Что такое фср

Основные сведения о фундаментальной системе решений

Системы линейных алгебраических и дифференциальных уравнений можно разделить на однородные и неоднородные.

В данной статье все определения, свойства и примеры рассматриваются для системы линейных алгебраических уравнений — СЛАУ.

Однородной системой уравнений называют систему из линейных уравнений вида \(\sum_^na_i\cdot x_i=0\) .

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Однородная СЛАУ всегда имеет как минимум одно решение — нулевое, то есть всегда является совместной.

Слово «нулевое» часто заменяют на «тривиальное» и говорят, что система имеет тривиальное решение.

СЛАУ будет иметь бесконечное множество решений в том случае, если ранг матрицы коэффициентов A будет меньше количества неизвестных переменных n: A<n. Такую систему называют совместной и неопределенной.

Если A=n, система будет иметь единственное решение, и это решение будет нулевым. Система в этом случае совместна и определена.

Если A≠n, система несовместна.

Ранг матрицы равен максимальному порядку миноров матрицы, не равных нулю. Простой способ найти ранг на практике — выполнить преобразования (исключение нулевых строк, умножение на ненулевое число, сложение и т.д.), после чего определить ранг матрицы как количество ненулевых строк.

В том случае, когда определитель квадратной матрицы СЛАУ равен нулю, система имеет нетривиальное решение.

Нахождение решений однородной СЛАУ осуществляется по методу Гаусса. Порядок действий при этом таков:

1. Систему записывают в виде матрицы, затем с помощью различных преобразований приводят ее к треугольному виду.
2. Записывают уравнения, умножая неизвестные переменные на соответствующие элементы матрицы.
3. Решают систему, начиная с последнего уравнения, в котором остается только одна переменная.

Фундаментальная система решений однородной системы уравнений

В основном решение однородной системы представляют в виде набора линейно независимых векторов \( \overrightarrow,\;\overrightarrow,\;. \;\overrightarrow,\) называемого фундаментальной системой решений однородной системы.

Решением системы будет являться также любая линейная комбинация векторов \(\overrightarrow b\) вида \(a_1\overrightarrow,\;a_2\overrightarrow,\;. \;a_n\overrightarrow\) , где коэффициенты \(a_1,\;a_2,\;. \;a_n\) – любые вещественные числа.

Фундаментальная система решений — базис векторного пространства, образованного решениями системы.

Фундаментальное решение системы B принято записывать как \(\overrightarrow B=a\cdot\overrightarrow b\) .

Сформулируем (без доказательства) теорему о размерности фундаментальной системы решений.

Фундаментальная система решений для СЛАУ, у которой A

Взаимосвязь решений однородной и неоднородной системы уравнения

Отличие неоднородной системы от однородной состоит в том, что в правой части уравнений системы находятся ненулевые коэффициенты.

Чтобы найти решение неоднородной системы, используют общее решение однородной. Общее решение неоднородной СЛАУ \(\overrightarrow<Х_<он>>\) будет иметь вид:

где \(\overrightarrow<Х_<од>>\) — общее решение соответствующей однородной системы, \(\overrightarrow<Х_<чн>>\) – частное решение заданной неоднородной системы.

Соответствующую однородную систему получают, приравняв к нулю коэффициенты в правых частях уравнений.

Пояснение на примерах

Рассмотрим несколько примеров задач на решение однородных и неоднородных СЛАУ.

Решить систему уравнений \(\left\<\begin-\frac12x_1+\frac12x_2-x_3=0\\-x_1-\frac12x_2+\frac32x_3=0\\-\frac32x_1-x_3=0\end\right.\)

Система является однородной. Составим матрицу коэффициентов и найдем ее ранг.

1. Ко второй строке прибавлена первая строка, умноженная на (-2).
2. К третьей строке прибавлена первая, умноженная на (-3).
3. К третьей строке прибавлена вторая, умноженная на (-1).

Получили, что ранг матрицы равен 3, как и число переменных. Найдем, чему равен определитель матрицы.

Определитель не равен нулю, то есть можно сделать вывод о том, что система имеет одно тривиальное решение.

Сделаем проверку и продолжим решение по методу Гаусса. Запишем систему с коэффициентами матрицы после преобразований.

Получили, что решением будут нулевые значения переменной.

Найти общее и фундаментальное решения системы \(\left\<\begin-4x_1-4x_2+2x_3=0\\-10x_1-8x_2+12x_3=0\\-6x_1-4x_2+10x_3=0\end\right.\) .

Сначала определим ранг матрицы коэффициентов.

1. К первой строке прибавили третью, умноженную на (-1).
2. От второй строки отняли третью, умноженную на 2.
3. Исключили одну из одинаковых строк.
4. Ко второй строке прибавили первую, умноженную на 3.

Ранг матрицы А=2.

Найдем общее решение. Запишем систему в виде: \(\left\<\begin2x_1-8x_3=0\\-4x_2-14x_3=0\end\right.\)

Выразим переменные \(x_1\) и \(x_2\) через \(x_3: \left\<\beginx_1=4x_3\\x_2=-\frac<14>4x_3\end\right.\)

Общее решение системы: \( \left(4x_3;\;-\frac<14>4x_2;\;x_3\right)\)

Количество фундаментальных решений: \(n-A=3-2=1\) . Чтобы найти вектор \overrightarrow B фундаментального решения, зададим произвольное значение переменной \(x_3\) . Примем \(x_3=4\) , чтобы избавиться от дробей.

Фундаментальная система решений: \overrightarrow \(B=\;(16;\;-14;\;4).\)

Ответ: \(\left(4x_3;\;-\frac<14>4x_2;\;x_3\right) и \;(16;\;-14;\;4).\)

Записать общее решение неоднородной системы. Известно, что соответствующая однородная система выглядит как в предыдущем примере, а частное решение имеет вид: (-2; 1; 3).

Общее решение неоднородной системы равно сумме общего решения однородной и частного решения. Тогда:

Фундаментальная система решений

Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.

Содержание

Однородные системы

Однородной системой линейных уравнений называется система вида:
Теорема (о линейном решении однородных систем).
Пусть — произвольные константы. Тогда , где — число переменных системы, то существует только тривиальное решение;

если , то существует линейно независимых решений рассматриваемой системы: называется фундаментальной системой решений (ФСР) (1), если:

• 

  Замечание:
  Если , то ФСР не существует.

  Пример

  Решим систему
  

  Таким образом ранг системы (ранг её основной матрицы) равен двум. Это значит, что существует линейно независимых решения системы.

  Перепишем полученную систему в виде уравнений:

  и в качестве главных переменных. Тогда:

  и .

  , где — число переменных системы (2), то решение (2) существует и оно единственно;

• если , то общее решение системы (2) имеет вид и обязательно будут главными, возьмём также в качестве главной.

  Заметим, что

  Тогда, подставив единицу в качестве свободной переменной , получим ФСР однородной системы:

  
  Найдём решение этой линейной системы уравнений методом Гаусса. Для начала нам надо выписать матрицу коэффициентов системы.
  
  Преобразуем эту матрицу к треугольной. Первую строку переписываем без изменений. И все элементы, что стоят под $a_<11>$, надо сделать нулями. Что бы сделать ноль в место элемента $a_<21>$, надо от второй строки вычесть первую, и разность записать во второй строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_<31>$, надо от третьей строки вычесть первую и разность записать в третьей строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_<41>$, надо от четвёртой строки вычесть первую умноженную на 2 и разность записать в четвёртой строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_<31>$, надо от пятой строки вычесть первую умноженную на 2 и разность записать в пятой строке.
  
  Первую и вторую строку переписываем без изменений. И все элементы, что стоят под $a_<22>$, надо сделать нулями. Что бы сделать ноль в место элемента $a_<32>$, надо от третьей строки вычесть вторую умноженную на 2 и разность записать в третьей строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_<42>$, надо от четвёртой строки вычесть вторую умноженную на 2 и разность записать в четвёртой строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_<52>$, надо от пятой строки вычесть вторую умноженную на 3 и разность записать в пятой строке.
  
  Видим, что последние три строки – одинаковые, поэтому если от четвёртой и пятой вычесть третью, то они станут нулевыми.
  
  По этой матрице записываем новую систему уравнений.
  
  Видим, что линейно независимых уравнений у нас, только три, а неизвестных пять, поэтому фундаментальная система решений будет состоять из двух векторов. Значит, нам надо перенести две последние неизвестные вправо.
  
  Теперь, начинаем выражать те неизвестные, что стоят в левой части через те, что стоят в правой части. Начинаем с последнего уравнения, сначала выразим $x_3$, потом полученный результат подставим во второе уравнение и выразим $x_2$, а потом в первое уравнение и тут выразим $x_1$. Таким образом мы все неизвестные, что стоят в левой части, выразили через неизвестные, что стоят в правой части.
  
  После чего вы вместо $x_4$ и $x_5$, можем подставлять любые числа и находить $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Каждая такая пятёрка чисел будет корнями нашей изначальной системы уравнений. Что бы найти векторы, что входят в ФСР нам надо вместо $x_4$ подставить 1, а вместо $x_5$ подставить 0, найти $x_1$, $x_2$ и $x_3$, а потом наоборот $x_4=0$ и $x_5=1$.

  Какие именно векторы создают фундаментальную систему решений данной системы уравнений?

  

  Для лучшего понимания хода роботы можете посмотреть видео-урок по данном задании.

  Похожие публикации:

  1. Как принтскрин вставить в ворд
  2. Как разделить текст в ворде на 2 листа
  3. Что такое алеф
  4. Что такое брандмауэр доктор веб