Геометрическая интерпретация комплексных чисел
1. Назовите действительную и мнимую части комплексного числа:
2. При каком значении X действительная часть комплексного числа равна нулю:
3. Найдите произведение комплексных чисел:
4. Разложите число Z на комплексно сопряженные множитель (а и b – действительные числа):
Z = а 2 + 25b 2
Z = 9а 2 + 4b 2
Z = 81а 2 + 16b 2
5. Назовите комплексное число, сопряженное с данным числом:
6. Найдите модуль комплексного числа:
Устно. Назовите действительную и мнимую части комплексного числа:
Задание № 1. Изобразите на координатной плоскости множество всех комплексных чисел Z, удовлетворяющих заданному условию:
а) действительная часть равна – 2;
б) мнимая часть равна – 3 или 4;
Задание № 2. Изобразите на координатной плоскости множество всех комплексных чисел Z, удовлетворяющих заданному условию:
а) действительная часть на 4 больше мнимой части;
б) сумма действительной и мнимой части равна 4;
в) сумма квадратов действительной и мнимой частей равна 4;
г) квадрат суммы действительной и мнимой частей равен 4.
Устно. Найдите изображение соответствующего множества всех комплексных чисел Z, у которых:
Задание № 3. Изобразите на координатной плоскости множество всех комплексных чисел Z, удовлетворяющих условию:
в) ImZ 2 или ReZ < 3.
Задание № 4. Изобразите на координатной плоскости множество всех комплексных чисел Z, удовлетворяющих заданному условию:
a) Re Z (ImZ) 2 и (ReZ) 2 ImZ
б) ImZ 2 ReZ или ReZ < 3 Im Z.
Задание № 5. Изобразите на комплексной плоскости все такие точки Zo, что среди чисел Z, удовлетворяющих уравнению | Z + Z0 | =1, есть ровно одно число, модуль которого равен 2.
На уроке удобно использовать компьютер. Это позволяет за короткий промежуток времени выполнить большое количество заданий. Рекомендую воспользоваться презентацией “Геометрическая интерпретация комплексных чисел”.
Как изобразить на комплексной плоскости множество точек
§2. Понятие функции комплексной переменной.
Пусть на комплексной плоскости задано множество E и закон, ставящий " z О E в соответствие определенное комплексное число w: z w, тогда говорят, что на E задана функция комплексной переменной f(z)=w. E- множество задания (z);
Множество M — значений соответствующих w- множество значений f(z). Задание f(z) есть задание соответствия (отображения) E M.
Примеры. а) w=az+b (поворот, растяжение и параллельный перенос),
б)w=z n , в) w=1/z (симметричное отражение относительно вещественной оси, инверсия).
Структура множеств E и M может быть весьма разнообразной. Мы будем рассматривать случаи, когда E и M- области на комплексной плоскости.
Понятие области комплексной плоскости — это то же самое, что и понятие области плоскости (x,y).
Определени е. Областью g комплексной плоскости Z называется множество точек этой плоскости, удовлетворяющее условиям:
1)Все z О g являются внутренними точками g.
2)Любые z 1 , z 2 О g можно соединить ломаной с конечным числом звеньев, состоящих только из z О g.
Примеры . а) |z|<1 — область; б) |z| 1-не область; в)
Напомним понятие внутренней точки.
Определени е. Точка z 0 называется внутренней точкой множества g, если $ e -окрестность точки z 0 : п z-z 0 п < e все точки которой принадлежат g.
Примеры. а) z=0 — внутренняя точка множества |z|<1; б) z=i — не является внутренней точкой множества |z| 1.
Таким образом, в определении области условие
1) означает, что g- открытое множество.
2) означает, что g- связное множество.
Итак, область — открытое связное множество.
Определение. Точка z 0 называется граничной точкой множества g, если в " ее e -окрестности имеются как z О g, так и z П g.
Примеры. а) z=0 — граничная точка множества |z|>0; б) z=i — граничная точка множества |z| 1.
Совокупность граничных точек области g называется границей области g. (обозначения: , C, G , S и т.д.)
Граница множества может состоять из конечного числа точек, и даже из одной точки (как, например, у множества |z|>0).
Определение . Замыкание области g, состоящее в присоединении к g ее границы g называется замкнутой областью =g+.
Множество |z| 1 — замкнутое.
На р асширенной комплексной плоскости (т.е. комплексной плоскости с бесконечно удаленной точкой замкнутое множество называется компактным.
Итак, будем рассматривать случай, когда w=f(z) задана в g и отображает g на область D комплексной плоскости w.
Отображение однозначно (по определению .
Если z 1 , z 2 О g и z 1 z 2 : f(z 1 )=w 1 w 2 = f(z 2 ), то отображение взаимно однозначно
g<=>D.
В этом случае g называется областью однолистности f(z) и f(z) называется однолистной в g.
Примеры. а) w=const, w=az+b -однозначные и однолистные; б) w=z n , w=e z — однозначные, но не однолистные; в) w=Ln z ╨ |z|+i Arg(z), w= — не однозначный функции.
При g <=> D в D $ обратная функция z= j (w), осуществляющая отображение D g.
Если отображение gD однозначно, но не однолистно, то можно говорить об обратной функции, но она не будет однозначной. Об этом позже.
При z=x+iy, f(z)=w=u+iv=u(x,y)+iv(x,y). Тем самым задание f(z) в g комплексной плоскости z есть одновременное задание двух действительных функций двух действительных переменных в области g плоскости (x,y). Поэтому свойства функций комплексной переменной во многом определяются свойствами функции двух действительных переменных.
Изобразить на комплексной плоскости число, построить области, которым принадлежат точки
Для изображения комплексного числа на плоскости необходимо построить точку с координатами (x; y), где x и y соответственно равны действительной и мнимой частям
заданного комплексного числа. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось Ox называется действительной осью ,а ось Oy
— мнимой осью.
Пример 1. Изобразить на комплексной плоскости числа z1 = 1 — 3i, z2 = 4 + i, z3 = 5, найти их модули и аргументы.
Согласно теоретической сноске выше, имеем, что числу z1 = 1 — 3i соответствует точка с координатами (1; -3), z2 = 4 + i — точка (4; 1), а комплексному числу z3 = 5 соответствует точка с координатами (5; 0).
Комплексные числа можно отобразить просто точками, а можно сделать по-другому, как в данном примере, изобразить радиус-вектором точки с началом в точке О.
Длина этого вектора называется модулем числа z и обозначается |z|. По определению, модуль комплексного числа:
где x и y соответственно действительная и мнимая части комплексного числа.
Найдем модули и аргументы для каждого заданного числа (см. рисунок)
Пример 2. Найти и построить на комплексной плоскости области, которым принадлежат точки z = x + i y, удовлетворяющие условию 2 ≤ Re(z + 1) ≤ 4.
Преобразуем заданное неравенство: 2 ≤ Re(x + 1 + iy) ≤ 4.
Поскольку выражение Re (x + 1 + iy) определяет действительную часть числа, записанного в скобках, то можно перейти к следующему неравенству: 2 ≤ x + 1 ≤ 4. Или: 1 ≤ x ≤ 3.
Таким образом, условие 2 ≤ Re(z + 1) ≤ 4 определяет на комплексной плоскости область, множество точек (x; y) которой, удовлетворяют системе: