Уравнение плоскости
при этом вектор с координатами является нормальным вектором к плоскости.
Здесь и — координаты трёх точек плоскости. Заметим, что уравнений в системе три, а переменных — четыре. То есть решение этой системы мы получаем с точностью до коэффициента. Этот коэффициент роли не играет — после подстановки решения в уравнение плоскости на него можно сократить. Рассмотрим это на примере.
Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и
Решение. Составляем систему уравнений
Числа выражаем через :
Получаем уравнение плоскости
или, после сокращения на ,
Параметрические уравнения плоскости:
Здесь — некоторая точка плоскости, и — координаты направляющих веторов плоскости, — параметры.
Уравнения плоскости в векторном виде
Векторное параметрическое уравнение плоскости:
где — направляющие векторы плоскости, — радиус-вектор некоторой фиксированной точки плоскости.
Это уравнение также можно записать в виде
То есть для того, чтобы вектор был радиус-вектором некоторой точки плоскости, необходимо, чтобы вектора и лежали в одной плоскости, то есть их смешанное произведение было равно нулю.
Нормальное векторное уравнение плоскости:
где — нормальный вектор плоскости.
Это уравнение также можно записать в виде
Если вектор — единичный (его длина равна ), то величина есть расстояние от точки до плоскости. Смысл этого уравнения в том, что проекция радиус-вектора любой точки плоскости на нормаль к ней есть постоянная величина, равная расстоянию до этой плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через три точки с радиус-векторами и можно записать в векторном виде:
Если радиус векторы имеют соответственно координаты то в координатной форме это уравнение запишется так:
Уравнение плоскости по трем точкам
Вектором нормали к плоскости называется вектор, перпендикулярный к этой плоскости. Обозначать его будем буквой 
а буквами А, В, С будем обозначать координаты этого вектора (рис. 17). Составим уравнение плоскости, проходящей через известную точку 
с заданным нормальным вектором 
Пусть 
— текущая точка плоскости.
Т. к. вектор 
Это уравнение плоскости по точке и нормальному вектору.
Если в (2.9) менять параметры А, В, С, т. е. менять координаты вектора нормали плоскости, то каждый раз будем получать уравнение другой плоскости, содержащей точку 
Множество всех таких плоскостей называется связкой плоскостей, проходящих через точку 
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
Пример 1:
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку 
перпендикулярно к прямой 
Решение:
Т. к. плоскость должна быть перпендикулярна заданной прямой, то в качестве вектора нормали плоскости можно взять направляющий вектор прямой 
и тогда уравнение плоскости будет таким: 
или 
Общее уравнение плоскости и его исследование
Рассмотрим уравнение плоскости по точке и нормальному вектору
и преобразуем его, собрав в одно слагаемое все постоянные
и, обозначив выражение в скобках одной буквой D, получим:
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Это общее уравнение плоскости.
Равенство нулю отдельных коэффициентов этого уравнения вносит особенности в расположение плоскости.
1. D = 0. Уравнение принимает вид:
откуда ясно, что точка 
лежит на плоскости. Другими словами, плоскость проходит через начало координат.
2. А = 0. В таком случае 
Получилось, что направляющий вектор оси 
(вектор 
) ортогонален вектору
, т. е. плоскость параллельна оси Ох (рис. 18).
плоскость параллельна оси 
плоскость парал- х лельна оси 
.
3. 
Плоскость параллельна и оси 
, и оси 
значит, она параллельна плоскости 
— плоскость параллельна плоскости 
;
— плоскость параллельна плоскости
.
4. 
Первое условие означает, что плоскость параллельна оси 
, второе — что она проходит через начало координат. Значит, плоскость проходит через ось 
. 
— плоскость проходит через ось 
;
— плоскость проходит через ось 
.
5. 
— координатные плоскости.
Пример 2:
Решение:
Т. к. в уравнении отсутствует перемещенная 
то плоскость параллельна оси 
.
Для построения этой плоскости сначала изобразим ее
«след» на плоскости 
Это — прямая, проходящая через две точки (5; 0; 0) и (0; 3; 0). Затем через полученную прямую проведем плоскость, параллельную оси 
(рис. 19).
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
Как составить уравнение плоскости
Если известны координаты трех точек, через которые проходит плоскость, то запишите уравнение плоскости в виде определителя третьего порядка. Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно. Тогда уравнение плоскости, проходящей через эти три точки, выглядит следующим образом:
│ x-x1 y-y1 z-z1 │
│x2-x1 y2-y1 z2-z1│ = 0
│x3-x1 y3-y1 z3-z1│
Пример: составить уравнение плоскости, проходящей через три точки с координатами: (-1; 4; -1), (-13; 2; -10), (6; 0; 12).
Решение: подставляя координаты точек в вышеприведенную формулу, получим:
│x+1 y-4 z+1 │
│-12 -2 -9 │ =0
│ 7 -4 13 │
В принципе, это и есть уравнение искомой плоскости. Однако если разложить определитель по первой строке, то получится более простое выражение:
-62*(х+1) + 93*(у-4) + 62*(z+1) = 0.
Разделив обе части уравнения на 31 и приведя подобные, получим:
Ответ: уравнение плоскости, проходящей через точки с координатами
(-1; 4; -1), (-13; 2; -10) и (6; 0; 12)
Если уравнение плоскости, проходящей через три точки, требуется составить без использования понятия «определитель» (младшие классы, тема – системы линейных уравнений), то воспользуйтесь следующим рассуждением.
Уравнение плоскости в общем виде имеет вид Ах+ВуСz+D=0, причем одной плоскости соответствует множество уравнений с пропорциональными коэффициентами. Для простоты вычислений параметр D обычно принимают равным 1, если плоскость не проходит через начало координат (для плоскости, проходящей через начало координат, D=0).
Так как координаты точек, принадлежащих плоскости, должны удовлетворять вышеприведенному уравнению, то в итоге получается система из трех линейных уравнений:
решив которую и избавившись от дробей, получим вышеприведенное уравнение
Если заданы координаты одной точки (х0, у0, z0) и координаты вектора нормали (А, В, С), то чтобы составить уравнение плоскости, просто запишите уравнение:
После приведения подобных это и будет уравнением плоскости.
- составить уравнение плоскости проходящей
- Как можно задать плоскость
- Как найти уравнение плоскости пирамиды
- Как строить плоскости в пространстве
- Как найти уравнение плоскости по трем точкам
- Как найти координаты проекций точек
- Как найти угол между прямой и плоскостью, если даны точки
- Как найти расстояние от точки до плоскости
- Как найти нормаль
- Как найти угол между плоскостями
- Что такое плоскость
- Как найти нормальный вектор
- Как найти расстояние от точки до прямой
- Как построить прямую, параллельную плоскости
- Как найти точку, симметричную относительно прямой
- Как составить параметрическое уравнение
- Как нарисовать плоскость
- Как построить плоскость, параллельную заданной
- Как определить, лежат ли точки на одной прямой
- Как составить решение
- Как вычислить угол между прямой и плоскостью
- Как определить расстояние от точки до плоскости
- Как найти расстояние от точки до вершины
- Как найти вектор нормали
- Как найти расстояние между двумя параллельными плоскостями
- Как найти угол между вектором и плоскостью
- Как найти уравнение прямой
- Как построить параллельные прямые
