Как нормировать вектор
wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали авторы-волонтеры.
Количество просмотров этой статьи: 21 763.
Вектор является геометрическим объектом, он характеризуется направлением и величиной. Его можно представить в виде отрезка с начальной точкой на одном конце и стрелкой на втором, при этом длина отрезка соответствует величине вектора, а стрелка указывает на его направление. Нормирование вектора является стандартной операцией в математике, на практике она используется в компьютерной графике.
59. Норма вектора. Нормированное пространство
Здесь учтена аксиома 40 и берется арифметическое значение корня. Из определения нормы вытекает:
1) |x| > 0 при x ¹ 0 и |x| = 0 только, если x = 0.
Вектор X, длина которого равна единице, называется нормированным. Очевидно, всякий ненулевой вектор можно пронормировать, умножив его на число 
. Полученный вектор 
будет нормированным.
Определим угол между векторами. Углом между векторами назовем угол, косинус которого определяется из соотношения
В силу неравенства Коши – Буняковского |cos j| £ 1, что корректно.
Договоримся считать два вектора евклидового пространства х и у ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Отсюда следует, что в евклидовом пространстве справедлива теорема Пифагора:
|| x + y ||2 = (x + y, x + y) = (x, x) + 2(x, y) + (y, y) = || x ||2 + || y ||2
Приведем пример условия ортогональности двух векторов X и Y в пространстве An
X1y1 + x2y2 + … + xnyn = 0
Вспомним, что это условие ортогональности двух векторов, которое в векторной алгебре мы получим из скалярного произведения.
В пространстве c(a, b) условие ортогональности имеет вид
Например, векторы x = cos nt и y = sin mt, где m и n – целые, ортогональны при a = — p и b = p
С этим важным примером мы будем часто встречаться в математике.
Теперь введем определение: линейное пространство R называется нормированным, если выполнены следующие два требования:
1. любому элементу x пространства ставится в соответствие или определяется норма 
.
2. Указанное правило введения нормы подчинено следующим аксиомам:
10 || x || > 0, если x ¹ 0; || x || = 0, если x = 0
30 справедливо равенство || x + y || £ || x || + || y || называемое неравенством Минковского или неравенством треугольника.
Всякое евклидово пространство является нормированным, если в нем норму любого элемента х определить равенством . Первые две аксиомы непосредственно вытекают из аксиом скалярного произведения 30 и 40.
Справедливость неравенства Минковского докажем, опираясь на неравенство Коши – Буняковского:
Скалярное произведение векторов/Задачи/Нормализация вектора
Нормализация вектора — это преобразование заданного вектора в вектор в том же направлении, но с единичной длиной.
Для нормализации вектора нужно каждую компоненту поделить на длину вектора, или умножить инверсию длины на данный вектор. Длина вектора в трёхмерном евклидовом пространстве определяется формулой: l e n g t h = ( x ∗ x + y ∗ y + z ∗ z ) <\displaystyle length=<\sqrt <(x*x+y*y+z*z)>>>