Что такое бинарный оператор

Бинарная операция

Бинарная операция (от лат. bi — два) — математическая операция, принимающая два аргумента и возвращающая один результат (то есть с арностью два).

Содержание

Определение

Пусть $A,\;B,\;C$ — тройка непустых множеств. Бинарной операцией или двуме́стной опера́цией в паре $A,\;B$ со значениями в называется отображение $P \to C$ , где $P \subset A\times B$

Если A=B=C , то действие называется внутренним, если A=C или B=C — внешним. В частности, любое внутреннее действие является внешним.

Замечание

Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами (инфиксная форма записи). Например, для произвольной бинарной операции $\circ$ результат её применения к двум элементам и записывается в виде $x\circ y$ .

Это не значит, что не используются другие формы записи бинарных операций. Существуют и другие виды записи:

префиксная (польская запись) — $\circ\,x\;y$ ;
постфиксная (обратная польская запись) — $x\;y\,\circ$ .

Типы бинарных операций

Коммутативная операция

$\circ$

Бинарная операция называется коммутативной, если её результат не зависит от перестановки операндов, то есть

$x\circ y=y\circ x,\quad\forall x,\;y\in M.$

Ассоциативная операция

$\circ$

Бинарная операция называется ассоциативной, если

$(x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z),\quad\forall x,\;y,\;z\in M.$

Для ассоциативной операции $\circ$ результат вычисления $x_1\circ x_2\circ\ldots\circ x_n$ не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение $x_1\circ x_2\circ\ldots\circ x_n$ при n>2 однозначно не определено.

Альтернативная операция

$\circ$

Бинарная операция называется альтернати́вной если

$(x\circ x)\circ y=x\circ(x\circ y)$ и $y\circ(x\circ x)=(y\circ x)\circ x,\quad\forall x,\;y\in M$ .

Примеры

Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на поле вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.

Записи

Мультипликативная запись

Если абстрактную бинарную операцию на называют умноже́нием, то её результат для элементов $x,\;y\in M$ называют их произведе́нием и обозначают $x\cdot y$ или . В этом случае нейтральный элемент $e\in M$ , то есть элемент удовлетворяющий равенствам

$x\cdot e=e\cdot x=x,\quad\forall x\in M,$

называется едини́чным элеме́нтом относительно выбранной бинарной операции.

Аддитивная запись

Если бинарную операцию называют сложе́нием, то образ пары элементов $x,\;y\in M$ называют су́ммой и обозначают x+y . Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом 0, называют нулевы́м элеме́нтом и пишут

$x+0=0+x= x,\quad\forall x\in M.$

Обратная операция

Если операция обладает биективностью, то у неё существуют обратные операции. Для бинарной операции может быть до двух обратных операций (левая и правая), в случае коммутативной операции — они совпадают.

Теорема 1

Для любой бинарной операции, существует не более одного нейтрального элемента

Теорема 2

Если бинарная операция ассоциативна, то для каждого элемента существует не более одного обратного

См. также

Литература

Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних и учебных заведений. — М.: Наука, 1988. — 430 с. — ISBN 5-02-013792-8.

Бинарная операция

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое «Бинарная операция» в других словарях:

бинарная операция — двуместная операция Операция, выполняемая над двумя аргументами. Например, сложение аргументов "х", "у". Кроме двуместных выполняются и одноместные операции. Двуместную операцию также называют бинарной. [Гипертекстовый… … Справочник технического переводчика

Операция (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Операция. Операция отображение, ставящее в соответствие одному или нескольким элементам множества (аргументам) другой элемент (значение). Термин «операция» как правило применяется к… … Википедия

Коммутативная операция — Первое известное использование термина коммутативность … Википедия

Унарная операция — В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка… … Википедия

Ассоциативная операция — Ассоциативная операция это бинарная операция , обладающая ассоциативностью (лат. associatio соединение), или сочетательностью: для любых элементов . Для ассоциативной операции результат вычисления не зависит от порядка вычисления … Википедия

Логическая операция — В логике логическими операциями называют действия, вследствие которых порождаются новые понятия, возможно с использованием уже существующих. В более узком, формализованном смысле, понятие логической операции используется в математической логике и … Википедия

БЭРА УМНОЖЕНИЕ — бинарная операция на множестве классов эквивалентных расширений модулей; предложена Р. Бэром [1]. Пусть Л и В произвольные модули. Расширением Ас ядром Вназ. точная последовательность: Расширение (1) наз. эквивалентным расширению если существует… … Математическая энциклопедия

Антикоммутативность — Бинарная операция, определённая в кольце, называется антикоммутативной, если в кольце выполняется тождество . Из этого вытекает тождество . Если в кольце не является делителем нуля, тогда первое тождество следует из второго, и они равносильны. Но … Википедия

Битовые операции — Не следует путать с булевой функцией. Битовая операция в программировании некоторые операции над цепочками битов. В программировании, как правило, рассматриваются лишь некоторые виды этих операций: логические побитовые операции и… … Википедия

Калькулятор — У этого термина существуют и другие значения, см. Калькулятор (значения). Современный инженерный калькулятор Калькулятор … Википедия

Бинарная операция

В математике , A бинарная операция или двоично — операция представляет собой вычисление , которое сочетает в себе два элемента (называемые операнды ) , чтобы произвести другой элемент. Более формально, бинарная операция является операцией по арности два.

Более конкретно, бинарная операция над набором — это операция, в которой два домена и кодомен являются одним и тем же набором. Примеры включают знакомые арифметические операции из сложения , вычитания , умножения . Другие примеры легко найти в различных областях математики, таких как сложение векторов , умножение матриц и групповое сопряжение .

Операция арности два, которая включает несколько наборов, иногда также называется бинарной операцией . Например, скалярное умножение в векторных пространствах принимает скаляр и вектор для получения вектора, и скалярное произведение принимает два вектора для получения скаляра. Такие бинарные операции можно назвать просто бинарными функциями .

Бинарные операции являются краеугольным камнем большинства алгебраических структур , которые изучаются в алгебре , в частности в полугруппах , моноидах , группах , кольцах , полях и векторных пространствах .

СОДЕРЖАНИЕ

Терминология [ править ]

Точнее, бинарная операция на множестве S — это отображение элементов декартового произведения S × S в S : [1] [2] [3]

Поскольку результат выполнения операции над парой элементов S снова является элементом S , операция называется закрытой (или внутренней ) бинарной операцией над S (или иногда выражается как имеющая свойство замыкания ). [4]

Если f не функция , а частичная функция , то f называется частичной бинарной операцией . Например, деление действительных чисел является частичной бинарной операцией, потому что нельзя делить на ноль : a / 0 не определено для каждого действительного числа a . В обеих универсальной алгебре и модели теории , бинарные операции должны быть определены на всех S × S .

Иногда, особенно в информатике , термин двоичная операция используется для обозначения любой двоичной функции .

Свойства и примеры [ править ]

Типичными примерами бинарных операций являются сложение (+) и умножение (×) чисел и матриц, а также композиция функций на одном наборе. Например,

На множестве действительных чисел R , F ( , б ) = + Ь является бинарной операцией , так как сумма двух действительных чисел является действительным числом.
На множестве натуральных чисел N , F ( , б ) = + Ь является бинарной операцией , так как сумма двух натуральных чисел является натуральным числом. Это другая бинарная операция, чем предыдущая, поскольку наборы разные.
На множестве M (2, R ) матриц 2 × 2 с действительными элементами f ( A , B ) = A + B является бинарной операцией, поскольку сумма двух таких матриц является матрицей 2 × 2 .
На множестве M (2, R ) матриц 2 × 2 с действительными элементами f ( A , B ) = AB является бинарной операцией, поскольку произведение двух таких матриц является матрицей 2 × 2 .
Для заданного множества С , пусть S множество всех функций часов : С → С . Определим f : S × S → S как f ( h₁ , h₂ ) ( c ) = ( h₁ ∘ h₂ ) ( c ) = h₁ ( h₂ ( c )) для всех c ∈ C , композиция две функции h₁ и ч₂ в S . Тогда f является бинарной операцией, поскольку композиция двух функций снова является функцией на множестве C (то есть членом S ).

Многие бинарные операции, представляющие интерес как для алгебры, так и для формальной логики, коммутативны , удовлетворяя f ( a , b ) = f ( b , a ) для всех элементов a и b в S , или ассоциативны , удовлетворяя f ( f ( a , b ), c ) = f ( a , f ( b , c )) для всех a , b и с в S . Многие также имеют элементы идентичности и обратные элементы .

Первые три приведенных выше примера коммутативны, а все приведенные выше примеры ассоциативны.

На множестве действительных чисел R , вычитание , то есть F ( , б ) = а — Ь , является бинарной операцией , которая не является коммутативной , так как, в общем, — б ≠ б — . Он также не ассоциативен, поскольку, вообще говоря, a — ( b — c ) ≠ ( a — b ) — c ; например, 1 — (2-3) = 2, но (1-2) — 3 = −4 .

На множестве натуральных чисел N , бинарная операция возведения в степень , F ( , б ) = а б , не является коммутативным , так как, в б ≠ б (ср Уравнение X = Y ), а также не ассоциативно , так как F ( f ( a , b ), c ) ≠ f ( a , f ( b , c )) . Например, при a = 2 , b = 3 и c = 2 , f (2 3 , 2) = f (8,2) = 8 2 = 64 , но f (2,3 2 ) = f (2,9) = 2 9 = 512 . Путем изменения заданного N к множеству целых чисел Z , эта бинарная операция становится частичной бинарной операцией , так как он теперь не определен , когда = 0 и Ь любое отрицательное целое число. Для любого набора эта операция имеет правильную идентичность (которая равна 1), поскольку f ( a , 1) = a для всех a в наборе, что не является тождеством (двустороннее тождество), поскольку f (1, b ) ≠ b в общем случае.

Деление (/), частичная бинарная операция над множеством действительных или рациональных чисел, не является коммутативной или ассоциативной. Тетрация (↑↑) как бинарная операция над натуральными числами не является коммутативной или ассоциативной и не имеет элемента идентичности.

Обозначение [ править ]

Бинарные операции часто записываются с использованием инфиксной записи, такой как a ∗ b , a + b , a · b или (путем сопоставления без символа) ab, а не с использованием функциональной записи формы f ( a , b ) . Полномочия обычно также записываются без оператора, но со вторым аргументом в виде надстрочного индекса .

Бинарные операции иногда используют префиксную или (вероятно, чаще) постфиксную нотацию, причем в обоих случаях не используются круглые скобки. Их также называют, соответственно, польской нотацией и обратной польской нотацией .

Пара и кортеж [ править ]

Бинарная операция ab зависит от упорядоченной пары ( a, b ) и, следовательно, ( ab ) c (где круглые скобки здесь означают, что сначала выполняются операции с упорядоченной парой ( a , b ), а затем обрабатываются ее результаты, используя упорядоченные пара (( ab ), c )), вообще говоря, зависит от упорядоченной пары (( a , b ), c ). Таким образом, в общем, неассоциативном случае бинарные операции могут быть представлены бинарными деревьями .

Если операция ассоциативна, ( ab ) c = a ( bc ), то значение ( ab ) c зависит только от кортежа ( a , b , c ).
Если операция коммутативная, ab = ba , то значение ( ab ) c зависит только от << a , b >, c >, где фигурные скобки обозначают мультимножества .
Если операция является одновременно ассоциативной и коммутативной, то значение ( ab ) c зависит только от мультимножества < a , b , c >.
Если операция ассоциативная, коммутативная и идемпотентная , aa = a , то значение ( ab ) c зависит только от множества< a , b , c >.

Бинарные операции как тернарные отношения [ править ]

Бинарная операция f на множестве S может рассматриваться как тернарное отношение на S , то есть набор троек ( a , b , f ( a, b )) в S × S × S для всех a и b в S .

Внешние бинарные операции [ править ]

Внешняя бинарная операция является двоичной функцией из K × S до S . Это отличается от бинарной операции над множеством в том смысле, что K не обязательно должно быть S ; его элементы приходят извне .

Примером внешней бинарной операции является скалярное умножение в линейной алгебре . Здесь K — поле, а S — векторное пространство над этим полем.

В качестве альтернативы внешняя бинарная операция может рассматриваться как действие ; K действует на S .

Скалярное произведение двух векторов отображение из S × S с K , где K является полем , и S представляет собой векторное пространство над K . От авторов зависит, считается ли это бинарной операцией.

5.2 – Арифметические операторы

В C++ есть два унарных арифметических оператора, плюс (+) и минус (-). Напоминаем, что унарные операторы – это операторы, которые принимают только один операнд.

Унарные арифметические операторы

Оператор	Обозначение	Пример использования	Операция
Унарный плюс	+	+x	Значение x
Унарный минус	—	-x	Отрицательное значение x

Оператор унарного минуса возвращает операнд, умноженный на -1 . Другими словами, если x = 5 , -x равно -5 .

Оператор унарного плюса возвращает значение операнда. Другими словами, +5 равно 5 , а +x равно x . Как правило, вам не нужно использовать этот оператор, поскольку он избыточен. Он был добавлен в основном для обеспечения симметрии с унарным оператором минус.

Для наилучшего эффекта оба этих оператора следует размещать непосредственно перед операндом (например, -x , а не — x ).

Не путайте оператор унарного минуса с оператором бинарного вычитания, в котором используется тот же символ. Например, в выражении x = 5 — -3; первый минус – это оператор бинарного вычитания, а второй – оператор унарного минуса.

Бинарные арифметические операторы

В C++ есть 5 бинарных арифметических операторов. Бинарные операторы – это операторы, которые принимают левый и правый операнды.

Бинарные арифметические операторы

Оператор	Обозначение	Пример использования	Операция
Сложение	+	x + y	x плюс y
Вычитание	—	x — y	x минус y
Умножение	*	x * y	x , умноженное на y
Деление	/	x / y	x , деленное на y
Остаток от деления	%	x % y	остаток от деления x на y

Операторы сложения, вычитания и умножения работают так же, как и в реальной жизни, без каких-либо оговорок.

Деление и остаток от деления требуют дополнительных пояснений. О делении мы поговорим ниже, а об остатке от деления – в следующем уроке.

Целочисленное деление и деление с плавающей запятой

Проще всего представить себе, что оператор деления имеет два разных «режима».

Если один (или оба) операнда являются значениями с плавающей точкой, оператор деления выполняет деление с плавающей точкой. Деление с плавающей точкой возвращает значение с плавающей точкой, и дробная часть сохраняется. Например, 7.0 / 4 = 1.75 , 7 / 4.0 = 1.75 и 7.0 / 4.0 = 1.75 . Как и во всех арифметических операциях с плавающей точкой, здесь могут возникать ошибки округления.

Если оба операнда являются целыми числами, оператор деления вместо этого выполняет целочисленное деление. Целочисленное деление отбрасывает любые дробные части и возвращает целочисленное значение. Например, 7 / 4 = 1 , потому что дробная часть результата отбрасывается. Точно так же -7 / 4 = -1 , потому что дробная часть опускается.

Предупреждение

До C++11 целочисленное деление с отрицательным операндом могло округляться в большую или меньшую сторону. Таким образом, -5 / 3 могло дать результат -1 или -2 . Это было исправлено в C++11, где дробная часть всегда отбрасывается (округляется до 0).

Использование static_cast<> для деления с плавающей точкой с целочисленными значениями

Сказанное выше поднимает вопрос: если у нас есть два целых числа и мы хотим разделить их без потери дробной части, как нам это сделать?

В уроке «4.11 – Символы» мы показали, как можно использовать оператор static_cast<> для преобразования значения char в целочисленный тип, чтобы оно печаталось как целое число, а не как символ.

Аналогичным образом мы можем использовать static_cast<> для преобразования значения целочисленного типа в число с плавающей точкой, чтобы мы, вместо целочисленного деления, смогли выполнить деление с плавающей точкой. Рассмотрим следующий код:

Приведенный выше пример показывает, что если любой из операндов является числом с плавающей точкой, результатом будет деление с плавающей точкой, а не целочисленное деление.

Деление на ноль

Попытка разделить на 0 (или 0.0) обычно приводит к сбою программы, так как результаты математически не определены!

Это работает, но немного неудобно и требует для выполнения двух операторов ( operator+ и operator= ).

Поскольку написание таких инструкций, как x = x + 4 , очень распространено, C++ для удобства предоставляет пять арифметических операторов присваивания. Вместо того, чтобы писать x = x + 4 , вы можете написать x += 4 . Вместо x = x * y вы можете написать x *= y .

Что такое бинарный оператор

Бинарная операция

Содержание

Определение

Замечание

Типы бинарных операций

Коммутативная операция

Ассоциативная операция

Альтернативная операция

Примеры

Записи

Мультипликативная запись

Аддитивная запись

Обратная операция

Теорема 1

Теорема 2

См. также

Литература

Полезное

Смотреть что такое «Бинарная операция» в других словарях:

Бинарная операция

СОДЕРЖАНИЕ

Терминология [ править ]

Свойства и примеры [ править ]

Обозначение [ править ]

Пара и кортеж [ править ]

Бинарные операции как тернарные отношения [ править ]

Внешние бинарные операции [ править ]

5.2 – Арифметические операторы

Бинарные арифметические операторы

Целочисленное деление и деление с плавающей запятой

Использование static_cast<> для деления с плавающей точкой с целочисленными значениями

Деление на ноль

Добавить комментарий Отменить ответ