одного элемента и обозначается символом Вещественные числа Пустое множество является подмножеством любого множества.

В дальнейшем нам придется иметь дело с различными множествами вещественных чисел*. Всюду, где это не может привести к неточности, для краткости вещественные числа будем называть просто числами.

* Вместо термина «вещественные числа» часто используют термин «действительные числа».

Пусть Р (х) — какое-то свойство числа х. Тогда запись Вещественные числа
означает множество всех таких чисел, которые обладают свойством
Р(х). Например, множество есть совокупность
корней уравнения т. е. это множество состоит из
двух элементов: Вещественные числа — множество всех чисел, удовлетворяющих неравенствам т. е. это пустое множество.

Если Вещественные числа — произвольные числа, то запись означает, что число х максимальное (минимальное) из чисел

В математических предложениях (формулировках определений, теорем и т. д.) часто повторяются отдельные слова и целые выражения. Поэтому при их записи полезно использовать экономную логическую символику.

Здесь мы укажем лишь несколько самых простых и употребительных логических символов. Вместо слова «существует» или «найдется» используют символ Вещественные числа [перевернутую латинскую букву Е (от английского слова Existence — существование)], а вместо слов «любой», «каждый», «всякий» — символ [перевернутое латинское А (от английского слова Any — любой)]. Например, запись Вещественные числа означает: «существует число х из множества X, такое, что …». Запись означает: «для любого числа х из множества X», а запись означает: «для любого числа х из множества X выполняется (или имеет место) утверждение Вещественные числа ».

Для облегчения понимания и чтения утверждений, записанных с помощью логических символов, все, что относится только к каж- каждому из них, заключают в круглые скобки. Так, например, запись Вещественные числа
читается так: «для любого существует такое, что для
всех х, не равных хо и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство

Вещественные числа

Символ в тексте означает конец доказательства.

Вещественные числа и их основные свойства

В курсе элементарной математики дается некоторое представление о вещественных числах. Из этого курса известно, что множество
вещественных чисел состоит из рациональных и иррациональных
чисел. Рациональным называется число, которое можно представить в виде p/q, где р и q — целые числа, причем Вещественные числа Иррациональным называется всякое вещественное число, которое не является рациональным. Всякое рациональное число является либо целым, либо представляется конечной или периодической бесконечной десятичной дробью. Иррациональное же число представляется непериодической бесконечной десятичной дробью. Например, рациональные числа 3/4 и 1/3 можно представить в виде следующих десятичных дробей: Вещественные числа иррациональные числа — в виде непериодических бесконечных десятичных дробей:

Систематизируем сведения о вещественных числах, перечислим основные свойства вещественных чисел, а затем выведем из них некоторые следствия.

Сложение и умножение вещественных чисел

Для любой пары а и b вещественных чисел определены и притом единственным образом два вещественных числа Вещественные числа называемые соответственно их суммой и произведением, причем имеют место следующие свойства. Каковы бы ни были числа а, b и с:
1°. (переместительное свойство).
2°. Вещественные числа (сочетательное свойство).
3°. (переместительное свойство).
4°. (сочетательное свойство).
5°. (распределительное свойство).
6°. Существует единственное число 0 такое, что а + 0=а для любого числа а.
7°. Для любого числа а существует такое число (—а), что а+(-а) = 0.
8°. Существует единственное число Вещественные числа такое, что для любого числа а имеет место равенство а • 1 = а.
9°. Для любого числа существует такое число что число обозначают также символом

Сравнение вещественных чисел

Для любых двух вещественных чисел а и b установлено одно из отношений: а=b (а равно b), а>b (а больше b) или b>а. Отношение = обладает свойством: если а=b и b=с, то а=с.

Отношение > обладает следующими свойствами. Каковы бы ни были числа а, b и с:
10°. Если Вещественные числа
11°. Если
12°. Если

Непрерывность вещественных чисел

13°. Пусть X и Y — два множества, состоящие из вещественных чисел. Тогда, если для любых чисел Вещественные числа выполняется неравенство то существует хотя бы одно число с такое, что для всех таких х и у выполняются неравенства

Отметим, что свойством непрерывности обладает множество всех
вещественных чисел, но не обладает множество только рациональных чисел. Действительно, пусть множество X состоит из рациональных чисел х, для которых выполняется неравенство Вещественные числа
а множество У состоит из рациональных чисел у, для которых выполняется неравенство Тогда, очевидно, для любого
и любого выполняется неравенство Вещественные числа однако
не существует рационального числа с такого, чтобы для всех таких
х и у выполнялись неравенства В самом деле, таким чис-
числом могло бы быть только Вещественные числа но оно, как известно, не является
рациональным.

Из свойств I, II, III вытекают все остальные свойства вещественных чисел. Познакомимся лишь с некоторыми из них, но в дальнейшем будем использовать и другие, не проводя их формального доказательства.

Каковы бы ни были числа а, b, с и d:
14°. Число Вещественные числа является решением уравнения а+х=b.
Действительно, согласно свойствам 1°, 2°, 6°, 7° имеем: а+b+(-a)=b.

Вещественные числа

Число b+(-a) называется разностью чисел b и а и обозначается b — а. Отметим, что если аа), то
разность b — а>0. В самом деле, из неравенства b>а в силу 11°
получаем:

15°. Число Вещественные числа является решением уравнения ах = b, если

Вещественные числа

Действительно, согласно свойствам 3°, 4°, 8°, 9° имеем:

Число Вещественные числа называется частным чисел b и а и обозначается
или b:а.
16°. Если a<b, то -а>-b.

Вещественные числа

В самом деле, так как а<b, то b—а>0. Следовательно, на
основании свойства 11° b-а+(-b)>0 + (-b), откуда полу-
получаем:

В частности, если а>0, то -a<0, а если а<0, то -а>0 (здесь использован тот факт, что -0 = 0, действительно, согласно свойству 6° (-0)+0=- 0, а на основании свойства 7° (-0)+0=0, откуда следует, что -0=0).

Вещественные числа

17°. Если а>b и с>d, то a+c>b+d.
В самом деле, если а>b и c>d, то в силу свойства 11° а+c>b+c и c+b>d+b. Поэтому согласно свойству 10° а+с>b+d.

Вещественные числа

18°. Если ad, то a-c<b-d.
В самом деле, так как c>d, то согласно свойству 16° -с<- d. Cкладывая почленно неравенства а<b и -с<-d (это можно делать в силу свойства 17°), получаем: a-c<b-d.

19°. Вещественные числа
В самом деле,

20°. Вещественные числа
В самом деле,

21°. Вещественные числа
В самом деле,

22°. Вещественные числа
В самом деле,

Отметим, что при замене суммы произведением использовано свойство 5°. Из свойства 22°, в частности, получаем:

23°. Если Вещественные числа
В самом деле, так как а<0, то -а>0, поэтому в силу свойства 12°. Следовательно, и, значит,

24°. Если Вещественные числа
В самом деле, так как Поэтому в силу свойства 23° Следовательно, и, значит,

25°. Если Вещественные числа
Справедливость данного утверждения следует из свойств 12° и 24°. В частности,

26°. Если Вещественные числа
В самом деле, согласно свойствам 9° и 25° а если предположить, что то в силу свойств 20° и 23° имеем: т. е. получено противоречие. Следовательно,

Итак, мы видим, что из основных свойств I—III вещественных чисел вытекают остальные их свойства. Поэтому можно сказать, что вещественные числа представляют собой множество элементов, обладающих свойствами I—III. Такое определение вещественных чисел называется аксиоматическим, а свойства I—III — аксиомами вещественных чисел.

В заключение отметим, что, исходя из свойств I—III, любое вещественное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби. Однако останавливаться на рассмотрении этого вопроса не будем.

Геометрическое изображение вещественных чисел

Изображение вещественных чисел точками на координатной прямой

Введем ряд предварительных понятий. Рассмотрим произвольную прямую. На ней можно указать два взаимно противоположных направления. Выберем одно из них и на рисунке будем обозначать его стрелкой (рис. 1). Пусть, кроме того, выбрана масштабная единица для измерения длин отрезков. Прямая с выбранным на ней направлением называется осью.

Рассмотрим на оси две произвольные точки Л и В. Отрезок с граничными точками Л и В будем называть направленным, если указано, какая из точек Л и В считается началом, а какая — кон-
концом отрезка. Направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В обозначим Вещественные числа и будем считать, что он направлен от начала к концу. Отметим, что в записи буква, обозначающая начало направленного отрезка, пишется первой, а буква, обозначающая его конец, — второй. Длина направленного отрезка Вещественные числа обозначается так:

Для направленных отрезков, лежащих на оси (или параллель-
параллельных оси), вводится понятие величины направленного отрезка. Величиной АВ направленного отрезка Вещественные числа называется число, равное , если направления отрезка и оси совпадают, и равное — , если эти направления противоположны. Для отрезков изображенных на рис. 2, Вещественные числа

Вещественные числа

Заметим, что величины направленных отрезков Вещественные числа при
любом направлении оси отличаются знаками:

Если точки А и В совпадают, то величину направленного отрезка будем считать равной нулю.

Для любых трех точек А, В и С на оси справедливо равенство
АВ + ВС = АС,
которое назовем основным тождеством (в дальнейшем оно неоднократно используется).

Справедливость основного тождества легко устанавливается из
рисунка, но при этом нужно рассмотреть различные случаи взаимного расположения точек А, В и С на оси. Если все три точки А,
В и С различны, то таких случаев шесть (рис. 3). В каждом из этих
случаев основное тождество проверяется элементарно.

Перейдем теперь к геометрическому изображению вещественных
чисел. Рассмотрим какую-нибудь прямую. Выберем на ней направление (тогда она станет осью) и некоторую точку О (начало
координат). Прямую с выбранным направлением и началом координат назовем координатной прямой (считаем, что масштабная единица выбрана). Пусть М — произвольная точка на прямой (рис. 4, а).

Вещественные числа

Поставим в соответствие точке М число х, равное величине ОМ
направленного отрезка Число х называется координатой
точки М. Тем самым каждой точке координатной прямой будет
соответствовать определенное вещественное число — ее координата. Справедливо и обратное: каждому вещественному числу х
соответствует некоторая точка на координатной прямой, а именно
такая точка М, координата которой равна х.

Таким образом, вещественные числа можно изображать точками
на координатной прямой. Поэтому около точки на координатной
прямой часто указывают число —ее координату (рис. 4, б).

Пусть точка Вещественные числа имеет координату , а точка — координату
(рис. 5.). Выразим величину направленного отрезка через координаты точек и . Согласно основному тождеству
Вещественные числа
откуда поэтому

Эту формулу будем часто использовать в аналитической геометрии.

Вещественные числа

Некоторые наиболее употребительные числовые множества

Пусть а и b — два числа, причем а<b. Будем пользоваться cледующими обозначениями:
Вещественные числа Множество всех вещественных чисел будем обозначать так:

Все эти множества называются промежутками, причем [а, b] —
отрезок (сегмент), Вещественные числа —полуинтервалы, а — интервалы. Промежутки называются конечными; а и b называются их концами. Остальные промежутки называются бесконечными.

Числовым промежуткам соответствуют промежутки на координатной прямой. Например, сегмент Вещественные числа изображается на координатной прямой отрезком таким, что точка имеет rоординату , а точка —координату (рис. 5). Изображением
множества всех чисел служит вся координатная пря-
прямая. Поэтому множество Вещественные числа называется также числовой прямой, а любое число — точкой этой прямой. Пусть а —произвольная точка числовой прямой и — положительное число. Интервал Вещественные числа называется -окрестностью точки а.

Грани числовых множеств

Говорят, что. множество X ограничено сверху (снизу), если существует число с такое, что для любого Вещественные числа выполнено неравенство Число с в этом случае называется верхней (нижней) гранью множества X.

Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным.

Так, например, любой конечный промежуток Вещественные числа ограничен. Интервал есть множество, ограниченное снизу, но не ограниченное сверху; а вся числовая прямая есть множество, не ограниченное ни сверху, ни снизу.

Очевидно, что любое ограниченное сверху (снизу) множество X имеет бесконечно много верхних (нижних) граней. В самом деле, если число с является верхней (нижней) гранью множества X, то любое число с’, большее (меньшее) числа с, — также верхняя (нижняя) грань множества X, так как из справедливости неравенства Вещественные числа следует, что

Естественно, возникает вопрос о существовании наименьшей из верхних граней ограниченного сверху множества и наибольшей из нижних граней ограниченного снизу множества.

Наименьшая из верхних граней ограниченного сверху множества X называется точной верхней гранью множества X и обозначается символом sup X, а наибольшая из нижних граней ограниченного снизу множества X называется точной нижней гранью этого множества и обозначается символом inf X*.

Примеры:

Пусть Вещественные числа Тогда число b является точной верхней гранью множества X, а число а — его точной нижней гранью, т. е. Пусть Тогда а верхних граней и в том числе точной верхней грани данное множество не имеет.

Точная верхняя грань (sup X) обладает следующим важным свойством. Как бы мало ни было число Вещественные числа найдется такое, что В самом деле, если бы такого числа х не нашлось, то число было бы также верхней гранью множества X и тогда число sup X не было бы точной (т. е. наименьшей) верхней гранью. Другими словами, данное свойство выражает тот факт, что число sup X является наименьшим среди чисел, ограничивающих множество X сверху, и не может быть уменьшено.

Отмеченное свойство точной верхней грани можно переформулировать следующим образом: если с = sup X, то для любого числа с’ < с существует число Вещественные числа такое, что Чтобы убедиться в равносильности данных формулировок, достаточно взять с’ и е, связанные равенством из которого следует, что условие Вещественные числа эквивалентно условию

Аналогичным свойством обладает и точная нижняя грань — как бы мало ни было число е>0, найдется Вещественные числа такое, что (Сформулируйте данное свойство в другом виде самостоятельно.)

Возникает вопрос, всегда ли ограниченное сверху (снизу) множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань. Ответ на этот вопрос дает следующая важная теорема.

Теорема:

Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

Доказательство:

Пусть X — непустое множество, ограниченное сверху. Тогда множество У чисел, ограничивающих X сверху, не пусто. Из определения верхней грани следует, что для любого Вещественные числа и любого имеет место неравенство В силу свойства непрерывности вещественных чисел существует такое число с, что для любых х и у выполняются неравенства
Вещественные числа

Из первого из неравенств (1) следует, что число с ограничивает множество X сверху, т..е. является верхней гранью, а из второго, — что оно наименьшее из таких чисел, т. е. является точной верхней гранью.

Вещественные числа

Случай существования точной нижней грани у не пустого ограниченного снизу множества рассматривается аналогично.

Вещественные числа

Если множество X не ограничено сверху (снизу), то условимся писать:

Абсолютная величина числа

Понятие абсолютной величины числа и неравенства, связанные с абсолютными величинами, в дальнейшем часто используются.

Определение:

Абсолютной величиной (или модулем) числа х называется само число х, если Вещественные числа число —х, если

Вещественные числа

Абсолютная величина числа х обозначается символом |х|. Таким образом,

Из определения вытекает ряд свойств абсолютной величины числа. Вещественные числа Из 1) и 2) получаем, что

Поскольку следующие три свойства очень важны, докажем их в виде теорем.

Теорема:

Пусть Вещественные числа — положительное число. Тогда неравенства равносильны*
Доказательство:

Пусть Вещественные числа Тогда:
1) если и, значит,
2) если значит, — откуда — Объединяя 1) и 2), при любом х получаем:

Пусть справедливы неравенства Вещественные числа Это означает, что одновременно выполняются неравенства Из последнего неравенства имеем: Так как, по определению, |х| есть либо х, либо — х, то

Теорема:

Вещественные числа

Абсолютная величина суммы двух чисел не больше суммы абсолютных величин этих чисел, т. е.

Доказательство:

Пусть х и у — любые числа. Согласно свойству 3° для них справедливы неравенства
Вещественные числа
Складывая их почленно, получаем

По теореме 1.2 это двойное неравенство равносильно неравенству Вещественные числа
Заметим, что

Теорема:

Вещественные числа

Абсолютная величина разности двух чисел не меньше разности абсолютных величин этих чисел, т. е.

Доказательство:

Вещественные числа

Для любых чисел х и у имеем

Вещественные числа

По теореме 1.3 справедливо неравенство

Откуда получаем: Вещественные числа
Заметим, что

Вещественные числа

В заключение отметим, что каковы бы ни были два числа х и у, имеют место легко проверяемые соотношения:

Свойства вещественных чисел

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Помощь студентам в учёбе lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

Действительные числа: определение, примеры, представления

Данная статья посвящена теме «Действительные числа». В статье дается определение действительных чисел, иллюстрируется их положение на координатной прямой, рассматриваются способы задания действительных чисел числовыми выражениями.

Определение действительных чисел

Целые и дробные числа вместе составляют рациональные числа. В свою очередь, рациональные и иррациональные числа составляют действительные числа. Как дать определение, что такое действительные числа?

Действительные числа — это рациональные и иррациональные числа. Множество действительных чисел обозначается через R.

Данное определение можно записать иначе с учетом следующего:

Рациональные числа можно представить в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби.
Иррациональные числа представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби.

Действительные числа — числа, которые можно записать в виде конечной или бесконечной (периодической или непериодической) десятичной дроби.

Действительные числа — это любые рациональные и иррациональные числа. Приведем примеры таких чисел: 0 ; 6 ; 458 ; 1863 ; 0 , 578 ; — 3 8 ; 26 5 ; 0 , 145 ( 3 ) ; log 5 12 .

Нуль также является действительным числом. Согласно определению, существуют как положительные, так и отрицательные действительные числа. Нуль является единственным действительным числом, которое не положительно и не отрицательно.

Еще одно название для действительных чисел — вещественные числа. Эти числа позволяют описывать значение непрерывно меняющейся величины без введения эталонного (единичного) значения этой величины.

Координатная прямая и действительные числа

Каждой точке не координатной прямой соответствует определенное и единственное действительное число. Иными словами, действительные числа занимают всю координатную прямую, а между точками кривой и числами присутствует взаимно-однозначное соответствие.

Представления действительных чисел

Под определение дейситвительных чисел попадают:

Натуральные числа.
Целые числа.
Десятичные дроби.
Обыкновенные дроби.
Смешанные числа.

Также действительные числа часто представляются в виде выражений со степенями, корнями и логарифмами. Сумма, разность произведение и частное действительных чисел также являются действительными числами.

Значение любого выражения, составленного из действительных чисел, также будет являться действительным числом.

Например, значения выражений sin 2 3 π · e — 2 8 5 · 10 log 3 2 и t g 6 7 6 693 — 8 π 3 2 — действительные числа.

Вещественное число

Веще́ственное, или действи́тельное число [1] — математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений [2] .

Если натуральные числа возникли в процессе счета, рациональные — из потребности оперировать частями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает также другие элементы, называемые иррациональными числами.

Наглядно понятие вещественного числа можно представить себе при помощи числовой прямой. Если на прямой выбрать направление, начальную точку и единицу длины для измерения отрезков, то каждому вещественному числу можно поставить в соответствие определённую точку на этой прямой, и обратно, каждая точка будет представлять некоторое, и притом только одно, вещественное число. Вследствие этого соответствия термин числовая прямая обычно употребляется в качестве синонима множества вещественных чисел.

Понятие вещественного числа прошло долгий путь становления. Ещё в Древней Греции в школе Пифагора, которая в основу всего ставила целые числа и их отношения, было открыто существование несоизмеримых величин (несоизмеримость стороны и диагонали квадрата), то есть в современной терминологии — чисел, не являющихся рациональными. Вслед за этим Евдоксом Книдским была предпринята попытка построить общую теорию числа, включавшую несоизмеримые величины. После этого, на протяжении более двух тысяч лет, никто не ощущал необходимости в точном определении понятия вещественного числа, несмотря на постепенное расширение этого понятия [3] . Лишь во второй половине XIX века, когда развитие математического анализа потребовало перестройки его основ на новом, более высоком уровне строгости, в работах К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда, Г. Кантора, Э. Гейне, Ш. Мере [3] была создана строгая теория вещественных чисел.

С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел — непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле.

Множество вещественных чисел имеет стандартное обозначение — R («полужирное R»), или $\mathbb<R>» width=»» height=»» /> (англ. blackboard bold «R») от лат. realis — действительный. <h3>Содержание</h3> <h3>История становления понятия вещественного числа</h3> <h4>Наивная теория вещественных чисел</h4> Первая развитая числовая система, построенная в Древней Греции, включала только натуральные числа и их отношения (пропорции, в современном понимании — рациональные числа). Однако вскоре выяснилось, что для целей геометрии и астрономии этого недостаточно: например, отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны не может быть представлено ни натуральным, ни рациональным числом [4] . Для выхода из положения Евдокс Книдский ввёл, в дополнение к числам, более широкое понятие геометрической величины, то есть длины отрезка, площади или объёма. Теория Евдокса дошла до нас в изложении Евклида («Начала», книга V). По существу, теория Евдокса — это геометрическая модель вещественных чисел. С современной точки зрения, число при таком подходе есть отношение двух однородных величин — например, исследуемой и единичного эталона. Следует, однако, подчеркнуть, что Евдокс остался верен прежней традиции — он не рассматривал такое отношение как число; из-за этого в «Началах» многие теоремы о свойствах чисел затем заново доказываются для величин. Классическая теория Дедекинда для построения вещественных чисел по своим принципам чрезвычайно похожа на изложение Евдокса. Однако модель Евдокса неполна во многих отношениях — например, она не содержит аксиомы непрерывности, нет общей теории арифметических операций для величин или их отношений и др. [5] Ситуация начала меняться в первые века н. э. Уже Диофант Александрийский, вопреки прежним традициям, рассматривает дроби так же, как и натуральные числа, а в IV книге своей «Арифметики» даже пишет об одном результате: «Число оказывается не рациональным» [6] . После гибели античной науки на передний план выдвинулись индийские и исламские математики, для которых любой результат измерения или вычисления считался числом. Эти взгляды постепенно взяли верх и в средневековой Европе [7] , где поначалу разделяли рациональные и иррациональные (буквально: неразумные) числа (их называли также мнимыми, абсурдными, глухими и т. п.). Полное уравнение в правах иррациональных чисел связано с трудами Симона Стевина (конец XVI века), который провозгласил [6] : <table style=$ Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной законченностью.

Он же, с некоторыми оговорками, легализовал отрицательные числа, а также развил теорию и символику десятичных дробей, которые с этого момента начинают вытеснять неудобные шестидесятеричные.

Спустя столетие Ньютон в своей «Универсальной арифметике» (1707) даёт классическое определение (вещественного) числа как отношения результата измерения к единичному эталону [8] :

Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой за единицу.

Долгое время это прикладное определение считалось достаточным, так что практически важные свойства вещественных чисел и функций не доказывались, а считались интуитивно очевидными (из геометрических или кинематических соображений). Например, считался самоочевидным тот факт, что непрерывная кривая, точки которой расположены по разные стороны от некоторой прямой, пересекает эту прямую. Строгое определение понятия непрерывности также отсутствовало [9] . Как следствие, немало теорем содержали ошибки, нечёткие или чрезмерно широкие формулировки.

Даже после того, как Коши разработал достаточно строгий фундамент анализа, положение не изменилось, поскольку теории вещественных чисел, на которую обязан был опираться анализ, не существовало. Из-за этого Коши сделал немало ошибок, положившись на интуицию там, где она приводила к неверным выводам: например, он полагал, что сумма ряда из непрерывных функций всегда непрерывна.

Создание строгой теории

Первую попытку заполнить пробел в основаниях математики сделал Бернард Больцано в своей статье «Чисто аналитическое доказательство теоремы, что между любыми двумя значениями, дающими результаты противоположного знака, лежит по меньшей мере один действительный корень уравнения» (1817). В этой пионерской работе ещё нет целостной системы вещественных чисел, но уже приводится современное определение непрерывности и показывается, что на этой основе теорема, упомянутая в заглавии, может быть строго доказана [10] . В более поздней работе [11] Больцано даёт набросок общей теории вещественных чисел, по идеям близкой к канторовской теории множеств [12] , но эта его работа осталась неопубликованной при жизни автора и увидела свет только в 1851 году. Взгляды Больцано значительно опередили своё время и не привлекли внимания математической общественности.

Современная теория вещественных чисел была построена во второй половине XIX века, в первую очередь трудами Вейерштрасса, Дедекинда и Кантора. Они предложили различные, но эквивалентные подходы к теории этой важнейшей математической структуры и окончательно отделили это понятие от геометрии и механики.

Конструктивные способы определения вещественного числа

При конструктивном определении понятия вещественного числа, на основе известных математических объектов (например, множества рациональных чисел $\mathbb<Q>» width=»» height=»» />), которые принимают заданными, строят новые объекты, которые, в определённом смысле, отражают наше интуитивное понимание о понятии вещественного числа. Существенным отличием между вещественными числами и этими построенными объектами является то, что первые, в отличие от вторых, понимаются нами лишь интуитивно и пока не являются строго определённым математическим понятием. Эти объекты и объявляют вещественными числами. Для них вводят основные арифметические операции, определяют отношение порядка и доказывают их свойства. Исторически первыми строгими определениями вещественного числа были именно конструктивные определения. В 1872 году были опубликованы одновременно три работы: теория фундаментальных последовательностей Кантора, теория Вейерштрасса (в современном варианте — теория бесконечных десятичных дробей) и теория сечений в области рациональных чисел Дедекинда [3] [13] . <h4>Теория фундаментальных последовательностей Кантора</h4> В данном подходе вещественное число рассматривается как предел последовательности рациональных чисел. Чтобы последовательность рациональных чисел сходилась, на неё накладывается условие Коши: <img decoding=$ .

Два вещественных числа

$\alpha = [a_n]$ и $\beta = [b_n]$ ,

определённые соответственно фундаментальными последовательностями $\<a_n\>» width=»» height=»» /> и <img decoding=$ и $\beta = [b_n]$ , то их суммой и произведением называются числа, определённые соответственно суммой и произведением последовательностей $\<a_n\>» width=»» height=»» /> и <img decoding=$ по определению больше числа $\beta=[b_n]$ , то есть $\alpha > \beta$ , если

$\exists \varepsilon > 0 \; \exists N: \; \forall n > N \; a_n \geqslant b_n + \varepsilon$

Способ построения множества вещественных чисел с помощью фундаментальных последовательностей рациональных чисел является частным случаем конструкции пополнения произвольного метрического пространства. Как и в общем случае, полученное в результате пополнения множество вещественных чисел само уже является полным, то есть содержит пределы всех фундаментальных последовательностей своих элементов.

Теория бесконечных десятичных дробей

Вещественное число определяется как бесконечная десятичная дробь, то есть выражение вида

$\pm a_0,a_1 a_2 \ldots a_n \ldots$

где $\pm$ есть один из символов или , называемый знаком числа, a_0 — целое неотрицательное число, $a_1, a_2, \ldots a_n, \ldots$ — последовательность десятичных знаков, то есть элементов числового множества $\<0, 1, \ldots 9\>» width=»» height=»» />. Бесконечная десятичная дробь интерпретируется как такое число, которое на числовой прямой лежит между рациональными точками вида <img decoding=$ и $\pm \left ( a_0,a_1 a_2 \ldots a_n + 10^<-n>\right )» width=»» height=»» /> для всех <img decoding=$

Сравнение вещественных чисел в форме бесконечных десятичных дробей производится поразрядно. Например, пусть даны два неотрицательных числа

$\begin<matrix>\alpha & = + a_0, a_1 a_2 \ldots a_n \ldots \\ \beta & = + b_0, b_1 b_2 \ldots b_n \ldots \end <matrix>» width=»» height=»» /> Если <img decoding=$ , то $\alpha <\beta$ ; если a_0 > b_0 то $\alpha > \beta$ . В случае равенства a_0 = b_0 переходят к сравнению следующего разряда. И так далее. Если $\alpha \neq \beta$ , то после конечного числа шагов встретится первый разряд , такой что $a_n \neq b_n$ . Если a_n < b_n , то $\alpha <\beta$ ; если a_n > b_n то $\alpha > \beta$ .

Однако, при этом следует учитывать, что число $a_0,a_1 a_2 \ldots a_n (9) = a_0,a_1 a_2 \ldots a_n + 10^<-n>» width=»» height=»» />. Поэтому если запись одного из сравниваемых чисел, начиная с некоторого разряда, представляет собой периодическую десятичную дробь, у которой в периоде стоит 9, то её следует заменить на эквивалентную запись, с нулём в периоде. Арифметические операции над бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение [14] соответствующих операций над рациональными числами. Например, суммой вещественных чисел <img decoding=$ и $\beta$ называется вещественное число $\alpha + \beta$ , удовлетворяющее следующему условию:

$\forall a$

Аналогично определяет операция умножения бесконечных десятичных дробей.

Теория сечений в области рациональных чисел

В подходе Дедекинда вещественные числа определяются с помощью сечений в множестве рациональных чисел.

Сечением в множестве рациональных чисел $\mathbb<Q>» width=»» height=»» /> называется всякое разбиение совокупности всех рациональных чисел на два непустых класса — нижний <img decoding=$ и верхний , так что каждое число из нижнего класса строго меньше всякого числа из верхнего:

$\mathbb<Q>= A \cup A» width=»» height=»» /> Если существует число <img decoding=$ , которое является максимальным в нижнем классе, либо минимальным в верхнем классе, то это число разделяет множества и : числа нижнего и верхнего классов лежат по разные стороны от $\alpha$ . Говорят также, что рациональное число $\alpha$ производит данное сечение множества рациональных чисел.

Если же в нижнем классе сечения нет максимального элемента, а в верхнем — минимального, то не существует никакого рационального числа, которое разделяло бы множества и . В этом случае по определению полагают, что данное сечение определяет некоторое иррациональное число $\alpha$ , которое находится между нижним и верхним классами, и тем самым производит данное сечение. Иначе говоря, для всякого сечения, не производимого никаким рациональным числом, вводят новый объект — иррациональное число, которое по определению больше всякого числа из нижнего класса и меньше всякого числа из верхнего класса:

$\forall a \in A, \forall a$

Объединение всех рациональных и всех иррациональных чисел называют множеством вещественных чисел, а его элементы — вещественными числами.

Арифметические операции над вещественными числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над рациональными числами. Например, суммой вещественных чисел $\alpha$ и $\beta$ называется вещественное число $\alpha + \beta$ , удовлетворяющее следующему условию:

$\forall a$

Аксиоматический подход

Построить множество вещественных чисел можно разными способами. В теории Кантора вещественные числа — классы эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел, в теории Вейерштрасса — бесконечные десятичные дроби, в теории Дедекинда — сечения в области рациональных чисел. Во всех этих подходах в результате мы получаем некоторое множество объектов (вещественных чисел), обладающих определёнными свойствами: их можно складывать, умножать, сравнивать между собой. Более того, коль скоро установлены свойства этих объектов, мы можем больше не апеллировать к тем конкретным конструкциям, с помощью которых они были построены.

В математике важна не конкретная природа объектов, а лишь математические соотношения, существующие между ними.

Для человека, который исследует математическое понятие количество элементов, безразлично, о чём говорить — о трёх яблоках или о трёх камнях, и их съедобность или несъедобность значения не имеет. В процессе отвлечения от несущественных признаков, то есть абстрагирования (лат. abstractio — отвлечение), он приходит к тому общему, что есть у трёх яблок и трёх камней — количеству элементов. Так возникает абстрактное понятие натурального числа. С этой точки зрения три яблока и три камня — две конкретные реализации, модели абстрактного понятия «число три».

Точно так же классы фундаментальных последовательностей рациональных чисел, бесконечные десятичные дроби, сечения в области рациональных чисел являются лишь конкретными реализациями, моделями вещественного числа. А само понятие вещественного числа определяется существующими для него математическими соотношениями. Коль скоро они установлены, определено и понятие вещественного числа.

Здесь уместно привести знаменитое высказывание Д. Гильберта, основоположника системного аксиоматического метода в математике, который, имея в виду аксиоматизацию геометрии, как-то заметил:

Аксиоматика вещественных чисел

$\R$

Множество называется множеством вещественных чисел, а его элементы — вещественными числами, если выполнен следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой вещественных чисел:

Аксиомы поля

$\R$

На множестве определено отображение (операция сложения)

$+ : \R \times \R \to \R$

сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов a, b из $\R$ некоторый элемент из того же множества $\R$ , называемый суммой и ( a+b эквивалентная запись элемента множества $\R$ ).

$\R$

Также, на множестве определено отображение (операция умножения)

$\cdot : \R \times \R \to \R$

сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов a, b из $\R$ некоторый элемент $a \cdot b$ , называемый произведением и .

При этом имеют место следующие свойства.

$\text_<1>. » width=»» height=»» /> Коммутативность сложения. Для любых <img decoding=$ a + b = b + a $\text_<2>.» width=»» height=»» /> Ассоциативность сложения. Для любых <img decoding=$ a + (b + c) = (a + b) + c $\text_<3>.» width=»» height=»» /> Существование нуля. Существует элемент <img decoding=$ , называемый нулём, такой, что для любого $a \in \R$ a + 0 = a $\text_<4>.» width=»» height=»» /> Существование противоположного элемента. Для любого <img decoding=$ существует элемент $-a \in \R$ , называемый противоположным к , такой, что a + (-a) = 0 $\text_<5>.» width=»» height=»» /> Коммутативность умножения. Для любых <img decoding=$ $a \cdot b = b \cdot a$ $\text_<6>.» width=»» height=»» /> Ассоциативность умножения. Для любых <img decoding=$ $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ $\text_<7>.» width=»» height=»» /> Существование единицы. Существует элемент <img decoding=$ , называемый единицей, такой, что для любого $a \in R$ $a \cdot 1 = a$ $\text_<8>.» width=»» height=»» /> Существование обратного элемента. Для любого <img decoding=$ существует элемент $a^<-1>\in \R» width=»» height=»» />, обозначаемый также <img decoding=$ и называемый обратным к , такой, что $a \cdot a^<-1>= 1 » width=»» height=»» /> <img decoding=$ $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ $\text_<10>.» width=»» height=»» /> Нетривиальность поля. Единица и ноль — различные элементы <img decoding=$ :

$1 \neq 0$

Аксиомы порядка

Между элементами $\R$ определено отношение $\leqslant$ , то есть для любой упорядоченной пары элементов a,b из $\R$ установлено, выполняется соотношение $a \leqslant b$ или нет. При этом имеют место следующие свойства.

$\text<II>_<1>.» width=»» height=»» /> Рефлексивность. Для любого <img decoding=$

$a \leqslant a$

$\text<II>_<2>.» width=»» height=»» /> Антисимметричность. Для любых <img decoding=$

$(a \leqslant b) \and (b \leqslant a) \Rightarrow (a = b)$

$\text<II>_<3>.» width=»» height=»» /> Транзитивность. Для любых <img decoding=$

$(a \leqslant b) \and (b \leqslant c) \Rightarrow (a \leqslant c)$

$\text<II>_<4>.» width=»» height=»» /> Линейная упорядоченность. Для любых <img decoding=$

$(a \leqslant b) \or (b \leqslant a)$

$\text<II>_<5>.» width=»» height=»» /> Связь сложения и порядка. Для любых <img decoding=$

$(a \leqslant b) \Rightarrow (a + c \leqslant b + c)$

$\text<II>_<6>.» width=»» height=»» />Связь умножения и порядка. Для любых <img decoding=$

$(0 \leqslant a) \and (0 \leqslant b)\Rightarrow (0 \leqslant a \cdot b)$

Аксиомы непрерывности

$\text<III>_<1>.» width=»» height=»» /> Каковы бы ни были непустые множества <img decoding=$ и $b \in B$ выполняется неравенство $a \leqslant b$ , существует такое число $\xi \in \R$ , что для всех $a \in A$ и $b \in B$ имеет место соотношение $a \leqslant \xi \leqslant b$

Этих аксиом достаточно чтобы строго вывести все известные свойства вещественных чисел [16] .

На языке современной алгебры аксиомы первой группы означают, что множество $\R$ является полем. Аксиомы второй группы — что множество $\R$ является линейно упорядоченным множеством ( $\text<II>_<1>» width=»» height=»» /> — <img decoding=$ [17] и b > 0 . Тогда элемент можно повторить слагаемым столько раз, чтобы образовавшаяся в результате сумма превзошла :

$a + a + \ldots + a > b$

$\text<III>_<2>» width=»» height=»» /> Аксиома полноты (в смысле Гильберта). Систему <img decoding=$ невозможно расширить ни до какой системы $\R^<*>» width=»» height=»» />, так чтобы при сохранении прежних соотношений между элементами <img decoding=$ , для $\R^<*>» width=»» height=»» /> выполнялись бы все аксиомы <img decoding=$

Изначально вещественные числа были естественным обобщением рациональных, но у них впервые было обнаружено свойство несчётности, которое говорит о том, что множество вещественных чисел нельзя занумеровать, т. е. не существует биекции между множествами вещественных и натуральных чисел. Чтобы показать несчётность всего множества вещественных чисел, достаточно показать несчётность интервала . [18]

Пусть все числа указанного промежутка уже занумерованы некоторым образом. Тогда их можно выписать в следующем виде:

$x_1 = 0,a_<11>a_ <12>\cdots a_ <1m>\cdots» width=»» height=»» /> <img decoding=$ $x_k = 0,a_<k1>a_ <k2>\cdots a_ <km>\cdots» width=»» height=»» /> <img decoding=$

Здесь a_<ij>» width=»» height=»» /> — <img decoding= -я цифра -ого числа. Очевидно, что все числа указанного вида действительно принадлежат рассматриваемому промежутку, если только в каждом числе не все цифры сразу являются нулями или девятками.

Далее предлагается рассмотреть следующее число:

$x = 0, d_1 d_2 \cdots d_m \cdots$

d_i

Пусть каждая цифра этого числа удовлетворяет следующим трём свойствам:

$d_i \neq 0$
$d_i \neq 9$
интересно тем фактом, что оно не совпадает ни с одним из чисел , выписанных выше, ведь иначе -я цифра числа совпала бы с -ой цифрой числа . Пришли к противоречию, заключающемуся в том, что как бы числа рассматриваемого промежутка ни были занумерованы, всё равно найдётся число из этого же промежутка, которому не присвоен номер. [18]

Это свидетельствует о том, что множество вещественных чисел не является счётным. Его мощность называется мощностью континуума.

Обобщение вещественных чисел

Поле вещественных чисел alt=»\mathbb» width=»» height=»» /> постоянно служило в математике источником обобщений, причём в различных практически важных направлениях. Непосредственно к полю alt=»\mathbb» width=»» height=»» /> примыкают следующие варианты обобщённых числовых систем.
Прикладные применения

Математическая модель вещественных чисел повсеместно применяется в науке и технике для измерения непрерывно меняющихся величин. Однако это не главное её применение, потому что реально измеренные величины всегда имеют конечное число десятичных знаков, то есть являются рациональными числами. Основное назначение этой модели — служить базой для аналитических методов исследования. Огромный успех этих методов за последние три века показал, что модель вещественных чисел в большинстве случаев достаточно адекватно отражает структуру непрерывных физических величин.

Сказанное, конечно, не означает, что вещественная числовая прямая есть точный образ реальной непрерывной величины. Например, современной науке пока не известно, дискретны ли пространство и время или делимы неограниченно; однако даже во втором случае модель вещественных чисел для этих величин должна рассматриваться как приближённая, поскольку понятия точки пространства и момента времени представляют собой идеализации, не имеющие реального аналога. Этот фундаментальный вопрос широко обсуждается в науке, начиная с апорий Зенона. Приближённой эта модель является и в применении к величинам, которые в классической физике рассматривались как непрерывные, но в действительности оказались дискретными (квантуемыми).

См. также

Примечания
1. ↑ Названия вещественное число и действительное число равнозначны. Исторически в Московской математической школе использовали термин действительное число, а в Ленинградской — вещественное число. В качестве примера можно привести две классические работы:
 - Лузин, Н. Н. Теория функций действительного переменного. (Московская школа)
 - Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной. (Ленинградская школа)
 В современных университетских учебниках употребляются оба термина:
 - Зорич В. А. Математический анализ. (МГУ, мехмат) — действительное число
 - Ильин В. А., Позняк В. Г. Основы математического анализа. (МГУ, физфак) — вещественное число
 - Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. (МФТИ) — действительное число
 - Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. (СПбГУ) — вещественное число
2. ↑ См. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — Т. 1. — С. 35-36. , а также Бурбаки Н. Очерки по истории математики. — С. 146.
3. ↑ 123Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. — С. 287-289.
4. ↑Бурбаки Н.. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — С. 147.
5. ↑ История математики. — Т. I. — С. 96-101.
6. ↑ 12Бурбаки Н.. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — С. 150-151.
7. ↑ История математики. — Т. I. — С. 190-191, 304-305.
8. ↑ История математики. — Т. II. — С. 35.
9. ↑Бурбаки Н.. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — С. 154.
10. ↑ Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей / Под ред. А. П. Юшкевича. — М .: Просвещение, 1977. — С. 171-178. — 224 с.
11. ↑Бернард Больцано.Парадоксы бесконечного.
12. ↑Рыхлик Карел. Теория вещественных чисел в рукописном наследии Больцано // ИМИ, 1958. № 11. С. 515—532.
13. ↑Рыбников К. А. История математики. — Т. 2. — С. 196.
14. ↑ Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида $\<x: \alpha < x < \beta\>» width=»» height=»» /></li> <li>↑Рид К. Гильберт. — С. 79.</li> <li>↑ См. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — Т. 1.</li> <li>↑<img decoding=$ Что такое абстрактный класс
15. Экземпляр и штука в чем разница
16. Эливел iwk ошибка е7 как сбросить
17. Юнитест что это