Основные сведения о комплексных числах, их применение
Комплексными числами в теории называют числа, которые записаны в виде: a + b i , где a, b являются вещественными числами, i играет роль мнимой единицы при условии, что i 2 = — 1 .
В качестве обозначения множества, которое составляют комплексные числа, в алгебре используют букву «С».
Любое комплексное число z = a + b i включает в состав пару компонентов, которые называются и обозначаются так:
- a является вещественной составляющей числа z;
- b является мнимым компонентом числа z.
В том случае, когда b бывает равно нулю, z считают вещественным числом. Заменой выражения a+0i является просто а. К примеру, чтобы обозначить комплексный ноль 0+0i, записывают кратко 0.
Комплексное число z=a+bi является противоположным числу -z=-a-bi. Это правило выполняется, к примеру, если дано число 1-2i, то противоположным ему станет число -1+2i.
Комплексные числа отличаются от вещественных еще и тем, что их нельзя сравнить между собой на «больше» или «меньше». С другой стороны, допустимо сравнение комплексных чисел на равенство или неравенство.
Если мнимая и вещественная части, из которых состоит одно комплексное число, равны соответствующим частям другого комплексного числа, то такие комплексные числа равны. Например, a+bi=c+di. Таким образом, a=c и b=d.
Комплексные числа можно записать в алгебраической форме, чтобы умножать и выполнять другие действия:
Запись комплексного числа можно представить в тригонометрической форме:
z = r ( c o s φ + i sin φ )
Формула для вычисления модуля комплексного числа имеет следующий вид:
Определить аргумент комплексного числа можно по формуле:
φ = a r c t g y x
Формула Эйлера имеет вид:
e i φ = c o s φ + i sin φ
В основе решения многих задач на комплексные числа лежит Формула Муавра, которая означает, что:
z n = ( r ( c o s φ + i sin φ ) ) n = r n ( c o s n φ + i sin n φ )
Действия над комплексными числами: сложение, вычитание, умножение, деление
Комплексные числа можно вычитать и складывать согласно следующим правилам:
a + b i + c + d i = a + c + b + d i
a + b i — c + d i = a — c + b — d i .
При сложении любых комплексных чисел u, v, w допускается использование следующих свойств:
- переместительный закон: u + v = v + u;
- сочетательный закон: u + (v + w) = (u + v) + w;
- свойство нуля: u + 0 = u;
- сложение чисел с противоположными знаками: u + (-u) = 0;
- замена вычитания сложением: u – v = u +(- v).
Правило умножения комплексного числа a + b i и комплексного числа c + d i :
( a + b i ) · ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c + b d i 2 ) + ( b c + a d ) i = ( a c — b d ) + ( b c + a d ) i .
В процессе умножения каких-либо комплексных чисел u, v, w пригодятся следующие свойства:
- переместительный закон: u · v = v · u ;
- сочетательный закон: u · ( v · w ) = ( u · v ) · w ;
- свойство единицы: u · 1 = 1 ;
- свойство нуля: u · 0 = 0 ;
- распределительный закон по сложению: u · ( v + w ) = ( u · v ) + u · w .
Степени мнимой единицы комплексного числа определяются по следующему правилу:
Комплексные числа часто встречаются при решении задач в средних классах школы, на курсах для математиков: школьников и студентов. Ознакомившись с правилами, предусмотренными для операций с комплексными числами, запись комплексного числа a + b i можно представить в качестве выражения, которое составлено на основании правил сложения и умножения комплексных чисел. Используя полученные знания, раскроем все переменные:
( a + 0 i ) + ( b + 0 i ) · ( 0 + 1 i ) = ( a + 0 i ) + ( 0 + b i ) = a + b i
Любое комплексное число a + b i , отличное от нуля, имеет обратное комплексное число: такое, как 1 a + b i . Получить обратное комплексное число легко. Это значит, что достаточно умножить числитель и знаменатель дроби на число a — b i , которое является комплексно сопряженным знаменателю. В качестве практического доказательства и объяснения запишем:
1 a + b i = a — b i ( a + b i ) ( a — b i ) = a — b i a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 — b a 2 + b 2 i .
Разделить какое-либо комплексное число a + b i на комплексное число c + d i , отличное от нуля, можно по схеме:
a + b i c + d i = a + b i c — d i c + d i c — d i = a c + b d c 2 + d 2 + b c — a d c 2 + d 2 i .
Заметим, что по аналогии с вещественными числами, операцию деления комплексных чисел допускается заменить умножением делимого на число, которое является обратным к делителю. С помощью этого метода можно легко находить корни уравнений.
Примеры решения задач
Дано комплексное число, которое нужно записать в тригонометрической и показательной формах:
Определим, чему равен модуль комплексного числа:
| z | = ( — 1 ) 2 + ( 1 ) 2 = 2
arg z = a r c t g — 1 1 + π = — π 4 + π = 3 π 4
В тригонометрической форме комплексное число будет представлено таким образом:
— 1 + i = 2 cos 3 π 4 + i sin 3 π 4
Запишем показательную форму комплексного числа:
— 1 + i = 2 e i 3 π 4
Ответ: 2 cos 3 π 4 + i sin 3 π 4 , 2 e i 3 π 4
Требуется представить комплексное число в тригонометрической и показательной формах:
Модуль заданного числа составит:
| z | = ( — 1 ) 2 + ( 0 ) 2 = 1
Далее определим аргумент:
arg z = a r c t g 0 — 1 = π
Запишем число в тригонометрической форме:
— 1 = cos π + i sin π
Переведем запись комплексного числа в показательную форму:
Ответ: cos π + i sin π , e i π
Сложить комплексные числа:
Воспользуемся правилом сложения комплексных чисел:
z 1 + z 2 = ( 5 + 4 i ) + ( 2 + 3 i ) = 7 + 7 i
Посчитать разность пары комплексных чисел:
z 1 = 5 + 2 i и z 2 = 4 + 8 i
Здесь поможет применение правила вычитания комплексных чисел:
z 1 + z 2 = ( 5 + 2 i ) — ( 4 + 8 i ) = 5 + 2 i — 4 — 8 i = 1 — 6 i
Ответ: z 1 + z 2 = 1 — 6 i
Умножить комплексные числа:
z 1 = 5 ( cos π + i sin 3 π )
z 2 = 3 ( cos 2 π + i sin 3 π )
Воспользуемся правилом умножения комплексных чисел и распишем подробное решение:
z 1 · z 2 = 5 · 3 ( cos ( π + 2 π ) + i sin ( 3 π + 3 π ) ) = 15 ( cos 3 π + i sin 6 π )
Ответ: z 1 · z 2 = 15 ( cos 3 π + i sin 6 π )
Представим комплексное число в тригонометрической форме:
arg z = a r c t g 3 1 = π 3
z = 2 cos π 3 + i sin π 3
Используя в системе вычислений формулу Муавра, определим ответ:
( 1 + 3 i ) 9 = 2 9 cos 9 π 3 + i sin 9 π 3 = 2 9 cos 3 π + i sin 3 π = 2 9 ( — 1 ) = — 512
Вычислить частное от деления двух комплексных чисел:
z 1 = 1 + 3 i и z 2 = 2 + i
Воспользуемся правилом деления комплексных чисел и запишем ответ:
1 + 3 i 2 + i = ( 1 + 3 i ) ( 2 — i ) ( 2 + i ) ( 2 — i ) = 2 — i + 6 i + 3 4 + 1 = 5 + i 5 = 1 + i
Вычислить частное от деления двух комплексных чисел:
z 1 = 3 + 2 i и z 2 = 2 + 3 i
Воспользуемся правилом деления двух комплексных чисел и запишем ответ:
3 + 2 i 2 + 3 i = ( 3 + 2 i ) 2 — 3 i ) ( 2 + 3 i ) ( 2 — 3 i ) = 6 + 4 i — 9 i + 6 4 + 9 = 12 — 5 i 13 = 12 13 — 5 13 i
Ответ: 12 13 — 5 13 i
Запишем i в тригонометрической форме:
i = cos π 2 + i sin π 2
i 3 = cos π 2 + i sin π 2 3 = 1 3 cos π 2 + 2 π k 3 + i sin π 2 + 2 π k 3 , k = 0 , 1 , 2 .
Если k = 0 , получим:
cos π 6 + i sin π 6 = 3 2 + i 1 2
Если k = 1, получим:
cos π 2 + 2 π 3 + i sin π 2 + 2 π 3 = cos 5 π 6 + i sin 5 π 6 = — 3 2 + i 1 2
Если k = 2, получим:
cos 9 π 2 3 + i sin 9 π 2 3 = cos 3 π 2 + i sin 3 π 2 = — i
Ответ: 3 2 + i 1 2 при k = 0 , — 3 2 + i 1 2 при k = 1 , — i при k = 2
Задания для самостоятельной работы
Дано два комплексных числа в показательной форме. Требуется определить их сумму и разность в алгебраической форме:
z 1 = 2 e — π i , z 2 = 4 e π i .
Умножить и найти частное от деления двух комплексных чисел:
z 1 = 4 + 3 i , z 2 = 1 — 3 i .
Вычислить все значения, которыми обладают корни из данного комплексного числа:
Определить значение выражения и записать результат в алгебраической и показательной формах:
Найти модуль и аргумент комплексного числа z. Записать ответ в тригонометрической и показательной формах:
Записать тригонометрическую форму числа z при условии, что:
z = ( 3 — 3 i 3 ) ( 5 3 + 5 i ) .
Дано число a:
Требуется представить число a в алгебраической и тригонометрической формах, а также решить уравнение:
Комплексные числа
В математике кроме натуральных, рациональных и вещественных чисел имеется ещё один вид, называемый комплексными числами. Такое множество принято обозначать символом $ \mathbb
Рассмотрим, что из себя представляет комплексное число. Запишем его таким образом: $ z = a + ib $, в котором мнимая единица $ i = \sqrt <-1>$, числа $ a,b \in \mathbb
$ вещественные.
Если положить $ b = 0 $, то комплексное число превращается в вещественное. Таким образом, можно сделать вывод, что действительные числа это частный случай комплексных и записать это в виде подмножества $ \mathbb
Принято записывать мнимую часть комплексного числа как $ Im(z) = b $, а действительную $ Re(z) = a $.
Введем понятие комплексно-сопряженных чисел. К каждому комплексному числу $ z = a+ib $ существует такое, что $ \overline
= a-ib $, которое и называется сопряженным. Такие числа отличаются друг от друга только знаками между действительной и мнимой частью.
Формы
Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:
- Алгебраическая $ z = a+ib $
- Показательная $ z = |z|e^
- Тригонометрическая $ z = |z|\cdot(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)) $
Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.
Изображение
Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:
Видим, что $ a,b \in \mathbb
Комплексное число $ z = a+ib $ представляется в виде вектора $ \overline
Аргумент обозначается $ \varphi $.
Модуль $ |z| $ равняется длине вектора $ \overline
Аргумент комплексного числа $ \varphi $ нужно находить по различным формулам в зависимости от полуплоскости, в которой лежит само число.
- $ a>0 $, то $ \varphi = arctg\frac$
- $ a<0, b>0 $, то $ \varphi = \pi + arctg\frac$
- $ a<0, b<0 $, то $ \varphi = -\pi + arctg\frac$
Операции
Над комплексными числами можно проводить различные операции, а именно:
- Складывать и вычитать
- Умножать и делить
- Извлекать корни и возводить в степень
- Переводить из одной формы в другую
Для нахождения суммы и разности складывается и вычитаются только соответствующие друг другу члены. Мнимая часть только с мнимой, а действительная только с действительной:
$$ z_1 + z_2 = (a_1+ib_1) + (a_2+ib_2) = (a_1 + a_2)+i(b_1 + b_2) $$
$$ z_1 — z_2 = (a_1+ib_1) — (a_2+ib_2) = (a_1 — a_2)+i(b_1 — b_2) $$
Умножение в алгебраической форме:
$$ z_1 \cdot z_2 = (a_1+ib_1) \cdot (a_2+ib_2) = (a_1 a_2 — b_1 b_2)+i(a_1 b_2 + a_2 b_1) $$
Умножение в показательной форме:
Деление в алгебраической форме:
Деление в показательной форме:
Для возведения в степень необходимо умножить комплексное число само на себя необходимое количество раз, либо воспользоваться формулой Муавра:
$$ z^n = |z|^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi) $$
Для извлечения корней необходимо также воспользоваться формулой Муавра:
Так же теория комплексных чисел помогает находить корни многочленов. Например, в квадратном уравнении, если $ D<0 $, то вещественных корней нет, но есть комплексные. В последнем примере рассмотрен данный случай.
Рассмотрим на практике комплексные числа: примеры с решением.
Примеры с решением
Для начала приступим к нахождению модуля комплексного числа:
Осталось найти аргумент:
Теперь составляем тригонометрическую запись комплексного числа, указанного в условии примера:
Тут же можно записать показательную форму:
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:
$$ z_1 = 3+i, z_2 = 5-2i $$
Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:
$$ z_1 + z_2 = (3+i) + (5-2i) = (3+5)+(i-2i) = 8 — i $$
Аналогично выполним вычитание чисел:
$$ z_1 — z_2 = (3+i) — (5-2i) = (3-5)+(i+2i) = -2 + 3i $$
Выполнить умножение и деление комплексных чисел:
$$ z_1 = 3+i, z_2 = 5-2i $$
$$ z_1 \cdot z_2 = (3+i) \cdot (5-2i) = $$
Просто на просто раскроем скобки и произведем приведение подобных слагаемых, так же учтем, что $ i^2 = -1 $:
$$ = 15 — 6i + 5i -2i^2 = 15 — i — 2\cdot(-1) = $$
$$ = 15 — i + 2 = 17 — i $$
Так, теперь разделим первое число на второе:
Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:
Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:
Для возведения в квадрат достаточно умножить число само на себя:
$$ z^2 = (3+3i)^2 = (3+3i)\cdot (3+3i) = $$
Пользуемся формулой для умножения, раскрываем скобки и приводим подобные:
$$ =9 + 9i + 3i\cdot 3 + 9i^2 = 9 + 18i — 9 = 18i $$
Получили ответ, что $$ z^2 = (3+i)^2 = 18i $$
В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.
Вычисляем значение модуля:
Найдем чем равен аргумент:
$$ \varphi = arctg \frac<3> <3>= arctg(1) = \frac<\pi> <4>$$
Записываем в тригонометрическом виде:
Возводим в степень $ n = 7 $:
Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности:
$$ = 3^7 \sqrt<2>^6 (1-i) = 3^7 \cdot 8(1-i) = $$
$$ = 2187 \cdot 8 (1-i) = 17496(1-i) $$
$$ z^2 = (3+i)^2 = 18i $$ $$ z^7 = 17496(1-i) $$
Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:
$$ \varphi = arctg \frac<0> <-1>+\pi = arctg 0 + \pi = \pi $$
Получаем: $$ z = (\cos \pi + i\sin \pi) $$
Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени:
Так как степень $ n = 3 $, то по формуле $ k = 0,1,2 $:
Решать будем по общей формуле, которую все выучили в 8 классе. Находим дискриминант $$ D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4\cdot 1 \cdot 2 = 4-8 = -4 $$
Получили, что $ D=-4<0 $ и казалось бы, что решение можно заканчивать. Но нет! В нашем задании требуется решить уравнение над комплексным множеством, а то что дискриминант отрицательный означает только лишь отсутствие вещественных корней. А комплексные корни есть! Найдем их продолжив решение:
Заметим, что $ \sqrt <-4>= 2\sqrt <-1>= 2i $ и продолжим вычисление:
Получили комплексно-сопряженные корни:
$$ x_1 = -1 — i; x_2 = -1 — i $$
Как видите любой многочлен можно решить благодаря комплексным числам.
В статье «Комплексные числа: примеры с решением» было дано определение, основные понятия, формы записи, алгебраические операции и решение практических примеров.
Комплексные числа
Известно, что квадратное уравнение с вещественными коэффициентами и отрицательным дискриминантом не имеет вещественных корней. В частности, уравнение
$$
z^2+1=0\nonumber
$$
не имеет корней на множестве \(\mathbb
Определение комплексного числа.
Комплексными числами называют пары \((x,y)\) вещественных (действительных) чисел \(x\) и \(y\), для которых следующим образом определены понятие равенства и операции сложения и умножения.
Обозначим комплексное число \((x,y)\) буквой \(z\), то есть положим \(z=(x,y)\). Пусть \(z_1=(x_1,y_1)\), \(z_2=(x_2,y_2)\). Два комплексных числа \(z_1\) и \(z_2\) считаются равными тогда и только тогда, когда \(x_1=x_2\) и \(y_1=y_2\), то есть
$$
\<(x_1,y_1) = (x_2,y_2)\>\Leftrightarrow \
$$
Сумма и произведение комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\) обозначаются соответственно \(z_1+z_2\) и \(z_1z_2\) и определяются формулами
$$
z_1+z_2=(x_1+x_2,y_1+y_2),\label
$$
$$
z_1z_2=(x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+x_2y_1).\label
$$
Из формул \eqref
$$
(x_1,0) + (x_2,0) = (x_1+x_2,0),\qquad (x_1,0)(x_2,0) = (x_1x_2,0),\nonumber
$$
которые показывают, что операции над комплексными числами вида \((x, 0)\) совпадают с операциями над действительными числами. Поэтому комплексное число вида \((x, 0)\) отождествляют с действительным числом \(x\), то есть полагают \((x,0) = x\).
Среди комплексных чисел особую роль играет число \((0,1)\), которое называют мнимой единицей и обозначают \(i\), то есть
$$
i = (0,1).\nonumber
$$
Вычислив произведение \(i\) на \(i\) по формуле \eqref
$$
i\cdot i = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1,\nonumber
$$
то есть \(i^2 = -1\). Используя формулы \eqref
$$
i\cdot y = (0,1)(y,0) = (0,y),\qquad (x,y) = (x, 0) + (0,y) = x + iy.\nonumber
$$
Следовательно, любое комплексное число \(z= (x,y)\) можно записать в виде \(x + iy\), то есть
$$
z = x + iy.\label
$$
Запись комплексного числа \(z = (x,y)\) в виде \eqref
В записи \eqref
$$
Re\ z = x,\quad Im\ z = y. \nonumber
$$
Если \(x= 0\), то есть \(z = iy\), то такое комплексное число называют чисто мнимым.
Здесь и всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, в записи \(x+iy\) числа \(x\) и \(y\) считаются действительными (вещественными).
Число \(\displaystyle\sqrt
$$
|z|=|x + iy|=\sqrt
$$
Заметим, что \(|z|\geq 0\) и \(\<|z| = 0\>\Leftrightarrow \
Комплексное число \(x-iy\) называют сопряженным комплексному числу \(z = x + iy\) и обозначают \(\overline
$$
\overline
$$
Из равенств \eqref
$$
|z| = |\overline
$$
так как \(z\overline
Свойства операций.
Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами:
- коммутативности, то есть
$$
z_1+z_2=z_2+z_1,\qquad z_1z_2=z_2z_1;\nonumber
$$ - ассоциативности, то есть
$$
(z_1+z_2)+z_3= z_1 + (z_2+z_3),\qquad (z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3);\nonumber
$$ - дистрибутивности, то есть
$$
z_1(z_2 + z_3) = z_1z_2+z_1z_3.\nonumber
$$
Эти свойства вытекают из определения операций сложения и умножения комплексных чисел и свойств операций для вещественных чисел.
Из этих свойств следует, что сложение и умножение комплексных чисел можно выполнять по правилам действий с многочленами, заменяя \(i\) на \(-1\). Например, равенство \eqref
$$
z_1z_2=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=\\=x_1 x_2+i x_1 y_2+ix_2 y_1+i^2 y_1 y_2=x_1x_2-y_1y_2+i(x_1 y_2+x_2 y_1).\nonumber
$$
Множество комплексных чисел обозначают буквой \(\mathbb
$$
z+ 0 = z,\qquad z\cdot 1 = z.\nonumber
$$
На множестве \(\mathbb
$$
z+z_2=z_1.\label
$$
Это число называют разностью чисел \(z_1\) и \(z_2\) и обозначают \(z_1-z_2\). В частности, разность \(0 -z\) обозначают \(-z\).
Из уравнения \eqref
$$
z_1-z_2=(x_1-x_2)+i(y_1-y_2).\nonumber
$$
Деление на множестве \(\mathbb
$$
zz_2=z_1\label
$$
и обозначается \(z_1:z_2\) или \(\displaystyle \frac
Докажем, что уравнение \eqref
\(\circ\) Умножая обе части уравнения \eqref
$$
z|z_2|^2 = z_1\overline
$$
которое равносильно уравнению \eqref
Эту формулу можно не запоминать — важно знать, что она получается умножением числителя и знаменателя на число, сопряженное со знаменателем.
Найти частное \(\displaystyle \frac