Простые и составные числа
Натуральные числа, большие единицы, в зависимости от количества их делителей, подразделяются на простые и составные числа.
Простое число — это натуральное число, которое больше единицы и делится только на единицу и само на себя.
2, 5, 7, 11 — простые числа.
2 — делится на 1 и на 2.
5 — делится на 1 и на 5.
7 — делится на 1 и на 7.
11 — делится на 1 и на 11.
Составное число — это натуральное число, которое больше единицы, делится не только на единицу и само на себя, но и ещё хотя бы на одно натуральное число.
4, 6, 9, 10 — составные числа.
4 — делится на 1, на 2 и на 4.
6 — делится на 1, на 2, на 3 и на 6.
9 — делится на 1, на 3 и на 9.
10 — делится на 1, на 2, на 5 и на 10.
Наименьшее простое число — число 2 (оно же первое простое число). Это единственное чётное простое число. Все остальные простые числа нечётные.
Наименьшее составное число — число 4 (оно же первое составное число).
Простых и составных чисел бесконечно много, есть первое простое и составное число, но нет последнего простого и составного числа.
Единица имеет только один делитель — само число 1. Этим единица отличается от всех остальных натуральных чисел, поэтому условились считать, что единица не является ни простым, ни составным числом.
Не существует простых чисел, оканчивающихся на 4, 6, 8 или 0. Среди простых чисел есть только одно число, оканчивающееся на 2 — само число 2, из оканчивающихся на 5 — тоже есть только одно число — само число 5. Все остальные простые числа, кроме 2 и 5, оканчиваются на 1, 3, 7 или 9. Не все числа, оканчивающиеся на 1, 3, 7, 9, являются простыми, например числа 21, 27, 33, 39 и многие другие — составные.
Калькулятор
Данный калькулятор поможет вам узнать является число простым или составным. Просто введите число и нажмите кнопку Определить .
Урок 4 Бесплатно Простые и составные числа
На этом уроке мы познакомимся с двумя видами чисел. Они будут различаться количеством делителей.
Также узнаем, как можно разложить составное число на простые числа, изучим основную теорему арифметики и увидим решето Эратосфена.
Давайте же начнём!
Простые и составные числа
Если мы попытаемся разделить число 11 на какие-нибудь числа без остатка, то у нас получится это сделать, только если мы будем делить на 1 или на 11.
Получается, что число 11 имеет только два делителя: 1 и 11.
Если мы поступим так же с числами 9 и 18, то узнаем, что у числа 9 три делителя: 1, 3 и 9, а число 18 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 6, 9 и 18
Первое число, у которого всего два делителя, — это простое число. А вот такие числа, как 9 и 18, называют составными числами.
Натуральное число простое, если оно имеет делителями только единицу и само себя.
Если натуральное число имеет больше двух делителей, то оно называется составным.
Есть число, которое не относится ни к первым, ни ко вторым. Это число 1. Оно имеет всего один делитель — само это число.
Таким образом, числа, которые мы используем при счете, в итоге можно разделить на три разные группы по количеству делителей:
- простые имеют всегда пару делителей: единицу и само себя, например: 2, 3, 5, 7, 11, 17, 19, 23 и т.д.
- составные имеют всегда три или больше делителей, например: 4, 6, 8,10,15, 22 и т.д.
- единица (1) со своим единственным делителем
Пример 1
Даны числа: 1, 7, 10, 12, 13, 24. Найдите все делители для каждого из чисел. Выпишите числа, имеющие:
А) один делитель
В) больше двух делителей
Решение:
Число 1 имеет один делитель: 1
Число 7 имеет два делителя: 1, 7
Число 10 имеет четыре делителя: 1, 2, 5, 10
Число 12 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Число 13 имеет два делителя: 1, 13
Число 24 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Ответ:
А) один делитель- 1
Б) два делителя- 7, 13
В) больше двух делителей- 10, 12, 24
Таким образом, числа 7 и 13 являются простыми, потому что имеют по два делителя.
Числа 10, 12, 24 являются составными, потому что имеют больше двух делителей.
Пример 2
Даны числа: 2, 4, 17, 21, 28, 30, 42, 55, 127. Какие из них простые, а какие составные?
Найдите все делители для составных чисел.
Решение:
Простые: 2, 17, 127
Составные: 4, 21, 28, 30, 42, 55
Число 4 имеет три делителя: 1, 2, 4
Число 21 имеет четыре делителя: 1, 3, 7, 21
Число 28 имеет шесть делителей: 1, 2, 4, 7, 14, 28
Число 30 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Число 42 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
Число 55 имеет четыре делителя: 1, 5, 11, 55
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Простые и составные числа с древнейших времён интересовали разных учёных. Например, древнегреческий учёный Эратосфен (276- 194 гг. до н.э.) занимался вопросом таких чисел.
Он был главой Александрийской библиотеки и в его работах появились первые факты математической географии, вычисления величины земного шара с достаточно для того времени хорошей точностью.
Для своих вычислений он создал довольно простой способ, который использовался для исследования простых чисел и дошел до нашего времени без изменений. Этот способ назвали «Решето Эратосфена».
Пусть перед нами стоит задача нахождения простых чисел от 1 до 100 включительно.
Распишем все эти числа в квадрате 10 на 10.
После этого начинаем зачеркивать те, которые делятся на 2, потом на 3, потом на 5 (на 4 не берем, ведь они уже будут зачёркнуты, когда мы будем зачеркивать делящиеся на 2), потом на 7 и… всё!
Больше зачеркивать ничего не нужно, так как дальше работает доказанное правило: оставшиеся числа в таблице будут простыми.
Почему вдруг такую таблицу назвали решетом?
Получается вот что: мы убираем числа, потом повторяем с оставшимися числами, и то, что будет не зачёркнуто, как бы напоминает то, что ОСТАЕТСЯ В РЕШЕТЕ.
Если внимательно посмотреть на табличку, то можно увидеть что все вычеркнутые стоят на прямых линиях. А, кто видел решето, тот знает, что оно состоит из нитей, натянутых в виде прямых. Значит, можно построить такое решето, просто проводя прямую в тех местах, где число нужно вычеркнуть – вот и все. Поэтому мы и получаем подобие решета.
Те немногие числа, которые остались незачёркнутыми, — простые.
Решето Эратосфена работает по подобию простой вычислительной машины. И значит, еще очень давно, была изобретена СЧЕТНАЯ МАШИНА.
На сегодняшний день не существует формулы получения любого простого числа, зато еще с древности известно решето Эратосфена. Всё гениальное просто, как говорится в известном афоризме.
На числовой прямой простые числа не имеют никакой закономерности, стоят в хаотичном порядке. Но если мы соберем числовую прямую в решето Эратосфена большого размера, мы их все просеем через него и соберем без исключения и потерь.
Таблица составных чисел до 1000
Составные числа – это положительные целые числа, имеющие больше двух делителей. В этот список входят все натуральные числа, которые является произведением двух натуральных чисел, больших за единицу. Их ещо принято называть сложными числами. Также будет правильно выразится так, что все натуральные числа которые не относятся к простым числам, в свою очередь являются составными.
Пример: 8 можно разделить, чтоб не было остатка на 1, на 2, на 4 и на 8;
Последовательность первых 20 составных чисел будет выглядеть так: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32…
| 4 | 6 | 8 | 9 | 10 | |||||
| 12 | 14 | 15 | 16 | 18 | 20 | ||||
| 21 | 22 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 30 | ||
| 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 38 | 39 | 40 | ||
| 42 | 44 | 45 | 46 | 48 | 49 | 50 | |||
| 51 | 52 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 60 | ||
| 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 68 | 69 | 70 | ||
| 72 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 80 | |||
| 81 | 82 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 90 | ||
| 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 98 | 99 | 100 | |
| 102 | 104 | 105 | 106 | 108 | 110 | ||||
| 111 | 112 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | |
| 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 128 | 129 | 130 | |
| 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 138 | 140 | |||
| 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 150 | |
| 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 158 | 159 | 160 | ||
| 161 | 162 | 164 | 165 | 166 | 168 | 169 | 170 | ||
| 171 | 172 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 180 | ||
| 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | |
| 192 | 194 | 195 | 196 | 198 | 200 | ||||
| 201 | 202 | 203 | 204 | 205 | 206 | 207 | 208 | 209 | 210 |
| 212 | 213 | 214 | 215 | 216 | 217 | 218 | 219 | 220 | |
| 221 | 222 | 224 | 225 | 226 | 228 | 230 | |||
| 231 | 232 | 234 | 235 | 236 | 237 | 238 | 240 | ||
| 242 | 243 | 244 | 245 | 246 | 247 | 248 | 249 | 250 | |
| 252 | 253 | 254 | 255 | 256 | 258 | 259 | 260 | ||
| 261 | 262 | 264 | 265 | 266 | 267 | 268 | 270 | ||
| 272 | 273 | 274 | 275 | 276 | 278 | 279 | 280 | ||
| 282 | 284 | 285 | 286 | 287 | 288 | 289 | 290 | ||
| 291 | 292 | 294 | 295 | 296 | 297 | 298 | 299 | 300 | |
| 301 | 302 | 303 | 304 | 305 | 306 | 308 | 309 | 310 | |
| 312 | 314 | 315 | 316 | 318 | 319 | 320 | |||
| 321 | 322 | 323 | 324 | 325 | 326 | 327 | 328 | 329 | 330 |
| 332 | 333 | 334 | 335 | 336 | 338 | 339 | 340 | ||
| 341 | 342 | 343 | 344 | 345 | 346 | 348 | 350 | ||
| 351 | 352 | 354 | 355 | 356 | 357 | 358 | 360 | ||
| 361 | 362 | 363 | 364 | 365 | 366 | 368 | 369 | 370 | |
| 371 | 372 | 374 | 375 | 376 | 377 | 378 | 380 | ||
| 381 | 382 | 384 | 385 | 386 | 387 | 388 | 390 | ||
| 391 | 392 | 393 | 394 | 395 | 396 | 398 | 399 | 400 | |
| 402 | 403 | 404 | 405 | 406 | 407 | 408 | 410 | ||
| 411 | 412 | 413 | 414 | 415 | 416 | 417 | 418 | 420 | |
| 422 | 423 | 424 | 425 | 426 | 427 | 428 | 429 | 430 | |
| 432 | 434 | 435 | 436 | 437 | 438 | 440 | |||
| 441 | 442 | 444 | 445 | 446 | 447 | 448 | 450 | ||
| 451 | 452 | 453 | 454 | 455 | 456 | 458 | 459 | 460 | |
| 462 | 464 | 465 | 466 | 468 | 469 | 470 | |||
| 471 | 472 | 473 | 474 | 475 | 476 | 477 | 478 | 480 | |
| 481 | 482 | 483 | 484 | 485 | 486 | 488 | 489 | 490 | |
| 492 | 493 | 494 | 495 | 496 | 497 | 498 | 500 | ||
| 501 | 502 | 504 | 505 | 506 | 507 | 508 | 510 | ||
| 511 | 512 | 513 | 514 | 515 | 516 | 517 | 518 | 519 | 520 |
| 522 | 524 | 525 | 526 | 527 | 528 | 529 | 530 | ||
| 531 | 532 | 533 | 534 | 535 | 536 | 537 | 538 | 539 | 540 |
| 542 | 543 | 544 | 545 | 546 | 548 | 549 | 550 | ||
| 551 | 552 | 553 | 554 | 555 | 556 | 558 | 559 | 560 | |
| 561 | 562 | 564 | 565 | 566 | 567 | 568 | 570 | ||
| 572 | 573 | 574 | 575 | 576 | 578 | 579 | 580 | ||
| 581 | 582 | 583 | 584 | 585 | 586 | 588 | 589 | 590 | |
| 591 | 592 | 594 | 595 | 596 | 597 | 598 | 600 | ||
| 602 | 603 | 604 | 605 | 606 | 608 | 609 | 610 | ||
| 611 | 612 | 614 | 615 | 616 | 618 | 620 | |||
| 621 | 622 | 623 | 624 | 625 | 626 | 627 | 628 | 629 | 630 |
| 632 | 633 | 634 | 635 | 636 | 637 | 638 | 639 | 640 | |
| 642 | 644 | 645 | 646 | 648 | 649 | 650 | |||
| 651 | 652 | 654 | 655 | 656 | 657 | 658 | 660 | ||
| 662 | 663 | 664 | 665 | 666 | 667 | 668 | 669 | 670 | |
| 671 | 672 | 674 | 675 | 676 | 678 | 679 | 680 | ||
| 681 | 682 | 684 | 685 | 686 | 687 | 688 | 689 | 690 | |
| 692 | 693 | 694 | 695 | 696 | 697 | 698 | 699 | 700 | |
| 702 | 703 | 704 | 705 | 706 | 707 | 708 | 710 | ||
| 711 | 712 | 713 | 714 | 715 | 716 | 717 | 718 | 720 | |
| 721 | 722 | 723 | 724 | 725 | 726 | 728 | 729 | 730 | |
| 731 | 732 | 734 | 735 | 736 | 737 | 738 | 740 | ||
| 741 | 742 | 744 | 745 | 746 | 747 | 748 | 749 | 750 | |
| 752 | 753 | 754 | 755 | 756 | 758 | 759 | 760 | ||
| 762 | 763 | 764 | 765 | 766 | 767 | 768 | 770 | ||
| 771 | 772 | 774 | 775 | 776 | 777 | 778 | 779 | 780 | |
| 781 | 782 | 783 | 784 | 785 | 786 | 788 | 789 | 790 | |
| 791 | 792 | 793 | 794 | 795 | 796 | 798 | 799 | 800 | |
| 801 | 802 | 803 | 804 | 805 | 806 | 807 | 808 | 810 | |
| 812 | 813 | 814 | 815 | 816 | 817 | 818 | 819 | 820 | |
| 822 | 824 | 825 | 826 | 828 | 830 | ||||
| 831 | 832 | 833 | 834 | 835 | 836 | 837 | 838 | 840 | |
| 841 | 842 | 843 | 844 | 845 | 846 | 847 | 848 | 849 | 850 |
| 851 | 852 | 854 | 855 | 856 | 858 | 860 | |||
| 861 | 862 | 864 | 865 | 866 | 867 | 868 | 869 | 870 | |
| 871 | 872 | 873 | 874 | 875 | 876 | 878 | 879 | 880 | |
| 882 | 884 | 885 | 886 | 888 | 889 | 890 | |||
| 891 | 892 | 893 | 894 | 895 | 896 | 897 | 898 | 899 | 900 |
| 901 | 902 | 903 | 904 | 905 | 906 | 908 | 909 | 910 | |
| 912 | 913 | 914 | 915 | 916 | 917 | 918 | 920 | ||
| 921 | 922 | 923 | 924 | 925 | 926 | 927 | 928 | 930 | |
| 931 | 932 | 933 | 934 | 935 | 936 | 938 | 939 | 940 | |
| 942 | 943 | 944 | 945 | 946 | 948 | 949 | 950 | ||
| 951 | 952 | 954 | 955 | 956 | 957 | 958 | 959 | 960 | |
| 961 | 962 | 963 | 964 | 965 | 966 | 968 | 969 | 970 | |
| 972 | 973 | 974 | 975 | 976 | 978 | 979 | 980 | ||
| 981 | 982 | 984 | 985 | 986 | 987 | 988 | 989 | 990 | |
| 992 | 993 | 994 | 995 | 996 | 998 | 999 | 1000 |
Нужно распечатать таблицу, тогда зажав левую кнопку на мишке выделите нужную часть или же полностью всё таблицу, потом на выделенном фоне нажмите правую кнопку на мишке и в выпавшем меню перейдете в пункт «Печать».
Как пользоваться таблицей? Всё очень просто, все приведенные в таблице числа в конкретном заданном диапазоне от 1 до 1000, являются составными.