Как искать определитель матрицы 4 на 4

Как найти определитель матрицы 4 на 4?

Да все очень просто. Сначала путем элементарных преобразований из определителя 4 порядка получить определитель 3 порядка. Например так: в первом столбце получить во второй-четвертой строках нули. Потом разложить определитель по элементам первого столбца, получится определитель 3 порядка. Выполнить аналогичную операцию: в первом столбце во второй и третьей строках получить нули. И разложить этот определитель снова по элементам первого столбца. Таким образом, получится определитель 2 порядка. Ну а этот определитель вычислять уже достаточно просто. Нужно из произведения чисел, стоящих по главной диагонали, вычесть произведение чисел, стоящих по побочной диагонали. Вот и все.

Пример вычисления определителя (детерминанта) матрицы

Определитель матрицы — является многочленом от элементов квадратной матрицы (если элементы матрицы это числа, тогда определитель матрицы тоже будет числом).

Для нахождения определителя матрицы, исходная матрица должна быть квадратной.

Пример №1

Дана матрица размером 2х2;

Что бы вычислить определитель матрицы 2х2 нужно из произведения элементов главной диагонали, вычесть произведение элементов побочной диагонали;

Пример №2

Дана матрица размером 3х3;

Что бы вычислить определитель матрицы 3х3 нужно воспользоваться формулой;

Подставляем наши значения в формулу;

Пример №3

Дана матрица размером 4х4;

Есть два способа вычисления определителя матрицы:

1. По определению — через разложение по строке или столбцу;
2. По методу Гаусса — приведение матрицы к треугольному виду (этот способ лучше использовать для решения матриц, размером 4х4 и более).

Решим пример первым способом (по определению — через разложение по строке или столбцу)

Чтобы вычислить определитель матрицы, нужно воспользоваться следующей формулой, в ней рассмотрен пример разложения матрицы по первой строке;

Итак, начнём

1. Выбираем строку или столбец (любую), лучше всего выбирать строку или столбец, где больше нулей, для удобства вычисления;
   В данном случае мы выбираем третью строку, так как в ней присутствует ноль;

1. Берём первый элемент этой строки (2);
   Теперь вычёркиваем третью строку и первый столбец;

Получаем матрицу 3х3;

Согласно формуле, мы умножаем выбранный нами элемент на определитель получившейся матрицы;

Вычисление определителя матрицы 3х3, мы рассматривали в примере №2

1. Далее делаем всё тоже самое, что и в шаге два, только берём второй элемент данной строки (0) и вычёркиваем третью строку и второй столбец;

Так как этот элемент равен нулю, то ни чего не нужно считать и так всё ясно;

1. Теперь берём третий элемент строки (6) и вычёркиваем третью строку и третий столбец;

Получаем матрицу 3х3;

Вычисляем определитель этой матрицы и умножаем на выбранный нами элемент (6)

1. Берём четвёртый элемент строки (-3) и вычёркиваем третью строку и четвёртый столбец;

Получаем матрицу 3х3;

Вычисляем определитель этой матрицы и умножаем на выбранный нами элемент (-3)

1. Чтобы вычислить определитель исходной матрицы, нужно сложить полученные результаты;

Опишем решение примера вторым способом (по методу Гаусса — приведение матрицы к треугольному виду)

Суть способа заключается в том, чтобы перед вычислением определителя, привести матрицу к треугольному виду. Если в ходе приведения матрицы к треугольному виду вы умножаете (делите) строку на число, то на это же число нужно будет умножить (разделить) полученный в конце определитель;

Пример приведения матрицы к треугольному виду мы уже рассматривали здесь

Итак, мы привили матрицу к треугольному виду;

Теперь чтобы вычислить определитель приведённой матрицы, нужно перемножить все элементы, стоящие на главной диагонали;

Скачать пример вычисления определителя (детерминанта) матрицы:

Что бы скачать, нажмите правой кнопкой мыши и выберите «Сохранить ссылку как. «

Если Вам не понятен какой-либо шаг или у Вас есть вопросы по вычислению определителя матрицы, вы всегда можете оставить свой комментарий внизу или вычислить определитель её, воспользовавшись нашим онлайн калькулятором.

Определитель матрицы

Определитель (детерминант) квадратной матрицы A — это число, обладающее определенными свойствами, которое может быть получено из элементов матрицы рядом методов.

Обозначения

Пусть $ A = \begin 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \end$

$det(A) = \left|A\right| = \begin 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \end$

Свойства определителя

1. Если матрица имеет строку или столбец, все элементы которого равны нулю, то ее определитель равен 0.

Минор матрицы

Определитель матрицы, полученной вычеркиванием некоторых строк и столбцов матрицы, называется минором этой матрицы.

Один из миноров матрицы A есть $\begin 1 & 4\\ 5 & 3 \end$ (он получается вычеркиванием строки 3 и столбца 3 из матрицы A)

Другим минором является $\begin 1 & 2 \\ 6 & 1 \end$ (получается вычеркиванием строки 2 и столбца 2 из матрицы A)

Один из миноров матрицы B есть $ \begin 1 & 7 & 9\\ 8 & 3 & 2\\ 8 & 1 & 4 \end$ (получается вычеркиванием строки 1 и столбца 1 из матрицы B)

Другим минором является $\begin 1 & 7 \\ 8 & 3 \end$ (получается вычеркиванием строк 1 и 4 и столбцов 1 и 4 из матрицы B)

Можно определить минор $\Delta_$, полученный вычеркиванием строки i и столбца j, для любого элемента $a_$ квадратной матрицы A. Такой минор называется дополнительным.

Определить дополнительный минор элемента 2. Так как данный элемент находится в строке 2, столбце 1, видно, что это $a_<2,1>$.

Нужно вычеркнуть строку 2 и столбец 1 из матрицы A, после чего получаем

Минор, дополнительный к элементу 2, есть $\Delta_ <2,1>= 7$.

Нужно найти минор, дополнительный к элементу 7. Так как данный элемент находится в строке 2, столбце 3, видно, что это $a_<2,3>$.

Мы должны вычеркнуть строку 2 и столбец 3 из матрицы B, после чего мы получаем

Минор, дополнительный к элементу 7, — это $\Delta_<2,3>= \begin 1 & 4\\ 6 & 2 \end$

Нужно найти минор, дополнительный к элементу 5. Так как данный элемент находится в строке 1, столбце 2, видно, что это $a_<1,2>$.

Мы должны вычеркнуть строку 1 и столбец 2 из матрицы C, после чего мы получаем

Минор, дополнительный к элементу 5, — это $\Delta_<1,2>= \begin 4 & 7 & 9\\ 6 & 3 & 2\\ 7 & 1 & 4\\ \end$

Алгебраическое дополнение элемента матрицы

Каждому элементу $a_$ матрицы A соответствует алгебраическое дополнение $(-1)^\cdot\Delta_$. Например, алгебраическое дополнение $(-1)^<2+5>\cdot\Delta_<2,5>=(-1)^<7>\cdot\Delta_<2,5>= -\Delta_ <2,5>$ соответствует элементу $a_<2,5>$.

Порядок определителя

Порядок определителя матрицы равен числу ее строк и столбцов.

Пример 26
$\begin 1 & 4\\ 6 & 2\\ \end$ (матрица имеет 2 строки и 2 столбца, так что порядок определителя равен 2)

Пример 27
$\begin 4 & 7 & 9\\ 6 & 3 & 2\\ 7 & 1 & 4\\ \end$ (матрица имеет 3 строки и 3 столбца, так что порядок определителя равен 3)

Вычисление определителя матрицы

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой строки или любого столбца и их алгебраических дополнений.

Можно посчитать определитель, например, используя строку i:

Либо же можно посчитать определитель, используя столбец j:

Вычисление определителя матрицы 2×2

Используем строку 1, чтобы вычислить определитель.

Заметим, что $ \Delta_<1,1>= a_ <2,2>$ и $ \Delta_<1,2>=a_<2,1>$

$ \left| A\right| =a_ <1.1>\cdot a_<2,2>— a_ <1.2>\cdot a_<2,1>$

Пример 28
$\begin 2 & 5\\ 3 & 8 \end =2 \cdot 8 — 3 \cdot 5 = 16 -15 =1$

Пример 29
$\begin -4 & 7\\ -2 & 9 \end =-4 \cdot 9 — 7 \cdot (-2) = -36 -(-14) =-36 + 14 = — 22$

Вычисление определителя матрицы 3×3

Используем строку 1, чтобы вычислить определитель.

Упростить получение последней формулы можно следующим образом.

Начнем с того, что перепишем первые две строки под определителем как показано ниже.

Умножаем элементы на каждой из трех красных диагоналей (на главной диагонали и на диагоналях под ней) и складываем результаты:
$\color\cdot a_<2,2>\cdot a_<3,3>+ a_<2,1>\cdot a_<3,2>\cdot a_<1,3>+a_<3,1>\cdot a_<1,2>\cdot a_<2,3>>$

Умножаем элементы на каждой из трех синих диагоналей (на побочной диагонали и на диагоналях под ней) и складываем результаты:

Вычитая вторую сумму из первой, получаем формулу определителя:

$= 3\cdot4\cdot9 + 1\cdot1\cdot1 + 7\cdot5\cdot2 -(1\cdot4\cdot7 + 2\cdot1\cdot3 + 9\cdot5\cdot1) =$ $ 108 + 1 + 70 -(28 + 6 + 45)=79-79=100$

Элементы матрицы могут быть обозначены буквами. Вычисление их определителей можно упростить, используя свойства определителей. Например, можно вычислить определитель матрицы, в которой к какой-либо строке (или столбцу) прибавлена линейные комбинация других строк (столбцов).

$\begin a & b & c\\ c & a & b\\ b & c & a \end$ $ \xlongequal+C_<2>+C_<3>> \begin a + b + c & b & c\\ c + a + b & a & b\\ b + c + a & c & a \end = (a + b + c) \cdot \begin 1 & b & c\\ 1 & a & b\\ 1 & c & a \end$

Вычисляем последней определитель:

$ = a^ <2>+ b^ <2>+ c^ <2>-a\cdot c — b\cdot c — a\cdot b =$ $\frac<1><2>\cdot(2a^ <2>+2b^<2>+2c^ <2>-2a\cdot b -2a\cdot c-2b\cdot c) =$ $\frac<1><2>\cdot(a^<2>-2a\cdot b + b^<2>+ a^<2>-2a\cdot c +c^<2>+b^<2>-2b\cdot c + c^<2>)=$ $\frac<1><2>\cdot[(a-b)^<2>+(a-c)^<2>+(b-c)^<2>]$

В итоге получаем:

Пример 32
Вычислим определитель матрицы Вандермонде.
$\begin 1 & 1 & 1\\ a & b & c\\ a^ <2>& b^ <2>& c^ <2>\end$

Используя свойства определителей, модифицируем строку 1 так, чтобы два элемента обратились в 0. В этом случае, когда мы используем полученную выше формулу для определителя матрицы 3×3, нет необходимости вычислять алгебраические дополнения этих элементов, поскольку их произведение будет равно 0.

Вычисление определителя матрицы 4×4

Вычислить определитель матрицы 4×4 можно с использованием общей формулы для определителя матрицы 3×3.

1. Проверим, не выполняется ли одно из условий того, что определитель равен 0.
2. Проверим, нельзя ли вынести общий множитель из одной или нескольких строк или столбцов.
3. Проверим, не является ли данная матрица матрицей Вандермонде, возможно, такой, в которой некоторые строки или столбцы переставлены.

В любом из этих случаев нам пригодятся соответствующие методы вычисления определителей матриц 3×3. Модифицируем строку или столбец так, чтобы все его элементы, кроме одного, обратились в 0. Определитель будет равен произведению этого ненулевого элемента на его алгебраическое дополнение. В этом случае, алгебраическое дополнение — это определитель матрицы 3×3, который считается по уже известной формуле.

Замечаем, что все элементы в строке 3 равны нулю, а значит, определитель равен 0.

Пример 34
$\begin 1 & 3 & 1 & 2\\ 5 & 8 & 5 & 3\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 2 & 8 \end$
Замечаем, что $C_<1>$ равно $C_<3>$, следовательно, определитель равен 0.

Пример 35
$\begin 1 & 3 & 9 & 2\\ 5 & 8 & 4 & 3\\ 10 & 16 & 18 & 4\\ 2 & 3 & 1 & 8 \end$
Замечаем, что строки 2 и 3 пропорциональны друг другу, следовательно, определитель равен 0.

Поскольку в столбце 1 только один элемент отличен от нуля, применяем общую формулу, используя этот столбец. Алгебраические дополнения нулевых элементов считать не надо, так как их произведения на эти элементы все равно будут равны нулю.

=
$=4(1\cdot3\cdot1 +(-1)\cdot1\cdot3+3\cdot(-3)\cdot3$ $-(3\cdot3\cdot3+3\cdot1\cdot1 +1\cdot(-3)\cdot(-1)))$ $=4(3-3-27-(27+3+3))=4\cdot(-60)=-240$

Чтобы изменить строку так, чтобы в ней стало больше нулей, нужно совершать операции со столбцами, и наоборот. Выбираем строку или столбец, содержащий элемент 1, поскольку из него можно получить любое число простым умножением.

Заметим, что в строке 2 уже есть два нулевых элемента. Достаточно обратить лишь еще один элемент в 0, чтобы осталось посчитать только одно алгебраическое дополнение единичного элемента.

$\begin 4 & 3 & 2 & 2\\ 0 & 1 & 0 & -2\\ 1 & -1 & 3 & 3\\ 2 & 3 & 1 & 1 \end \xlongequal+2C_<2>>$ $\begin 4 & 3 & 2 & 8\\ 0 & \color <1>& 0 & 0\\ 1 & -1 & 3 & 1\\ 2 & 3 & 1 & 7 \end=$ $=$br />

$= 1\cdot(-1)^<2+2>\cdot \begin 4 & 2 & 8\\ 1 & 3 & 1\\ 2 & 1 & 7 \end=$
$=4\cdot3\cdot7 + 1\cdot1\cdot8 + 2\cdot2\cdot1$ $-(8\cdot3\cdot2 + 1\cdot1\cdot4 + 7\cdot2\cdot1) =$ $ 84 + 8 + 4- 48-4-14=30$

Можно вынести множитель 3 из строки 3:
$3\cdot \begin 1 & -2 & 3 & 2\\ 2 & 3 & 1 & -1\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ -1 & 4 & 2 & 1\\ \end$

Поскольку в строке 3 все элементы равны 1, легко обратить получить нули.

$\begin 1 & -2 & 3 & 2\\ 2 & 3 & 1 & -1\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ -1 & 4 & 2 & 1 \end$ $ \xlongequal — C_<4>,C_<2>-C_<4>,C_<3>-C_<4>> \begin -1 & -4 & 1 & 2\\ 3 & 4 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 0 & \color<1>\\ -2 & 3 & 1 & 1 \end$ $=1\cdot(-1)^<3+4>\cdot$ $=(-1)\cdot \begin -1 & -4 & 1\\ 3 & 4 & 2 \\ -2 & 3 & 1\\ \end$
$=-((-1)\cdot 4\cdot 1 +3 \cdot 3\cdot1 + (-2)\cdot (-4)\cdot 2$ $- (1\cdot 4\cdot (-2) + 2\cdot 3\cdot (-1) + 1\cdot (-4)\cdot3))$ $=-(-4 + 9 + 16 + 8 + 6 + 12) =-47$

Здесь мы можем использовать единицу из последней строки и обратить остальные элементы первого столбца в нули.

$\begin 2 & 5 & 1 & 4\\ 4 & 1 & 6 & 3\\ 5 & 3 & 7 & 2\\ 1 & 0 & 2 & 4 \end$ $\xlongequal-2R_<4>,R_<2>-4R_<4>, R_<3>-5R_<4>> \begin 0 & 5 & -3 & -4\\ 0 & 1 & -2 & -13\\ 0 & 3 & -3 & -18\\ \color <1>& 0 & 2 & 4 \end=$ $=1\cdot(-1)^<4+1>\cdot \begin 5 & -3 & -4\\ 1 & -2 & -13\\ 3 & -3 & -18 \end=$ $(-1)\cdot \begin 5 & -3 & -4\\ 1 & -2 & -13\\ 3 & -3 & -18 \end$

Выносим общий множитель -1 из столбца 2 и еще раз -1 из столбца 3.
$ (-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot \begin 5 & 3 & 4\\ 1 & 2 & 13\\ 3 & 3 & 18 \end=$ $(-1)\cdot \begin 5 & 3 & 4\\ 1 & 2 & 13\\ 3 & 3 & 18 \end=$ $-[5\cdot 2\cdot 18 + 1\cdot 3\cdot 4+ 3\cdot 3\cdot 13 — (4\cdot 2\cdot 3\cdot + 13\cdot 3\cdot 5 + 18\cdot 3\cdot 1)]=$ $-(180+12+117-24-195-54)=36$

Мы видим элемент 1 в столбце 3, так что мы можем обратить остальные элементы строки 2 в нули.

$\begin 4 & 7 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 1 & 2\\ 2 & 5 & 3 & 4\\ 1 & 4 & 2 & 3 \end$ $\xlongequal-C_<3>, C_<2>-3C_<3>,C_<4>-2C_<3>> \begin 2 & 1 & 2 & -1\\ 0 & 0 & \color <1>& 0 \\ -1 & -4 & 3 & -2\\ -1 & -2 & 2 & -1 \end=$ $=1\cdot(-1)^<2+5>\cdot \begin 2 & 1 & -1\\ -1 & -4 & -2\\ -1 & -2 & -1 \end$

Выносим общий множитель -1 из строки 2 и еще раз -1 из строки 3.
$ (-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot \begin 2 & 1 & -1\\ 1 & 4 & 2\\ 1 & 2 & 1 \end=$ $(-1)\cdot \begin 2 & 1 & -1\\ 1 & 4 & 2\\ 1 & 2 & 1 \end=$ $-[2\cdot 4\cdot 1 + 1\cdot 2\cdot (-1)+ 1\cdot 1\cdot 2 — ((-1)\cdot 4\cdot 1 + 2\cdot 2\cdot 2 + 1\cdot 1\cdot 1)]=$ $-(8-2+2+4-8-1)=-3$

Заметим, что все строки и все столбцы состоят из одних и тех же элементов, но в разном порядке. В таком случае мы можем сложить все строки или все столбцы.

$=10\cdot1\cdot(-1)^<1+4>$

$ = (-10)\cdot \begin -1 & 1 & 2\\ 2 & 3 & 1\\ 1 & -1 & -2 \end=$ $(-10)\cdot((-1)\cdot 3\cdot (-2) +2 \cdot (-1)\cdot2 + 1\cdot 1\cdot 1$ $-(2\cdot 3\cdot 1 + 1\cdot (-1)\cdot (-1) + (-2)\cdot1\cdot2))$ $= -10\cdot(6 -4 +1 -6 — 1 + 4) =0$