Что значит найти порядок числа

Стандартная, она же научная форма записи числа. Порядок величины. Разница на порядок. Зачем это придумали.

Пример 1: Число 7984 в стандартной форме записывается как 7,984*10 3 , где 7,984 — мантисса а 10 3 — порядок.

Пример 2 : Величины 890 и 45932, записанные в стандартной форме выглядят как: 8,9*10 2 и 4,5932*10 4 и отличаются на 2 порядка = имеют разницу в 2 порядка. Числа 7,5 и 75 различаются на порядок ( на 1 порядок) = имеют разницу в 1 порядок, что бы там в телевизоре не думали. И так далее.

Очевидно, что при сложении и вычитании чисел записанных в стандартной форме и имеющих один порядок, достаточно сложить или вычесть мантиссы.

Пример 3: 7,2*10 34 + 1,2*10 34 = (7,2+ 1,2)*10 34 =8,4*10 34

Единственный способ корректно сложить или вычесть числа разных порядков — это выразить одно из них в нестандартной форме:

Пример 4: 9,9*10 13 + 9,9*10 12 =9,9*10 13 + 0,99*10 13 = (9,9+ 0,99)*10 13 =10,89*10 13 =1,089*10 14

Очень удобно проводить операции умножения и деления с числами, записанными в стандартной форме, пользуясь правилами действий со степенями:

Пример 5: 4,0*10 3 x 2,25*10 2 =(4,0×2,25)x(10 3+2 )= 9,0*10 5

Пример 6: 5,0*10 6 /2,5*10 3 =(5,0/2,5)x(10 6-3 )= 2,0*10 3

И теперь, если уж Вы дочитали до этого места, самое главное — зачем это придумано: попробуйте сравнить на глаз числа 970984567234109879 и 1211121111211121112125? Впечатляет? А попробуйте их же в стандартном виде: 9,70984567234109879*10 17 и 1,211121111211121112125*10 21 . Понятно, что первое на 4 порядка меньше? Понятно, что величина первого по отношению ко второму ниже, чем точность большинства расчетных моделей? Понятно, что в большинстве практических случаев первую величину вообще не следует брать в расчет, если вклад величин в процесс пропорционален? Понятно, что изменение второй величины на 10% значительно превосходит изменение первой в 3 раза? и т.д. Просто, оказывается, инженеры их жены и дети так устроены, что с этими числами очень удобно работать.

Числовая последовательность

Например, правило «все положительные четные числа по возрастанию начиная с двойки» задает последовательность: $2; 4; 6; 8; 10. $ А правило «первое число равно $3$, а каждое следующее число в два раза больше предыдущего» формирует последовательность: $3; 6; 12; 24; 48. $

Ниже разобраны несколько разных способов задания числовых последовательностей.

Числа, образующие последовательность, называются ее членами (или элементами). И каждое из этих чисел имеет свой порядковый номер.

Например, в последовательности $3; 6; 12; 24; 48…$ тройка является первым членом (порядковый номер – один), шестерка – вторым (ее номер по порядку равен двум), двенадцать – третьим и т.д.

В математике последовательность обозначают маленькой латинской буквой, а каждый отдельный ее элемент – той же буквой с числовым индексом равным порядковому номеру этого элемента.

То есть, если последовательность $3; 6; 12; 24; 48…$ обозначить как $a_n$, то можно записать, что $a_1=3$, $a_2=6$, $a_3=12$, $a_4=24$ и так далее.

порядковый номер элемента

Отметим, что членами последовательности необязательно должны быть различные числа. Она может состоять из одних и тех же чисел, например, выглядеть вот так: $1; \: 1; \: 1; \: 1…$ .

Способы задания числовых последовательностей

Все способы формирования числовых последовательностей можно разделить на три большие группы:

— I способ: словесный. Здесь все просто – в буквальном смысле словами описывается каким образом можно вычислить элементы искомой последовательности.

Пример: Напишите первые пять членов последовательности квадратов натуральных чисел .

Решение: Натуральными называют числа, возникающие естественным образом при счете количества предметов, то есть: $1; \: 2; \: 3; \: 4; \: 5$ и т.д. Нашу же последовательность формируют квадраты этих чисел, то есть $1^2;\: 2^2; \: 3^2; \: 4^2; \: 5^2…$ . Таким образом, имеем ответ: $1; \: 4; \: 9; \: 16; \: 25…$

Ответ: $1; \: 4; \: 9; \: 16; \: 25…$

Отметим, что последовательности в начале статьи заданы именно словесным способом.

— II способ: аналитический (формулой энного члена). Тут значение каждого элемента последовательности вычисляется по некоторой формуле, в которую подставляется порядковый номер этого элемента.

Пример: Последовательность задана формулой: $b_n=\frac$. Вычислите первые пять членов этой последовательности.

Решение: Вычислим $b_1$. Это первый член последовательности, то есть его порядковый номер $n$ равен единице. Тогда его значение равно $b_1=\frac<1-1> <1^2>=\frac<0><1>=0$.
У второго члена $n=2$, то есть его значение равно $b_2=\frac<2-1> <2^2>=\frac<1><4>$.
Третий ($n=3$): $b_3=\frac<3-1> <3^2>=\frac<2><9>$.
Четвертый ($n=4$): $b_4=\frac<4-1> <4^2>=\frac<3><16>$.
Пятый ($n=5$): $b_5=\frac<5-1> <5^2>=\frac<4><25>$ .
Готово. Можно писать ответ.

Обратите внимание, что при таком задании последовательности, значение каждого элемента зависит только от его порядкового номера. И поэтому, если нам нужно вычислить, например, пятнадцатый элемент, мы можем это сделать сразу, не вычисляя предыдущие четырнадцать.

Пример: Последовательность задана формулой: $a_n=8+5n-n^2$. Вычислите $a_9$.

Решение: Нужно вычислить значение девятого элемента, то есть порядковый номер $n=9$. Подставляем в формулу: $a_9=8+5·9-9^2=8+45-81=-28$.

III способ: рекуррентное соотношение. Звучит страшно, но суть проста – здесь дается начало последовательности (один или несколько первых элементов) и правило, по которому из предыдущего (или нескольких предыдущих) членов последовательности можно вычислить следующий.

Пример: Последовательность задана условиями: $c_1=4$, $c_=c_n+3$. Вычислите первые пять членов этой последовательности.

Решение: Первый член нам известен: $c_1=4$.
Второй мы получим, подставив в формулу вместо $n$ единицу: $c_<1+1>=c_1+3$
$c_2=c_1+3=4+3=7$
Третий ($n=2$): $c_<2+1>=c_2+3 $
$c_3=c_2+3=7+3=10$.

Нужные пять элементов вычислены. Теперь можно записывать ответ.

В этом примере мы по сути получали следующий элемент из предыдущего путем прибавления к предыдущему тройки. Логично, ведь формула $c_=c_n+3$ требовала именно этого. В ней $c_n$ – это предыдущий элемент, а $c_$ – следующий за ним (ведь его номер на единицу больше).

На практике могут встречаться более сложные формулы, в которых следующий элемент вычисляется из двух, трех или даже большего количества предыдущих.

Пример: У последовательности известны первые два элемента $z_1=2;$ $z_2=5$. Так же известна формула следующего элемента $z_=3z_-z_n$. Вычислите значения третьего, четвертого и пятого членов.

Решение: Слева будем писать текущую последовательность, а справа вести вычисления очередного элемента.

Последовательность на данный момент:

Так как формула дана для элемента с номером $n+2$, то чтобы найти $z_3$ нужно подставлять вместо $n$ единицу:
$z_<1+2>=3z_<1+1>-z_1$
$z_3=3z_2-z_1=3·5-2=13$

Важное отличие рекуррентного способа задания последовательности от аналитического – при рекуррентном мы не можем посчитать следующий элемент, не зная предыдущих. То есть, если нам нужно вычислить, например, пятнадцатый элемент, придется сначала вычислить все, что идут до него.

Как определить является ли число элементом последовательности?

Во всех предыдущих примерах мы находили значения элементов последовательности – чему равен третий, пятый или девятый член. Иначе говоря, выясняли какое именно число стоит в последовательности на таком-то месте.

Но в практике встречается также обратная задача – значение известно и надо выяснить, есть ли оно среди элементов некоторой последовательности? А если есть, то на каком месте?

Пример (ОГЭ): Какое из чисел ниже есть среди членов последовательности $a_n=n^2-n$:

Решение: Из условия задачи понятно, что одно из этих чисел точно является элементом последовательности. Поэтому мы можем просто вычислять элементы по очереди, пока не найдем нужный:

$a_2=2^2-2=2$ – тоже не то.

Нужный элемент найден.

Такой метод решения годится только если заранее известно, что элемент точно в последовательности есть. Потому что если его вдруг там нет – это можно проверять вечность, последовательность ведь бесконечна!

Поэтому в такой ситуации пользуются следующим алгоритмом:

Подставляют заданное число в формулу $n$ -го члена вместо $a_n$;

Решая полученное уравнение , находят неизвестное $n$;

Если $n$ – натуральное , то данное число — член последовательности.

Пример: Выяснить, является ли число $3$ членом последовательности $a_n=$ $\frac<51+2n>$ ?

Если число $3$ – член последовательности, то значит при некотором значении $n$, формула $\frac<51+2n>$ должна дать нам тройку. Найдем это $n$ по алгоритму выше.
Подставляем тройку вместо $a_n$.

Решаем это уравнение. Умножаем левую и правую части на знаменатель $(n+4)$.

Порядок величины

Порядок величины — класс эквивалентности $\mathcal<C>_n» width=»» height=»» /> величин (или шкал) <img decoding=$ при условии что некоторый класс $\mathcal<C>_0″ width=»» height=»» /> был задан или подразумевается).</p> <h3>Содержание</h3> <h3>Порядок числа</h3> <p>При работе с числами, представленными в некоторой системе счисления по основанию <img decoding=$ , чаще всего принимают r=b и $1\in\mathcal<C>_1″ width=»» height=»» />, <img decoding=$ совпадает с количеством цифр в числе, если его записать в позиционной системе счисления.

Например для десятичной системы счисления в этом случае каждая декада положительных чисел будет принадлежать только одному порядку:

$\mathcal<C>_1\supset\lbrace<>1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\rbrace» width=»» height=»» /></li> <li><img decoding=$ ,
порядки чисел по основанию и
порядки чисел по основанию .

Порядок чисел в естественном языке

В естественных языках встречаются выражения вроде «на порядок больше», «на много порядков больше», «на пару порядков меньше». В большинстве случаев подразумеваются десятичные порядки, то есть эти выражения можно прочитать как «примерно в десять раз больше», «примерно в 10^n раз больше, где — достаточно велика», «примерно в 100 раз меньше».

Порядок чисел и логарифмическая функция

Соответствующие числа, принадлежащие смежным порядкам $\mathcal<C>_<n>,\mathcal<C>_<n+1>,\mathcal<C>_<n+2>,\ldots,\mathcal<C>_<n+d>» width=»» height=»» /> могут быть записаны как <img decoding=$ , где $x\in\mathcal<C>_<n>» width=»» height=»» /> — первое из чисел. Это свойство определяет связь понятия порядка числа с показательной и обратной к ней логарифмической функцией.</p> <p>В частности при помощи понятия логарифмической функции может быть сформулировано необходимое условие принадлежности чисел к одному порядку: Пусть на множестве положительных чисел задано какое-то разбиение на порядки. Если два числа принадлежат одному порядку, то <img decoding=$ . В то же время числа и $\frac<1><r>M» width=»» height=»» /> принадлежат смежным с порядком <img decoding=$ в данном порядке выполняется соотношение $\frac<1><r>M < m\leq x\leq M < rm» width=»» height=»» />.</p> <p>Пусть два числа <img decoding=$ и x_2 принадлежат данному порядку $\mathcal<C>_n» width=»» height=»» />. Тогда <img decoding=$ и x_2 принадлежат порядкам $x_1\in\mathcal<C>_<n_1>» width=»» height=»» /> и <img decoding=$ иногда называют разностью порядков этих этих чисел.

Для двух чисел x_1 и x_2 разность их порядков может быть найдена как $d = \left\lfloor\log_r\frac<x_2><x_1>\right\rfloor» width=»» height=»» /> при <img decoding=$ .

Выберем число $x_2^\mathord<*>\in\mathcal<C>_<n_1>» width=»» height=»» /> принадлежащее порядку <img decoding=$ из порядка $\mathcal<C>_<n_2>» width=»» height=»» />. По определению порядка существует такое целое <img decoding=$ , что $x_2^\mathord<*>=r^<-d>x_2″ width=»» height=»» />. Получаем, что <img decoding=$ и $x_2^\mathord<*>» width=»» height=»» /> принадлежат одному порядку и потому <img decoding=$ является целым, а значит $d=\left\lfloor<>d\right\rfloor = \left\lfloor<>d + \log_r\frac<x_2^\mathord<*>><x_1>\right\rfloor = \left\lfloor\log_r\frac<x_2><x_1>\right\rfloor» width=»» height=»» />.</p> <p>В случае <img decoding=$ разность порядков иногда берут с отрицательным знаком d(x_1, x_2) = -d(x_2, x_1) .

Равенство разности порядков нулю является необходимым и достаточным условием того, что числа принадлежат к одному порядку.

Обобщение разности порядков

Иногда понятие разности порядков обобщают, снимая требование принадлежности к классу целых чисел и определяя её через выражение $d = \log_r\frac<x_2><x_1>» width=»» height=»» />.</p> <p>В такой интерпретации смысл приобретают выражения вроде «числа <img decoding=$ и x_2 различаются не более чем на пол порядка» то есть $\left|\log_r\frac<x_2><x_1>\right|\leq \frac<1><2>» width=»» height=»» /> или <img decoding=$ Что произойдет если в работающей сети заменить кабель utp кабелем stp