Иван Пономарёв
к. ф.-м. н., доцент кафедры алгоритмов и технологий программирования МФТИ
- Программирую
- Преподаю
О термине «булеан» и некорректности использования буквы «B»
С первых же занятий по мат. аппарату на кафедре концептуального анализа и проектирования студенты учатся рисовать красивую готическую букву «B» и применять термин «булеан». Немногим, однако, известно, что появление самого этого термина — результат недоразумения.
В книгах по теории множеств (от монографии Хаусдорфа до современных учебников) вы не встретите ни термина «булеан», ни буквы B (простой или готической) для обозначения множества всех подмножеств данного множества. Чаще всего для этого используется буква P (скорее всего, от слова part, т. к. множество P(A) также называют множеством частей A или множеством-степенью A).
Можно подумать, что обозначение «B» пришло к нам из аппарата Бурбаков. Если же вы откроете почитаемую, но не читаемую многими новыми концептуалистами «теорию множеств» Н. Бурбаки, то вы обнаружите, что, как и другие авторы, Бурбаки используют для обозначения «множества частей» букву P, хотя и в готическом написании. Её начертание, действительно, похоже на «B» (скорее, на греческую «бета»), однако это всё-таки литера P готической гарнитуры (фрактуры):
Сравнивая эту картинку со всеми использованными в книге Бурбаков готическими буквами, легко убедиться, что именно эту гарнитуру использовали при наборе, и именно буква P (𝔓) из этой гарнитуры применяется для обозначения «множества частей».
Характерно, однако, что литера B из этой же гарнитуры используется в шрифте «Булеан», созданном для некоторых средств автоматизации концептуального проектирования.
Таким образом, принятие буквы «B» было просто недоразумением, неправильным чтением готической литеры.
Во всяком случае, необходимо иметь в виду, что использование «B» в наших математических статьях является отходом от давней и авторитетной математической традиции.
Булеан
Пусть 
— множество. Множество всех подмножеств множества называется булеаном (также степенью множества (англ. power set ), показательным множеством или множеством частей) и обозначается 
. Также оно обозначается 
, так как оно соответствует множеству отображений из в 
Если два множества равномощны, то равномощны и их булеаны. Обратное утверждение (т.е. инъективность операции для кардиналов) является независимым от ZFC.
В категории множеств можно снабдить функцию 
в функцию 
в образ
относительно 
.
в 
в полный прообразотносительно .Справедливо следующее утверждение:
Число подмножеств конечного множества, состоящего из 
элементов, равно 
.
Доказательство проведем методом математической индукции.
База. Если 
, т. е. множество пусто, то у него только одно подмножество — оно само, и интересующее нас число равно 
.
Индукционный шаг. Пусть утверждение справедливо для некоторого n и пусть 
— множество с кардинальным числом 
. Зафиксировав некоторый элемент 
, разделим подмножества множества на два типа:
, содержащее 
,
, не содержащее , то есть являющиеся подмножествами множества 
. Но подмножеств типа (1) ровно столько же, так как подмножество типа (1) получается из некоторого и притом единственного подмножества типа (2) добавлением элемента и, следовательно, из каждого подмножества типа (2) получается этим способом одно и только одно подмножество типа (1).
Следовательно имеем
и 
. По индукционному предположению 
и 
. Получаем ![\left| 2^M \right| = \left| M_1 \right| + \left| M_2 \right| = 2^n + 2^n = 2^<n+1>= 2^\left| M \right|» width=»» height=»» />.</p>
<h2>Что такое булеан множества</h2>
<p>Рассмотрение системы как совокупности элементов дает возможность привлечь для ее математического описания аппарат теории множеств. При этом в ряде важных случаев связи между элементами удобно описываются с помощью аппарата математической логики.</p>
<p>Понятие множества — является одним из тех фундаментальных понятий математики, которым трудно дать точное определение, используя элементарные понятия. Поэтому ограничимся описательным объяснением понятия множества.</p>
<p><b>Множеством</b> называется совокупность определенных вполне различаемых объектов, рассматриваемых как единое целое. Создатель теории множеств Георг Кантор давал следующее определение множества — «множество есть многое, мыслимое нами как целое».</p>
<p>Отдельные объекты, из которых состоит множество, называются <b>элементами</b> множества.</p>
<p>Множества принято обозначать большими буквами латинского алфавита, а элементы этих множеств — маленькими буквами латинского алфавита. Множества записываются в фигурных скобках < >.</p>
<p>Принято использовать следующие обозначения:</p>
<ul>
<li>a ∈ X — «элемент a принадлежит множеству X»;</li>
<li>a ∉ X — «элемент a не принадлежит множеству X»;</li>
<li>∀ — квантор произвольности, общности, обозначающий «любой», «какой бы не был», «для всех»;</li>
<li>∃ — квантор существования: ∃y ∈ B — «существует (найдется) элемент y из множества B»;</li>
<li>∃! — квантор существования и единственности: ∃!b ∈ C — «существует единственный элемент b из множества C»;</li>
<li>: — «такой, что; обладающий свойством»;</li>
<li>→ — символ следствия, означает «влечет за собой»;</li>
<li>⇔ — квантор эквивалентности, равносильности — «тогда и только тогда».</li>
</ul>
<p>Множества бывают <b>конечные</b> и <b>бесконечные</b>. Множества называются <b>конечным</b>, если число его элементов конечно, т.е. если существует натуральное число n, являющееся числом элементов множества. А=<a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>,a <sub>3</sub>, . a<sub>n</sub>>. Множество называется <b>бесконечным</b>, если оно содержит бесконечное число элементов. B=<b<sub>1</sub>,b<sub>2</sub>,b<sub>3</sub>, . >. Например, множество букв русского алфавита — конечное множество. Множество натуральных чисел — бесконечное множество.</p>
<p>Число элементов в конечном множестве M называется мощностью множества M и обозначается |M|. <b>Пустое</b>множество — множество, не содержащее ни одного элемента — ∅. Два множества называются <b>равными</b>, если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. представляют собой одно и тоже множество. Множества не равны X ≠ Y, если в Х есть элементы, не принадлежащие Y, или в Y есть элементы, не принадлежащие Х. Символ равенства множеств обладает свойствами:</p>
<ul>
<li>Х=Х; — рефлексивность</li>
<li>если Х=Y, Y=X — симметричность</li>
<li>если X=Y,Y=Z, то X=Z — транзитивность.</li>
</ul>
<p>Согласно такого определения равенства множеств мы естественно получаем, что все пустые множества равны между собой или что то же самое, что существует только одно пустое множество.</p>
<h5>Подмножества. Отношение включения.</h5>
<p>Множество Х является подмножеством множества Y, если любой элемент множества Х ∈ и множеству Y. Обозначается X⊆Y.</p>
<p>Если необходимо подчеркнуть, что Y содержит и другие элементы, кроме элементов из Х, то используют символ строгого включения ⊂: X⊂Y. Связь между символами ⊂ и ⊆ дается выражением:</p>
<p>Отметим некоторые свойства подмножества, вытекающие из определения:</p>
<ol>
<li>X⊆Х (рефлексивность);</li>
<li>[X⊆Y и Y⊆Z] → X⊆Z (транзитивность);</li>
<li>∅ ⊆ M. Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества.</li>
</ol>
<p>Исходное множество А по отношению к его подмножествам называется <b>полным</b> множеством и обозначается I.</p>
<p>Любое подмножество А<sub>i</sub> множества А называется собственным множеством А.</p>
<p>Множество, состоящие из всех подмножеств данного множества Х и пустого множества ∅, называется <b>булеаном</b> Х и обозначается β(Х). Мощность булеана |β(Х)|=2 n .</p>
<p><b>Счетное множество</b> — это такое множество А, все элементы которого могут быть занумерованы в последовательность (м.б. бесконечную) а<sub>1</sub>, а<sub>2</sub>, а<sub>3</sub>, . а<sub>n</sub>, . так, чтобы при этом каждый элемент получил ишь один номер n и каждое натуральное число n было бы в качестве номера дано одному и лишь одному элементу нашего множества.</p>
<p>Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным множеством.</p>
<p><b>Пример.</b> Множество квадратов целых чисел 1, 4, 9, . n 2 представляет собой лишь подмножество множества натуральных чисел N. Множество является счетным, так как приводится во взаимно однозначные соответствия с натуральным рядом путем приписывания каждому элементу номера того числа натурального ряда, квадратом которого он является.</p>
<p>Существует 2 основных способа задания множеств.</p>
<ul>
<li>перечислением (X=<a,b>, Y=<1>, Z=<1,2. 8>, M=<m<sub>1</sub>,m<sub>2</sub>,m<sub>3</sub>. m<sub>n</sub>>);</li>
<li>описанием — указывается характерное свойства , которым обладают все элементы множества.</li>
</ul>
<p>Множество полностью определено своими элементами.</p>
<p>Перечислением можно задать только конечные множества (например, множество месяцев в году). Бесконечные множества можно задать только описанием свойств его элементов (например, множество рациональных чисел можно задать описанием Q=<n/m, m, n∈Z, m≠0>.</p>
<p>Способы задания множества описанием:</p>
<p>а) <u>заданием порождающей процедуры</u> с указанием множества (множеств), которое пробегает параметр (параметры) этой процедуры — <u>рекурсивный, индуктивный.</u></p>
<p>б) <u>заданием вычислительной процедуры</u> формульной зависимости:</p>
<p>в) <u>заданием характеристического свойства</u> (высказывания), выделяющего элементы данного множества из элементов других множеств — предикатный.</p>
<p>K= <m: m=n 2 , n∈N>— множество всех квадратов натуральных чисел, N=</p>
<p>г) <u>заданием с помощью операций над множествами — аналитический.</u></p>
<p>Отметим некоторые свойства подмножества, вытекающие из его определения:</p>
<p>Для любого множества само это множество и ∅ можно рассматривать как его подмножества, называемые <b>несобственными</b>. Все другие подмножества — <b>собственные</b>.</p>
<div class='yarpp yarpp-related yarpp-related-website yarpp-template-list'>
<!-- YARPP List -->
<div>Похожие публикации:</div><ol>
<li><a href=](https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/74870http:/dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/c8755f17b7b0e460562f8c1de87a70d3.png "Как вставить название рисунка в ворде")
Как вставить название рисунка в ворде- Что такое анонимная функция php
- Что такое бэкплейт
- Что такое ггб