Что такое числовой ряд в информатике

Числовые ряды — определение и основные понятия (Таблица)

Справочная таблица содержит определение и основные понятия числового ряда.

Понятие числового ряда

— числовой ряд, где a₁, а₂. а_n. — члены ряда, образующие бесконечную последовательность;

а_n — общий член ряда.

Ряд задан, если а_n=ƒ(n)

Виды числовых рядов

Ряд — знакоположительный, если ∀а_n > 0

Рядсодержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным.

знакочередующийся , где а_n ≥ 0

Частичные суммы ряда

Сходимость и сумма ряда

Если то ряд называется сходящимся, a S — суммой ряда, в противном случае — ряд расходящийся

1. Если сходится и его сумма равна S, то , где с — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS

2. Два сходящихся ряда и с суммами S и S’ можно почленно складывать или вычитать. Ряд сходится и имеет сумму (S ± S’).

3. Если у сходящегося (расходящегося) ряда отбросить конечное число его членов, то полученный ряд также будет сходится (расходится)

Основные понятия. Запись нескольких первых членов ряда. Свойства числовых рядов.

Пусть задана некая бесконечная последовательность чисел: $\$: $u_1$, $u_2$, $u_3$. $u_n$. .

Числа $u_1$, $u_2$, $u_3$ и т.д. именуют членами ряда. Например, $u_1$ – первый член ряда, $u_2$ – второй член ряда, $u_<78>$ – семьдесят восьмой член ряда. Выражение $u_n$ называют общим членом ряда.

Для примера рассмотрим последовательность $\left\<\frac<3^n><5n+9>\right\>$ и составим соответствующий числовой ряд. Чтобы не разрывать изложение, данный пример я скрыл под примечание.

Пример числового ряда: показать\скрыть

Пусть нам задана последовательность $\left\<\frac<3^n><5n+9>\right\>$. Общий член этой последовательности $u_n=\frac<3^n><5n+9>$. Запишем для начала несколько первых членов. Подставляя $n=1$ в равенство $u_n=\frac<3^n><5n+9>$, получим первый член данной последовательности:

Аналогично, подставляя $n=2$ и $n=3$ получим второй и третий члены последовательности:

Этот процесс можно продолжать, находя $u_4$, $u_5$ и т.д. Теперь запишем бесконечную сумму, состоящую из элементов данной последовательности:

Выражение $\frac<3><14>+\frac<9><19>+\ldots+\frac<3^n><5n+9>+\ldots$ и будет числовым рядом. Числа $u_1=\frac<3><14>$, $u_2=\frac<9><19>$ – это первый и второй члены числового ряда; а $u_n=\frac<3^n><5n+9>$ – это общий член данного ряда.

Однако чаще всего развёрнутую запись: $u_1+u_2+\ldots+u_n+\ldots$ не используют. Её сокращают в такую форму: $\sum\limits_^<\infty>u_n$. Обе записи эквивалентны:

Если для вас знак $\sum$ требует пояснений, то советую развернуть примечание.

Что обозначает знак $\sum$? показать\скрыть

Допустим, мы хотим найти сумму $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$. Какой фразой можно охарактеризовать запись $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$? Можно сказать так: это сумма единицы в квадрате, двойки в квадрате, тройки в квадрате, четвёрки в квадрате и пятёрки в квадрате. А можно сказать покороче: это сумма квадратов целых чисел от 1 до 5. Чтобы выражать сумму более коротко и служит запись с помощью буквы $\sum$ (это греческая буква «сигма»).

Вместо $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$ мы можем использовать такую запись: $\sum\limits_^<5>i^2$. Буква $i$ именуется индексом суммирования, а числа 1 (начальное значение $i$) и 5 (конечное значение $i$) называются нижним и верхним пределами суммирования соответственно.

Расшифруем запись $\sum\limits_^<5>i^2$ подробно. Если $i=1$, то $i^2=1^2$, поэтому первым слагаемым данной суммы будет число $1^2$:

Следующее целое число после единицы – двойка, поэтому подставляя $i=2$, получим: $i^2=2^2$. Сумма теперь станет такой:

После двойки следующее число – тройка, поэтому подставляя $i=3$ будем иметь: $i^2=3^2$. И сумма примет вид:

Осталось подставить лишь два числа: 4 и 5. Если подставить $i=4$, то $i^2=4^2$, а если подставить $i=5$, то $i^2=5^2$. Значения $i$ достигли верхнего предела суммирования, поэтому слагаемое $5^2$ будет последним. Итак, окончательно сумма теперь такова:

Эту сумму можно и вычислить, банально сложив числа: $\sum\limits_^<5>i^2=55$.

Для практики попробуйте записать и вычислить следующую сумму: $\sum\limits_^<8>(5k+2)$. Индекс суммирования здесь – буква $k$, нижний предел суммирования равен 3, а верхний предел суммирования равен 8.

Вовсе не обязательно нижний предел суммирования будет равен единице. Он может равняться любому целому числу, просто в большинстве случаев начальное значение индекса суммирования берут равным $n=1$. Впрочем, нижний предел суммы всегда можно изменить (см. пример №3).

Записать первые четыре члена ряда $\sum\limits_^<\infty>\frac<3^n>>$. Указать общий член ряда.

Чтобы записать несколько первых членов ряда, достаточно подставить в выражение $\frac<3^n>>$, расположенное под знаком суммы, числа $n=1$, $n=2$, $n=3$ и т.д.:

А можно просто написать, что $u_1=3$, $u_2=\frac<9><2\sqrt<2>>$, $u_3=\frac<9><\sqrt<3>>$, $u_4=\frac<81><8>$.

Мы имеем ряд вида $\sum\limits_^<\infty>u_n$. Нижний предел суммирования нашего ряда равен $1$, поэтому общий член ряда записан под знаком суммы. Вот он: $u_n=\frac<3^n>>$.

Полагаю, сразу же возникнет вопрос: а что будет, если нижний предел суммирования не равен единице? Совпадёт ли выражение под знаком суммы с общим членом ряда? Ответ в общем случае отрицательный: скорее всего, не совпадёт. Советую глянуть пример №2, чтобы выяснить, что же будет в этом случае. Впрочем, в подавляющем большинстве учебных примеров нижний предел суммирования берут равным именно единице.

Подставляя в равенство $u_n=\frac<3^n>>$ вместо $n$ любой номер, мы получим соответствующий член ряда. Например, подставляя $n=4$, получим четвёртый член ряда, а подставляя $n=31$ – тридцать первый член ряда:

Как видите, если известен общий член ряда, то легко записать член ряда с каким угодно номером, – достаточно лишь подставить вместо $n$ требуемый номер. Гораздо сложнее обратная задача: по нескольким заданным первым членам ряда записать общий член, однако этому вопросу посвящена иная тема.

Кстати сказать, нам совершенно неважно, задан ли номер члена ряда числом или выражением. Например, член ряда с номером $n=k^2+3k-1$ будет таким:

А член ряда с номером $n+1$ будет таким:

Ответ: Общий член ряда: $u_n=\frac<3^n>>$. Первые четыре члена ряда: $u_1=3$, $u_2=\frac<9><2\sqrt<2>>$, $u_3=\frac<9><\sqrt<3>>$, $u_4=\frac<81><4\sqrt<4>>$.

Записать первые пять членов ряда $\sum\limits_^<\infty>\frac<1><(n-1)\ln(n-1)>$. Указать общий член ряда.

Суммирование в нашем случае начинается при $n=3$ (т.е. нижний предел суммирования равен 3), поэтому чтобы записать первые пять членов ряда нужно подставить $n=3$, $n=4$, $n=5$, $n=6$, $n=7$ в выражение $\frac<1><(n-1)\ln(n-1)>$:

Теперь нужно указать общий член ряда. Казалось бы, всё просто: вот он, этот общий член – стоит под знаком суммы. Просто перепишем и всё:

Однако такая формула некорректна. Чтобы это проиллюстрировать, давайте подставим в формулу $u_n=\frac<1><(n-1)\ln(n-1)>$ число $n=4$. Мы получим следующее:

Мы получили вовсе не то, что нужно! Четвёртый член ряда был найден ранее: $u_4=\frac<1><5\ln 5>$. Формула $u_n=\frac<1><(n-1)\ln(n-1)>$ дала сбой. Почему? Ответ на данный вопрос прост: дело в том, что значение индекса суммирования (т.е. значение переменной $n$) не совпадает с номером члена ряда. И это неудивительно, ибо нумерация членов ряда начинается с единицы, а первое значение индекса $n=3$. Поэтому под знаком суммы стоит вовсе не общий член ряда:

Заметьте, что число, которое мы подставляем в выражение $\frac<1><(n-1)\ln(n-1)>$, на 2 больше, чем номер члена ряда. Т.е. если номер равен $n$, то в выражение $\frac<1><(n-1)\ln(n-1)>$ пойдёт число $n+2$. Соответственно, общий член ряда имеет такой вид:

Вот теперь общий член ряда записано верно. Например, для $n=4$ согласно формуле $u_n=\frac<1><(n+1)\ln(n+1)>$ получим:

Можно, кстати, и исходный ряд переписать по-иному, начав суммирование при $n=1$:

Изменение нижнего предела суммирования (т.е. начального значения $n$) никоим образом не влияет на сам ряд. Изменяется лишь форма записи, но не содержание суммы. Можно было вообще изменить значение нижнего предела суммирования в самом начале решения.

Ну, а теперь немного о реалиях: нередко на такие «мелочи» внимания не обращают. И автор книги или методички по высшей математике так и пишет: $u_n=\frac<1><(n-1)\ln(n-1)>$, ничуть не озаботясь тем, что эта формула даёт неверные результаты (а при $n=1$ и $n=2$ значение выражения $\frac<1><(n-1)\ln(n-1)>$ вообще не определено). И это может привести к печальным ошибкам: например, к сбоям в программе. Поэтому с нумерацией желательно обращаться крайне внимательно. При необходимости нижний предел суммирования можно поменять в самом начале решения.

Для ряда $\sum\limits_^<\infty>\frac<7n+5><2^<4n-1>\cdot n>$ изменить нижний предел суммирования на 1. Указать общий член ряда.

Нижний предел суммирования равен 4, т.е. начальное значение индекса $n$ равно четырём. Введём новый индекс таким образом, чтобы его начальное значение равнялось 1. Этот новый индекс суммирования обозначим буквой $t$.

Итак, если $n=4$, то $t=1$, т.е. $n=t+3$. Подставляем в $\frac<7n+5><2^<4n-1>\cdot n>$ вместо $n$ выражение $t+3$. При этом не забываем, что новый индекс $t$ изменяется с 1:

В принципе, полученное выражение $\sum\limits_^<\infty>\frac<7t+26><2^<4t+11>\cdot (t+3)>$ можно так и оставить. Однако обычно новую букву $t$ не вводят, а продолжают работать со «старым» обозначением индекса, т.е. с $n$. В самом деле, разве что-то изменится, если вместо одной буквы подставить иную?

Если пропустить все промежуточные выкладки, то мы приходим к простому равенству:

Можете проверить этот результат, найдя несколько первых членов суммы в левой и правой частях равенства.

Так как нижний предел суммы $\sum\limits_^<\infty>\frac<7n+26><2^<4n+11>\cdot (n+3)>$ равен 1, то под знаком суммы расположен общий член ряда, т.е. $u_n=\frac<7n+26><2^<4n+11>\cdot (n+3)>$.

Частичная сумма ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Остаток ряда.

Пусть задан числовой ряд

Например, сумма первых пяти членов ряда (1) есть пятая частичная сумма ряда, т.е. $S_5$:

Например, если мы отбросим первые три члена ряда (1), то получим третий остаток $r_3$:

Теперь перейдём к понятию суммы ряда. Пусть $S_n$ – n-я частичная сумма ряда (1).

Вопрос вычисления суммы числового ряда рассмотрен в соответствующей теме.

Задан ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac<4n+3><2^n>$. Записать первую, вторую, третью и четвёртую частичную суммы. Указать первый, второй и третий остатки.

Нижний предел суммирования равен 1, поэтому под знаком суммы стоит общий член ряда: $u_n=\frac<4n+3><2^n>$.

Первая частичная сумма $S_1$ совпадает с первым членом ряда:

Вторая частичная сумма $S_2$ – это сумма первых двух членов ряда:

Третья частичная сумма $S_3$ – это сумма первых трёх членов ряда:

Четвёртая частичная сумма $S_4$ – это сумма первых четырёх членов ряда:

Естественно, что любую частичную сумму можно вычислить, просто сложив элементы. Например, $S_2=\frac<7><2>+\frac<11><4>=\frac<25><4>$.

Теперь перейдём к остаткам. Отбрасывая первый член, получим первый остаток ряда:

Отбрасывая первые два члена, запишем второй остаток ряда:

Отбрасывая первые три члена, запишем третий остаток ряда:

В принципе, при желании остатки можно записать в сжатой форме:

• Частичные суммы: $S_1=\frac<7><2>$, $S_2=\frac<7><2>+\frac<11><4>$, $S_3=\frac<7><2>+\frac<11><4>+\frac<15><8>$, $S_4=\frac<7><2>+\frac<11><4>+\frac<15><8>+\frac<19><16>$.
• Остатки: $r_1=\frac<11><4>+\frac<15><8>+\frac<19><16>+\frac<23><32>+\ldots$, $r_2=\frac<15><8>+\frac<19><16>+\frac<23><32>+\ldots$, $r_3=\frac<19><16>+\frac<23><32>+\ldots$.

Некоторые свойства числовых рядов

1. Ряд $\sum\limits_^<\infty>u_n$ сходится тогда и только тогда, когда сходится любой из его остатков $r_n=\sum\limits_^<\infty>u_k$. Отсюда следует, что отбрасывание или добавление к некоторому ряду конечного количества членов не изменяет сходимости ряда.
2. Если ряд $\sum\limits_^<\infty>u_n$ сходится и сумма его равна $S$, то любой его остаток $r_n$ стремится к нулю при $n\to\infty$, т.е. $\lim_r_n=0$. Кроме того, верна формула $r_n=S-S_n$, где $S_n$ – n-я частичная сумма заданного ряда.
3. Если ряд $\sum\limits_^<\infty>u_n$ расходится и $C\neq 0$, то ряд $\sum\limits_^<\infty>Cu_n$ также расходится.
4. Если ряд $\sum\limits_^<\infty>u_n$ сходится и сумма его равна $S$, то и ряд $\sum\limits_^<\infty>Cu_n$ также сходится и сумма его равна $CS$ ($C$ – некоторая константа).
5. Если ряды $\sum\limits_^<\infty>u_n$ и $\sum\limits_^<\infty>v_n$ сходятся и суммы их равны соответственно $S_1$ и $S_2$, то и ряд $\sum\limits_^<\infty>\left(u_n\pm v_n\right)$ также сходится и сумма его равна $S_1\pm S_2$.
6. Необходимое условие (признак) сходимости ряда: если ряд $\sum\limits_^<\infty>u_n$ сходится, то $\lim_u_n=0$.
7. Достаточное условие (признак) расходимости ряда: если $\lim_u_n\neq 0$, то ряд $\sum\limits_^<\infty>u_n$ расходится.

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).

Ряд (математика)

Ряд — это бесконечная последовательность слагаемых или бесконечная сумма членов последовательности.

[math]S=a_1+a_2+\ldots+a_+a_n+a_+\ldots \Leftrightarrow S=\sum\limits_^<\infty>a_n[/math]

Слагаемые ряда a_n называются членами ряда.

Содержание

[править] Общая информация

Предположим, что у нас есть бесконечная последовательность следующих (обычно, вещественных) чисел: [math]\ a_1[/math] , [math]\ a_2[/math] . [math]\ a_n[/math] ,… Тогда можно определить следующее выражение: [math]\ a_1 +a_2+[/math] … [math]\ +a_n+[/math] …= [math]\sum_^\infty a_i[/math] . Этот символ называется числовым рядом.

Числовой ряд — символ, составленный из членов бесконечной числовой последовательности, соединённых формальным символом «+».

Если сложить k первых членов последовательности ряда, то полученное число будет называться частичной суммы k членов данного ряда.

Числовую последовательность можно задать не только перечислением членов этой последовательности, но и общей формулой, по которой можно получить член этой последовательности по его номеру n. В этом случае эта формула называется общим членом ряда и записывается перед заглавной греческой буквой «сигма», математическим знаком суммирования, сверху и снизу которой ставятся пределы суммирования.

Знакопеременными называются ряды, члены которых поочерёдно имеют то положительный, то отрицательный знаки. Общий вид знакопеременного ряда задаётся следующей формулой:

[math]S=b_1-b_2+\ldots+(-1)^b_n+\ldots \Leftrightarrow S=\sum\limits_^<\infty>(-1)^b_n[/math]

Если члены ряда — числа, то ряд называется числовым, если же они являются функциями, то ряд называется функциональным.

Сумма первых n членов называется частичной суммой S_n.

[math]S_n=a_1+a_2+\ldots+a_+a_n \Leftrightarrow S_n=\sum\limits_^a_i[/math]

[править] Сходимость ряда

Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм — этот предел называется суммой ряда (говорят также, что «ряд сходится»).

В противном случае ряд называется расходящимся (говорят, что «ряд расходится»).

Необходимый признак используется для определения расходимости ряда [math]\sum\limits_^<\infty>a_n[/math] .

Признак сравнения используется или для определения сходимости меньшего (доминируемого) ряда [math]\sum\limits_^<\infty>a_n[/math] или для определения расходимости большего (доминирующего) ряда [math]\sum\limits_^<\infty>b_n[/math] .

Признак Даламбера используется для определения сходимости или расходимости ряда [math]\sum\limits_^<\infty>a_n[/math] при условии [math]\lim_\frac>\ne 1[/math] .

Радикальный признак Коши используется для определения сходимости или расходимости ряда [math]\sum\limits_^<\infty>a_n[/math] при условии [math]\lim_\sqrt[n]\ne 1[/math] .

Интегральный признак Коши используется для определения сходимости или расходимости ряда [math]\sum\limits_^<\infty>a_n[/math] при условии существования интегрируемой функции [math]f(n)=a_n[/math] .

Признак Раабе используется для определения сходимости или расходимости ряда [math]\sum\limits_^<\infty>a_n[/math] .

Признак Лейбница используется для определения сходимости знакопеременного ряда [math]\sum\limits_^<\infty>(-1)^b_n[/math] .

[править] Виды функциональных рядов

[править] Другие понятия

[править] Литература

• Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики — М.: «Наука», 1975.

Персональные инструменты

Пространства имён

• Статья
• Обсуждение

Варианты

Просмотры

• Читать
• Правка
• История

Действия

Поиск

Навигация

Инструменты

• Последнее изменение этой страницы: 01:13, 20 марта 2021.
• К этой странице обращались 5957 раз.

Текст страницы доступен по условиям лицензии GNU Free Documentation License. Материалы могут быть скопированы при условии указания активной ссылки на источник копирования в теле статьи (на той же странице). В отдельных случаях могут действовать условия лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike (CC BY-SA 3.0), информацию об этом можно просмотреть на странице обсуждения или в истории правок. В частности, условия лицензии CC BY-SA 3.0 действуют в отношении статей, перенесенных из Википедии (указание на факт переноса всегда есть в истории правок статьи или на ее странице обсуждения).

В текстах упоминаются организации, признанные на территории Российской Федерации террористическими и/или в отношении которых судом принято вступившее в законную силу решение о запрете деятельности. В том числе:

Признаны террористическими организациями: «Исламское государство» (другие названия: «Исламское Государство Ирака и Сирии», «Исламское Государство Ирака и Леванта», «Исламское Государство Ирака и Шама»), «Высший военный Маджлисуль Шура Объединенных сил моджахедов Кавказа», «Конгресс народов Ичкерии и Дагестана», «База» («Аль-Каида»), «Братья-мусульмане» («Аль-Ихван аль-Муслимун»), «Движение Талибан», «Имарат Кавказ» («Кавказский Эмират»), Джебхат ан-Нусра (Фронт победы) (другие названия: «Джабха аль-Нусра ли-Ахль аш-Шам» (Фронт поддержки Великой Сирии), Всероссийское общественное движение «Народное ополчение имени К. Минина и Д. Пожарского», Международное религиозное объединение «АУМ Синрике» (AumShinrikyo, AUM, Aleph) — см. полный список.

Деятельность запрещена по решению суда: Межрегиональная общественная организация «Национал-большевистская партия», Межрегиональная общественная организация «Движение против нелегальной иммиграции», Украинская организация «Правый сектор», Украинская организация «Украинская национальная ассамблея — Украинская народная самооборона» (УНА — УНСО), Украинская организация «Украинская повстанческая армия» (УПА), Украинская организация «Тризуб им. Степана Бандеры», Украинская организация «Братство», Межрегиональное общественное объединение — организация «Народная Социальная Инициатива» (другие названия: «Народная Социалистическая Инициатива», «Национальная Социальная Инициатива», «Национальная Социалистическая Инициатива»), Межрегиональное общественное объединение «Этнополитическое объединение „Русские“», Общероссийская политическая партия «ВОЛЯ», Общественное объединение «Меджлис крымскотатарского народа», Религиозная организация «Управленческий центр Свидетелей Иеговы в России» и входящие в ее структуру местные религиозные организации, Межрегиональное общественное движение «Артподготовка» — см. полный список.