Транспонирование матрицы
Нам уже знакомо понятие матрицы. Этот математический объект имеет прикладное значение: он позволяет структурировать числа и информацию, проводить сложные расчёты. С ним можно проделывать различные операции, и одной из них является транспортирование.
Что такое транспонированная матрица, в чем отличие от обычной
Транспонирование – это алгоритм, при котором m-строки меняются местами с n-столбцами.
Транспонированная матрица, в отличие от обычной, помогает получить одинаковый результат при умножении на вектор-столбец и вектор-строку, что значительно упрощает дальнейшие математические вычисления.
Особенности, определитель и свойства целочисленных
Свойства транспортирования целочисленных матриц:
- (A T ) T = A;
- (k · A) T = k · AT;
- (A + B) T = A T + В T ;
- (A · B) T = В T · A T
Если матрица А – квадратная (m=n), то определитель исходной и транспортированной матрицы равны: det A T = det A.
Напомним, что определитель – это некоторое число, с которым можно сравнить любую квадратную матрицу.
Формула, как обозначается транспонированная матрица
Если исходная матрица обозначается как А, то у транспортированной будет обозначение A T .
Тогда формула для транспортировки выглядит следующим образом:
A T ij = A ji
Формально, если А = m × n, то A T = n × m, но математически это записывается через индексы i и j.
Примеры задач на транспонирование матриц
Само транспортирование – довольно лёгкий процесс. Рассмотрим один пример.
Задача: даны А = (m × n) и В = (m × n).
Необходимо выполнить транспортирование.
Произведение и сумма транспонированных матриц
Теорема: транспонирование произведения матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.
Транспонирование (Transpose)
Транспонирование — в линейной алгебре это операция над матрицами в результате которой матрица поворачивается относительно своей главной диагонали. При этом столбцы исходной матрицы становятся строками результирующей.
Операция транспонирования обозначается символом «T», указываемом после обозначения матрицы в верхнем регистре, например A T .
Очевидно, что если исходная матрица A имела размер m × n , то транспонированная матрица A T будет размером n × m . Матрица-строка в результате транспонирования преобразуется в матрицу-столбец и наоборот. Несложно увидеть, что A T i j = A j i . Например
[ 1 2 3 4 ] T = [ 1 3 2 4 ]
⎡ ⎢ ⎣ 1 2 3 4 5 6 ⎤ ⎥ ⎦ T = [ 1 3 5 2 4 6 ]
Таким образом, для получения транспонированной матрицы достаточно каждую строку исходной матрицы записать в виде столбца результирующей, соблюдая порядок следования элементов. Впервые, операция транспонирования была введена британским математиком Артуром Кейли в 1858 году.
В линейной алгебре операция транспонирование является промежуточным действием, которое делает удобнее выполнение более сложных матричных преобразования, обладающие собственной логикой.
В анализе данных операция транспонирования применяется к таблицам с данными, в результате чего столбцы таблицы становятся строками, а строки — столбцами. Такое преобразование обычно преследует две цели:
- сделать более удобным визуальный анализ таблиц. Если текущее представление таблицы не соответствует логике анализа, то, возможно, транспонирование поможет улучшить это соответствие.
- преобразовать набор данных для дальнейшего анализа. Обучающие наборы данных и статистические выборки, использующиеся для построения аналитических моделей (нейронных сетей, деревьев решений, регрессии и т.д.), в столбцах содержат переменные, а в строках — наблюдения. Поэтому если из источниках данных таблица поступает «в перевёрнутом» виде, то для неё необходимо использовать трансформацию в виде транспонирования.
Например, исходная таблица может иметь вид:
| Дата | Товар | Кол-во продаж |
|---|---|---|
| 05.02.2019 | Обои | 75 |
| 05.02.2019 | Затирка | 54 |
| 07.02.2019 | Обои | 21 |
| 09.02.2019 | Герметик | 35 |
Тогда результатом транспонирования будет таблица вида:
| Дата | Обои | Затирка | Герметик |
|---|---|---|---|
| 05.02.2019 | 75 | ||
| 05.02.2019 | 54 | ||
| 07.02.2019 | 21 | ||
| 09.02.2019 | 35 |
Несложно увидеть, что результат транспонирования для таблиц несколько отличается от результатов транспонирования матрицы. Это связано с тем, что между таблицей данных и матрицей в алгебре строгое соответствие вообще говоря, отсутствует: таблица, в отличие от матрицы, не математический объект, а средство визуализации.
Поэтому для таблицы результаты транспонирования можно определить так: данные, изначально отображавшиеся в столбцах, будут отображаться в строках, и наоборот. При этом столбцы, где содержатся, скажем, идентификаторы записей или даты, вообще могут не менять своего положения (что в случае транспонирования в алгебре совершенно некорректно).
Кроме этого транспонирование является одной из операций, используемых в оперативной аналитической обработке данных для настройки наиболее удобного представления в OLAP-кубах.
Как транспонировать матрицу
wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали авторы-волонтеры.
Количество просмотров этой статьи: 37 513.
Если вы научитесь транспонировать матрицы, то лучше поймете их структуру. Возможно, вы уже знаете о квадратных матрицах и об их симметрии, что поможет вам освоить транспонирование. Помимо прочего, транспонирование помогает переводить векторы в матричную форму и находить векторные произведения. [1] X Источник информации При работе с комплексными матрицами эрмитово-сопряженные (сопряженно-транспонированные) матрицы помогают решить самые разные задачи.