ЕГЭ. Задание 19. Теория чисел, арифметика и алгебра
Подготовка к профильному уровню единого государственного экзамена по математике. Полезные материалы, видеоразборы задач и подборка заданий прошлых лет последней задачи ЕГЭ.
Полезные материалы
Подборки видео и курсы
Видеоразборы задач
а) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 123456789 так, чтобы получилось число, кратное 72?
б) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 846927531 так, чтобы получилось число, кратное 72?
в) Какое наибольшее количество цифр можно вычеркнуть из числа 124875963 так, чтобы получилось число, кратное 72?
На доске написано 10 различных натуральных чисел, среднее арифметическое шести наименьших из них равно 7, среднее арифметическое шести наибольших из них равно 12.
а) Может ли наименьшее число быть равно 5?
б) Может ли среднее арифметическое всех чисел быть равным 10?
в) Какое наибольшее среднее арифметическое может быть у всех чисел, написанных на доске?
В школах #1 и #2 учащиеся писали тест. В каждой школе тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писали 37 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого, один из учащихся, писавших тест, перешел из школы #1 в школу #2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе #1 вырасти в два раза?
б) Средний балл в школе #1 вырос на 5%, средний балл в школе #2 также вырос на 5%. Мог ли первоначальный балл в школе #2 равняться 1?
в) Средний балл в школе #1 вырос на 5%, средний балл в школе #2 также вырос на 5%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе #2.
а) Существуют ли двузначные натуральные числа $m$ и $n$ такие, что $\left| \dfrac
б) Существуют ли двузначные двузначные натуральные числа $m$ и $n$ такие, что $\left| \dfrac
в) При каком натуральном $n$ значение выражения $\left| \dfrac
В живом уголке четыре ученика кормят кроликов. Каждый кормит нескольких (хотя бы одного) кроликов, но не всех. Первый ученик дает порцию по 100 грамм, второй — по 200 грамм, третий — по 300 грамм, а четвертый — по 400 грамм.
а) Может ли оказаться так, что кроликов было 15 и все они получили одинаковое количество корма?
б) Может ли оказаться так, что кроликов было 15 и все они получили разное количество корма?
в) Какое наибольшее количество кроликов могло быть в живом уголке, если каждый ученик насыпал корм ровно четырем кроликам и все кролики получили разное количество корма?
На доске написаны числа $a_1$, $a_2$, . $a_n$, каждое из которых не меньше 50 и не больше 150. Каждое из чисел $a_i$ уменьшили на $r_i\%$ так, что либо $r_i = 2$, либо число $a_i$ уменьшилось на 2.
а) Может ли среднее арифметическое чисел $r_i$ быть равным 5?
б) Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел $r_i$ больше 2, и при этом сумма чисел $a_i$ уменьшилась более чем на $2n$?
в) Пусть $n=30$, а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на 40. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел $r_i$.
На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Каждый из 28 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно $S$.
а) Приведите пример, когда $S < 15$.
б) Могло ли значение $S$ быть равным 5?
в) Какое наименьшее значение могло принимать $S$, если обе контрольные работы писали 10 студентов?
На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6.
б) Может ли ровно одно число на доске оканчивается на 6?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?
На доске написано несколько (более одного) различных натуральных чисел, причем любые два из них отличаются не более чем в три раза.
а) Может ли на доске быть 5 чисел, сумма которых равна 47?
б) Может ли на доске быть 10 чисел, сумма которых равна 94?
в) Сколько может быть чисел на доске, если их произведение равно 8000?
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
Последовательность состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.
а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из четырёх членов, сумма которых равна 50.
б) Может ли такая последовательность состоять из шести членов и содержать два одинаковых числа?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности, состоящей из десяти членов?
На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа $a$ и $b$, записанные на доске, заменяются на два числа: или $a + b$ и $2a — 1$, или $a + b$ и $2b — 1$ (например, из чисел 2 и 3 можно получить либо 3 и 5, либо 5 и 5).
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 13.
б) Может ли после 200 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 400?
в) Сделали 513 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?
Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 1008 и
а) пять;
б) четыре;
в) три
из них образуют геометрическую прогрессию?
Число $S$ таково, что для любого представления $S$ в виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит 1, эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит 17.
а) Может ли число $S$ быть равным 34?
б) Может ли число $S$ быть больше $33\dfrac<1><18>$?
в) Найдите максимальное возможное значение $S$.
Рассматриваются конечные непостоянные арифметические прогрессии, состоящие из натуральных чисел, которые не имеют простых делителей, отличных от 2 и 3.
а) Может ли в этой прогрессии быть три числа?
б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?
Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел: $-11,$ $12,$ $13,$ $-14,$ $-15,$ $17,$ $-18,$ $19.$ Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел: $-11,$ $12,$ $13,$ $-14,$ $-15,$ $17,$ $-18,$ $19.$ После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться $0$?
б) Может ли в результате получиться $123$?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
Представьте число 33 100 в виде суммы нескольких дробей все числители которых единица
Тип 18 № 520827 
а) Представьте число в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
б) Представьте число в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
в) Найдите все возможные пары натуральных чисел m и n, для которых и
а) Приведем пример такой суммы:
б) Приведем пример такой суммы:
в) Пусть m = dp, n = dq, где d — наибольший общий делитель чисел m и n. Тогда Числа p, q и p + q попарно взаимно простые, поэтому числа p и q являются взаимно простыми делителями числа 14. Получаем следующие варианты:
Разложение дроби в сумму элементарных дробей онлайн
Если , тогда дробь называется правильной. Элементарными дробями называют рациональные дроби вида:
здесь — натуральные числа, коэффициенты — действительные числа, причём корни полинома — являются комплексно-сопряжёнными (т.е. ).
Если знаменатель — разложен в произведение линейных и/или квадратичных сомножителей:
где — действительные корни полинома кратности соответственно, и где и комплексно-сопряженные корни кратности , то исходную дробь можно представить в виде:
Каждому линейному множителю вида , содержащемуся в соответствует разложение вида:
Каждому квадратичному множителю вида , содержащемуся в соответствует разложение вида:
Наш онлайн сервис позволяет разложить любую (правильную, неправильную) рациональную дробь в сумму элементарных дробей. В случае, если исходная дробь является неправильной, (т.е. если степень полинома в числителе дроби больше или равна степени полинома в знаменателе дроби) автоматически будет произведено деление числителя на знаменатель и выделение из полученного результата правильной дроби. Операция разложения рациональной дроби в сумму простейших дробей используется при нахождении интегралов от рациональных выражений.
Посмотреть пример подробного решения, выдаваемого нашим сервисом, можно здесь .