Что такое sec x

Секанс

Тригонометрические функции — вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), секанс (sec x) и косеканс (cosec x), последняя пара функций в настоящее время сравнительно малоупотребительна (про ещё менее употребляемые функции см. здесь). В англоязычной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x. Обычно тригонометрические функции определяются геометрически, но можно определить их аналитически через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на комплексные числа.

Содержание

Способы определения

Геометрическое определение

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически. Пусть дана декартова система координат на плоскости и построена окружность радиуса R с центром в начале координат O. Будем измерять углы как повороты от положительного направления оси абсцисс до луча OB. Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке отрицательным. Абсциссу точки В обозначим x_B, ординату обозначим y_B (см. рисунок.)

Синусом называется отношение

Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности R в силу свойств подобных фигур. Часто этот радиус принимают равным величине единичного отрезка, тогда синус равен просто ординате y_B, а косинус — абсциссе x_B. На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

Если α — действительное число, то синусом α в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна α, аналогично для прочих тригонометрических функций.

Определение тригонометрических функций для острых углов

Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB — треугольник с углом α. Тогда:
- Синусом α называется отношение AB/OB (противолежащего катета к гипотенузе)
- Косинусом α называется отношение ОА/OB (прилежащего катета к гипотенузе)
- Тангенсом α называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)
- Котангенсом α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)
- Секансом α называется отношение ОB/OA (гипотенузы к прилежащему катету)
- Косекансом α называется отношение ОB/AB (гипотенузы к противолежащему катету)
Построив систему координат с началом в точке O, направлением оси абсцисс вдоль OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее. Данное определение имеет некоторое педагогическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач про тупоугольные треугольники (см. Теорема синусов, Теорема косинусов).

Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решение дифференциального уравнения

$\frac<d^2><d\varphi^2>R(\varphi) = — R(\varphi),» width=»» height=»» /> </p> <p>с начальными условиями cos(0) = sin'(0) = 1 , то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:</p> <p> <img decoding=$ $\ \sin$

Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как непрерывные решения (f и g соответственно) системы функциональных уравнений: $\left\< \begin<array> <rcl>f(x+y)&amp;=&amp;f(x)f(y)-g(x)g(y)\\ g(x+y)&amp;=&amp;g(x)f(y)+f(x)g(y) \end <array>\right. » width=»» height=»» /></p> <h4>Определение тригонометрических функций через ряды</h4> <p>Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде суммы степенны́х рядов:</p> <p><img decoding=$ 0°(0 рад) 30° (π/6) 45° (π/4) 60° (π/3) 90° (π/2) 180° (π) 270° (3π/2) 360° (2π) $\sin \alpha \,\!$ $<0>\,\!» width=»» height=»» /></td> <td style=$ $\frac<1><2>\,\!» width=»» height=»» /></td> <td style=$ $\frac< \sqrt<2>><2>\,\!» width=»» height=»» /></td> <td style=$ $\frac< \sqrt<3>><2>\,\!» width=»» height=»» /></td> <td style=$ $<1>\,\!» width=»» height=»» /></td> <td style=$ $<0>\,\!» width=»» height=»» /></td> <td style=$ $<-1>\,\!» width=»» height=»» /></td> <td style=$ $<0>\,\!» width=»» height=»» /></td> </tr> <tr align=center> <td style=$ $\cos \alpha \,\!$ $<1>\,\!» width=»» height=»» /></td> <td style=$ $\frac< \sqrt<3>><2>\,\!» width=»» height=»» /></td> <td style=$ $\frac< \sqrt<2>><2>\,\!» width=»» height=»» /></td> <td style=$ $\frac<1><2>\,\!» width=»» height=»» /></td> <td style=$ $<0>\,\!» width=»» height=»» /></td> <td style=$ $<-1>\,\!» width=»» height=»» /></td> <td style=$ $<0>\,\!» width=»» height=»» /></td> <td style=$ $<1>\,\!» width=»» height=»» /></table> <h4>Значения тригонометрических функций нестандартных углов</h4> <p><img decoding=$

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:

$1 + \mathop<\mathrm<tg>>\,^2 \alpha = \frac<1>< \cos^2 \alpha>, \qquad \qquad \,» width=»» height=»» /> <img decoding=$ $\cos \left( - \alpha \right) = \cos \alpha \,,$ $\mathop<\mathrm<tg>>\, \left( — \alpha \right) = — \mathop<\mathrm<tg>>\, \alpha \,,» width=»» height=»» /> <img decoding=$ $\mathop<\mathrm<cosec>>\, \left( — \alpha \right) = — \mathop<\mathrm<cosec>>\, \alpha \,.» width=»» height=»» /></p> <h4>Периодичность</h4> <p>Функции <i>y = sin α, y = cos α, y = sec α, y = cosec α</i> — периодические с периодом <i>2π</i>. Функции: <i>y = tg α, y = ctg α</i> — c периодом <i>π</i></p> <h4>Формулы приведения</h4> <p><img decoding=$ $f ( n \pi - \alpha ) = \pm f (\alpha)$ $f ( \frac<(2n+1) \pi> <2>+ \alpha) = \pm g (\alpha)» width=»» height=»» /> <img decoding=$ $\cos(\alpha \pm \beta)= \cos( \alpha)\cos(\beta) \mp \sin(\alpha)\sin(\beta)$

Однопараметрическое представление

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.

$\sin x = \frac<\sin x> <1>= \frac<2\sin \frac<x><2>\cos \frac<x><2>><\sin^2 \frac<x> <2>+ \cos^2 \frac<x><2>> =\frac <2\operatorname<tg>\frac<x><2>><1 + \operatorname<tg>^2 \frac<x><2>>» width=»» height=»» /></p> <p><img decoding=$

$( \cos x )$

$( \mathop<\mathrm<tg>>\, x )» width=»» height=»» /></p> <p><img decoding=$

$( \operatorname</p> <p>Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:</p> <p><img decoding=$

$\int\cos x\, dx = \sin x + C \,,$

$\int\mathop<\mathrm<tg>>\, x\, dx = -\ln \left| \cos x\right| + C \,,» width=»» height=»» /></p> <p><img decoding=$

Калькулятор для вычисления секанса(sec) и косеканса(cosec)

Цифр после запятой

Секанс острого угла прямоугольного треугольника.

Sec (α) острого угла прямоугольного треугольника — это отношение гипотенузы(AB) к прилежащему катету(AC).
Пимер:
α = 40°; AB = 11,75см; AC = 9см.
Sec (40°) = 11,75 9 = 1,3054

Косеканс острого угла прямоугольного треугольника.

Cosec (α) острого угла прямоугольного треугольника — это отношение гипотенузы(AB) к противолежащему катету(BC).
Пимер:
α = 40°; AB = 11,75см; BC = 7,553см.
cosec (40°) = 11,75 7,553 = 1.5557

Тригонометрические функции. Значение тригонометрических функций.

Тригонометрические функции — это периодические функции с периодами для sin, cos, sec и cosec, и для tg и ctg.

Зачастую тригонометрические функции обозначают отношением сторон прямоугольного треугольника либо длины конкретных отрезков в единичной окружности.

Прямые тригонометрические функции.

Производные тригонометрические функции.

Другие тригонометрические функции.

В современном мире есть 6 базовых тригонометрических функций, которые ниже в таблице указаны вместе с уравнениями, которые связывают их.

Функция

Соотношение

Знаки тригонометрических функций .

Значения тригонометрических функций.

Значения sin, cos, tg, ctg, sec и cosec для определенных углов указаны в таблице. («∞» обозначает, что функция в данной точке не определена, а в её окрестности стремится к бесконечности).

0°

30°

π/6

45°

π/4

60°

π/3

90°

π/2

180°

270°

3π/2

360°

2π

Как скопировать формулу с сайта в ворд
Как убрать ссылки на оглавление в ворде
Что делать если в кс пишет не удалось установить соединение с официальными серверами
Что делать если звук в беспроводных наушниках стал тише