Как найти угол треугольника зная координаты вершин

Примеры решений по аналитической геометрии на плоскости

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости об исследовании треугольника (заданного вершинами или сторонами): уравнения сторон, углы, площадь, уравнения и длины высот, медиан, биссектрис и т.п.

Решения задач о треугольнике онлайн

Задача 1. Даны вершины треугольника $A (-2, 1), B (3, 3), С (1, 0)$. Найти:
а) длину стороны $AB$;
б) уравнение медианы $BM$;
в) $\cos$ угла $BCA$;
г) уравнение высоты $CD$;
д) длину высоты $СD$;
е) площадь треугольника $АВС$.

Задача 2. Найти длину высоты $AD$ в треугольнике с вершинами $A(3,2), B(2,-5), C(-6,-1)$ и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$.

Задача 3. Даны вершины $A(1,1), B(7,5), C(4,5)$ треугольника. Найти:
1) длину стороны $AB$;
2) внутренний угол $A$ в радианах с точностью до 0,01;
3) уравнение высоты, проведенной через вершину $C$;
4) уравнение медианы, проведенной через вершину $C$;
5) точку пересечения высот треугольника;
6) длину высоты, опущенной из вершины $C$;
7) систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника.
Сделать чертеж.

Задача 4. Даны уравнения двух сторон треугольника $4x-5y+9=0$ и $x+4y-3=0$. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке $P(3,1)$.

Задача 5. Даны две вершины $A(-3,3)$, $B(5,-1)$ и точка $D(4,3)$ пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.

Задача 6. Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми $у = 2х$, $y = -2х$ и $у = х + 6$.

Задача 7. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника: $А(0, — 4)$, $В(3, 0)$ и $С(0, 6)$.

Задача 8. Вычислить координаты точек середины отрезков, являющихся медианами треугольника $ABC$, если $A(-6;1)$, $B(4;3)$, $C(10;8)$.

Найти косинусы углов треугольника

Мы уже находили косинусы углов треугольника по его сторонам в произвольном треугольнике и косинус острого угла прямоугольного треугольника.

Рассмотрим, как найти косинусы углов треугольника по его вершинам.

1) Найти косинусы углов треугольника ABC;

2) Определить вид треугольника.

kosinusy-uglov-treugolnika

1) Угол A образован векторами

$\overrightarrow {AB} u\overrightarrow {AC} .$

(Чертёж не обязательно делать на координатной плоскости. Достаточно выполнить его схематически, для упрощения понимания, какой угол какими векторами образован).

$\cos A = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}.$

$\overrightarrow {AB} (x_B - x_A ;y_B - y_A ),$

$\overrightarrow {AB} (6 - ( - 2);1 - 0),$

$\overrightarrow {AB} (8;1).$

$\overrightarrow {AC} (x_C - x_A ;y_C - y_A ),$

$\overrightarrow {AC} ( - 3 - ( - 2); - 5 - 0),$

$\overrightarrow {AC} ( - 1; - 5).$

$\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 8 \cdot ( - 1) + 1 \cdot ( - 5) = - 13.$

Поскольку скалярное произведение меньше нуля, угол, образованный данными векторами, тупой. Значит треугольник ABC — тупоугольный.

$\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {8^2 + 1^2 } = \sqrt {65} ,$

$\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {( - 1)^2 + ( - 5)^2 } = \sqrt {26} .$

$\cos A = \frac{{ - 13}}{{\sqrt {65} \cdot \sqrt {26} }} = \frac{{ - 13}}{{\sqrt {5 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 13} }} =$

$= \frac{{ - 13}}{{13\sqrt {10} }} = - \frac{1}{{\sqrt {10} }} = - \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}.$

2) Угол B образован векторами

$\overrightarrow {BA} u\overrightarrow {BC} .$

$\cos B = \frac{{\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right|}}.$

$\overrightarrow {BA} u\overrightarrow {AB}$

— противоположные векторы, то их координаты отличаются только знаками и векторы имеют одинаковую длину:

Как найти косинус внутреннего угла при вершине В?

Вычислим стороны треугольника АВС, используя формулу определения расстояния между точками в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве.

Затем, применив теорему косинусов, найдем искомый угол.

Вот таким образом у меня получилось, если не ошибся в арифметике

Найти косинус угла АВС можно по формуле для расчёта угла между двумя векторами.

Зная координаты вершин А(2;-2;-2), В(2;2;-1) и С(3;1;-2), находим вектора АВ = <0; -4; –1>, СВ = <1; -1; -1>. Для этого мы использовали формулу вида:

Как найти угол треугольника зная координаты вершин

Примеры решений по аналитической геометрии на плоскости

Решения задач о треугольнике онлайн

Найти косинусы углов треугольника

Как найти косинус внутреннего угла при вершине В?

Добавить комментарий Отменить ответ