Сколько вариантов двузначных чисел
Перейти к содержимому

Сколько вариантов двузначных чисел

Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2

Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, если цифры в записи числа могут повторяться? Запиши эти числа через запятую.

Решение: Запишем все возможные комбинации из цифр 0, 1 и 2.
Получим: 00, 01, 02, 10, 11, 12, 20, 21, 22, всего таких комбинаций 9. Но первых три комбинации: 00, 01 и 02 не являются двузначными числами. Значит остается лишь 6 двузначных чисел, которые возможно составить из цифр 0, 1 и 2.
Ответ: из цифр 0, 1, 2 можно составить 6 двузначных чисел: 10, 11, 12, 20, 21, 22.

Тема 1. Элементы комбинаторики. Теоретические сведения

При выборе M элементов из N различных элементов говорят, что они образуют Соединение из N элементов по M. Различают три вида соединений элементов:

1. Размещениями называются соединения, которые отличаются друг от друга составом элементов или их порядком, и каждое из которых содержит M элементов, взятых из N различных элементов.

Например, выпишем все размещения элементов a, b, c, d по два: ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc.

2. Перестановками из N элементов называются соединения, каждое из которых содержит N различных элементов, взятых в определенном порядке.

Например, выпишем все перестановки из элементов a, b, c: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

3. Сочетаниями из N элементов по M называются соединения, отличающиеся друг от друга, по крайней мере, одним элементом, каждое из которых содержит M элементов, взятых из N различных элементов.

Например, выпишем все сочетания из элементов a, b, c, d, e по три: abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde.

Задача о числе размещений: Сколькими способами можно выбрать и разместить по M различным местам N разных предметов? Количество таких способов обозначается и читается: «Число размещений из N по M».

Пример 1. Сколько всего пятизначных телефонных номеров, в каждом из которых ни одна цифра не повторяется?

Решение. Это задача о выборе и размещении по пяти разным местам пяти из десяти различных цифр. Поэтому число указанных телефонных номеров равно .

Пример 2. Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?

Решение. Поскольку нечетных цифр пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на две разные позиции двух из пяти различных цифр. Следовательно, указанных чисел имеется .

Задача о числе перестановок: Сколькими способами можно переставить N разных предметов, расположенных на N разных местах? Количество таких способов обозначается и читается: «Число перестановок из N».

Пример 1. Сколько всего шестизначных четных чисел можно составить из цифр 1, 3, 4, 5, 7, 9, если в каждом из этих чисел ни одна цифра не повторяется?

Решение. Из всех указанных цифр последней может быть только цифра 4. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Значит, нужно найти число перестановок из пяти элементов. . Таким образом, можно составить 120 указанных чисел.

Пример 2. Сколькими способами семь книг разных авторов можно поставить на полке в один ряд?

Решение. Эта задача о числе перестановок семи разных книг . Следовательно, имеется 5040 способов осуществить расстановку книг.

Задача о числе сочетаний: Сколькими способами можно выбрать M из N разных предметов? Количество таких способов обозначается и читается: «Число сочетаний из N по M».

Пример 1. Сколькими способами читатель может выбрать две книжки из пяти имеющихся?

Решение. Искомое число способов равно числу сочетаний из пяти по два. Так как , то указанную выборку читатель может осуществить десятью способами.

Пример 2. В выпуклом семиугольнике проведены всевозможные диагонали, при этом никакие три из них не пересекаются в одной точке. Сколько точек пересечения указанных диагоналей?

Решение. Каждой точке пересечения диагоналей соответствуют четыре вершины семиугольника, а каждой четверке вершин семиугольника соответствует одна точка пересечения. Поэтому число всех точек пересечения диагоналей равно числу способов, которыми среди семи вершин можно выбрать четыре вершины. Поскольку , то число точек пересечения диагоналей равно 35.

Правило сложения

Если некоторый предмет может быть выбран из совокупности предметов способами, а другой предмет может быть выбран способами, то выбрать либо , либо можно способами. Правило распространяется на совокупность .

Правило умножения

Если некоторый предмет можно выбран из совокупности предметов способами и после каждого такого выбора предмет может быть выбран способами, то пара объектов (,) в указанном порядке может быть выбрана способами. Правило распространяется на совокупность .

Пример 1. Из двух математиков и десяти экономистов надо составить комиссию в составе восьми человек. Сколькими способами может быть составлена комиссия, если в нее должен входить хотя бы один математик?

Решение. В указанной комиссии может быть либо один математик и семь экономистов, либо два математика и шесть экономистов. Выбор одного математика из двух возможен способами, а семи экономистов из десяти – способами. По правилу произведения число способов выбора комиссии из одного математика и семи экономистов равно . Выбор двух математиков из двух возможен способом, а шести экономистов из десяти – способами. По правилу произведения число способов выбора комиссии из двух математиков и семи экономистов равно . Общее число способов выбора комиссии с одним или с двумя математиками по правилу сложения равно .

Пример 2. Сколько существует делителей числа 210?

Решение. Разложим данное число на простые множители: . Число делителей, составленных из произведения двух простых множителей, равно (это числа 6, 10, 14, 15, 21, 35); число делителей, составленных из произведения трех простых множителей, равно (это числа 30, 42, 70, 105); число простых делителей равно четырем (это числа 2, 3, 5, 7). Кроме того, делителями являются число 1 и число 210. Итак, согласно правилу сложения, число всех делителей равно .

До сих пор рассматривались соединения, в каждое из которых любой из N различных элементов входит один раз. Можно рассматривать соединения с повторениями.

Размещения с повторениями. Например, выпишем размещения по три из элементов 4 и 5 с повторениями: 444, 445, 454, 544, 555, 554, 545, 455.

Задача о числе размещений с повторениями: Сколькими способами можно разместить по M различным местам любые M предметов, выбранных из N различных предметов с повторениями каждого из них любое число раз, но не более M?

Пример 1. Каждый телефонный номер состоит из 5 цифр. Сколько всего телефонных номеров, содержащих только цифры 2, 3, 5 и 7?

Решение. Это задача о числе размещений в пяти разных местах пяти цифр, выбранных из четырех разных цифр с повторениями каждой из них любое число раз, но не более пяти. Так как , то число всех указанных телефонных номеров равно 1024.

Пример 2. Буквы азбуки Морзе состоят из символов – точка и тире. Сколько букв получим, если потребуем, чтобы каждая буква состояла не более чем из пяти указанных символов?

Решение. Число всех букв, каждая из которых записывается одним символом, равно . Число всех букв, каждая из которых записывается двумя символами, равно . Число всех букв, каждая из которых записывается тремя символами, равно . Число всех букв, каждая из которых записывается четырьмя символами, равно . Число всех букв, каждая из которых записывается пятью символами, равно . Число всех указанных букв равно 62.

Перестановки с повторениями – перестановки из N предметов, в каждую из которых входят одинаковых предметов одного типа, одинаковых предметов другого типа и т. д. . Например, выпишем перестановки с повторениями цифр 4 и 5, каждая из которых взята по два раза: 4455, 5544, 4545, 5454, 4554, 5445.

Задача о числе перестановок с повторениями: Сколькими способами можно переставить N предметов K различных типов каждого типа соответственно одинаковых предметов, расположенных на n разных местах?

Пример 1. Сколькими способами можно расположить в ряд 2 зеленые и 4 красные лампочки?

Решение. способами.

Пример 2. Сколькими способами можно переставить буквы в слове какао, чтобы получались всевозможные различные наборы букв?

Решение. способами.

Сочетания с повторениями. Например, выпишем все сочетания из трех цифр 3, 4,5 по два с повторениями: 33, 34 (43), 35 (53), 44, 45 (54), 55.

Задача о числе сочетаний с повторениями: Если имеется по M одинаковых предметов каждого из N различных типов, то сколькими способами можно выбрать M из этих M×N предметов?

Пример 1. В кондитерской имеется пять разных сортов пирожных. Сколькими способами можно выбрать набор из четырех пирожных?

Решение. способов.

Пример 2. Сколькими способами можно выбрать четыре монеты из четырех пятирублевых и из четырех двухрублевых монет?

Расчет количества вариантов_ формулы перемножения и сложения количества вариантов. Количество текстов данной длины в данном алфавите

Нажмите, чтобы узнать подробности

Если объект A можно получить n способами, объект B можно получить m способами и эти способы различны, то объект «A или B» можно получить n+m.

Если объект A можно получить n способами, объект B можно получить m способами, то объект «A или B» можно получить n+m-k способами, где k – это количество повторяющихся способов.

Если в условии задачи звучит «ИЛИ», то выбираем закон сложения

Закон сложения используется тогда, когда нужно выбрать только один элемент

Правило сложения «ИЛИ» Задание 1. Студент должен выполнить практическую работу по физике. Ему предложили на выбор 19 тем по механике и 10 тем по электродинамике. Сколькими способами он может выбрать одну тему для практической работы ? Решение 19+10=29 вариантов Задание 2. Пусть в одном ящике есть m шариков, а во втором ящике – n шариков. Сколькими способами можно вытащить один шарик из одного из этих ящиков ? Решение n+m способов

Правило сложения «ИЛИ»

Студент должен выполнить практическую работу по физике. Ему предложили на выбор 19 тем по механике и 10 тем по электродинамике. Сколькими способами он может выбрать одну тему для практической работы ?

19+10=29 вариантов

Пусть в одном ящике есть m шариков, а во втором ящике – n шариков. Сколькими способами можно вытащить один шарик из одного из этих ящиков ?

n+m способов

Правило умножения Если при составлении комбинации из двух элементов вида (A, B) первый элемент можно выбрать n способами, а затем второй – m способами, то различных комбинаций вида (A, B) можно выбрать m × n способами. Задание 3. Сколько чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, если число должно быть двузначным ? Решение Первую цифру числа можем выбрать 9 способами, а вторую десятью способами 9*10=90 вариантов Этот метод решения комбинаторных задач применяется, когда не требуется перечислять все возможные варианты, а нужно ответить на вопрос – сколько их существует.

Если при составлении комбинации из двух элементов вида (A, B) первый элемент можно выбрать n способами, а затем второй – m способами, то различных комбинаций вида (A, B) можно выбрать m × n способами.

Сколько чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, если число должно быть двузначным ?

Первую цифру числа можем выбрать 9 способами, а вторую десятью способами

9*10=90 вариантов

Этот метод решения комбинаторных задач применяется, когда не требуется перечислять все возможные варианты, а нужно ответить на вопрос – сколько их существует.

Правило умножения Сколько трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 3, 5, 7, 8, 9 ? Цифры в записи чисел не повторяются. Задание 4. Решение На первом месте должна стоять запись любой из цифр 3, 5, 7, 8, 9 – всего 5 способов. На втором – снова какая-нибудь из 5 (среди них может уже быть цифра 0). На третьем любая из 4 , что остались после записи первых двух цифр числа. Всего 5 ∙ 5 ∙ 4 = 100 разных способов трёхзначных чисел. Этот метод решения комбинаторных задач применяется, когда не требуется перечислять все возможные варианты, а нужно ответить на вопрос – сколько их существует.

Сколько трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 3, 5, 7, 8, 9 ?

Цифры в записи чисел не повторяются.

На первом месте должна стоять запись любой из цифр

3, 5, 7, 8, 9 – всего 5 способов.

На втором – снова какая-нибудь из 5 (среди них может уже быть цифра 0).

На третьем любая из 4 , что остались после записи первых двух цифр числа.

Всего

5 ∙ 5 ∙ 4 = 100 разных способов трёхзначных чисел.

Этот метод решения комбинаторных задач применяется, когда не требуется перечислять все возможные варианты, а нужно ответить на вопрос – сколько их существует.

Количество различных текстов данной длины в данном алфавите максимально возможное количество комбинаций (слов) фиксированной длины определенного алфавита N = m k m – это количество символов в алфавите . k – это длина слова

Количество различных текстов данной длины в данном алфавите

максимально возможное количество комбинаций (слов) фиксированной длины определенного алфавита

m – это количество символов в алфавите .

k – это длина слова

Количество различных текстов данной длины в данном алфавите Задание 5. В алфавите папуасов содержится 3 буквы. Один из папуасов составил слова из 5 букв. Определите максимально возможное количество составленных слов. N = m k m – это количество символов в алфавите . k – это длина слова

Количество различных текстов данной длины в данном алфавите

В алфавите папуасов содержится 3 буквы. Один из папуасов составил слова из 5 букв.

Определите максимально возможное количество составленных слов.

m – это количество символов в алфавите .

k – это длина слова

Количество различных текстов данной длины в данном алфавите Задание 6. В алфавите папуасов содержится 3 буквы. Один из папуасов составил слова из 5 букв. Определите максимально возможное количество составленных слов. N = m k =3 5 =243 m – это количество символов в алфавите . k – это длина слова

Количество различных текстов данной длины в данном алфавите

В алфавите папуасов содержится 3 буквы. Один из папуасов составил слова из 5 букв.

Определите максимально возможное количество составленных слов.

m – это количество символов в алфавите .

k – это длина слова

Количество различных текстов данной длины в данном алфавите Задание 7. Определить количество различных последовательностей, которые можно составить с помощью двоичных слов, состоящих из шести символов (знакомест). Ответ:64 Задание 8. Определить количество различных последовательностей из символов “a”, “b”, “c”, “%”, “&” длиной в четыре символа. Ответ:625 Задание 9. Сколько существует всевозможных трехбуквенных слов в английском языке? Ответ:17576 Задание 10. Сколько существует всевозможных трехбуквенных слов в русском языке? Ответ:35937

Количество различных текстов данной длины в данном алфавите

Определить количество различных последовательностей, которые можно составить с помощью

двоичных слов, состоящих из шести символов (знакомест). Ответ:64

Определить количество различных последовательностей из символов “a”, “b”, “c”, “%”, “&” длиной в четыре символа. Ответ:625

Сколько существует всевозможных трехбуквенных слов в английском языке? Ответ:17576

Сколько существует всевозможных трехбуквенных слов в русском языке? Ответ:35937

Домашняя работа 1. Пять учеников участвуют в концерте. Сколькими способами их можно расположить в списке участников ? а) 124; б) 118; в) 120; г) 121. 3. Сколько чётных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 4, 6, 7 ? а) 22; б) 25; в) 18; г) 20. 2. В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных ? а) 670; б) 650; в) 646; г) 654. Выучить определения и формулы

1. Пять учеников участвуют в концерте. Сколькими способами их можно расположить в списке участников ?

3. Сколько чётных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 4, 6, 7 ?

2. В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных ?

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.