Как найти точку пересечения векторов

Точка пересечения 2 векторов

Координаты x,y я то нашел, спроецировав на плоскость вектора.

stl
А что такое пересечение векторов?

Есть обобщенная задача — поиск двух БЛИЖАЙШИХ ТОЧЕК у двух отрезков в пространстве. Я щас не дома и не могу показать код, да и в двух словах алгоритм не опишешь. Гугли.

stl
>Даны 2 вектора: x1,y1,z1; x2,y2,z2;
Как найти точку пересечения?
Элементарно: (0; 0; 0)

если честно , я не понял ваших ответов. Мне нужны не ближайшие точки, и причем тут 0,0,0 я тоже не понял.

2 вектора точно пересекаются в пространстве в какой-то точке. У векторов есть координаты начала и конца. Найти x,y точки пересечения легко — проецируем на экран, отбрасывая z, находим.

А как найти координату z, если она может потребоваться в дальнейшем?

stl
>2 вектора точно пересекаются в пространстве в какой-то точке. У векторов есть
>координаты начала и конца.

У настоящих брутальных векторов координаты начала находятся в точке

ты у каждого вектора указал лишь один набор координат. потому их от (0,0,0) и отсчитали 😉 вопрос надо правильней формулировать. тебя интересует пересение ОТРЕЗКОВ? ну так элементарно, пусть отрезки

(x1, y1, z1) — (x2, y2, z2) и (a1, b1, c1) — (a2, b2, c2)
тогда уравнение первого
x = x1*t + x2*(1 — t)
y = y1*t + y2*(1 — t)
z = z2*t + z2*(1 — t)

аналогично для второго
x = a1*s + a2*(1 — s)
y = b1*s + b2*(1 — s)
z = c2*s + c2*(1 — s)

приравниваем x,y,z, получаем

x1 t + x2 (1 — t) = a1 s + a2 (1 — s)
y1 t + y2 (1 — t) = b1 s + b2 (1 — s)

система из 2 уравнений с 2мя неизвестными, решаем, подставляем s и t во третьи уравнения, убеждаемся, что z-координаты совпали тоже (если нет, то и пересечения нет)

stl
>У векторов есть координаты начала и конца
А нету!

Вектор это упорядоченное конечное множество своих координат.
Вектор может представлять множество отрезков, которые будут по длине равны абсолютному значению вектора и паралельны.
И вот разница координат отрезков следовательно равна координатам вектора.
Если проще, вектор — это не отрезок. Вектор — это точка. А его направление — это направление отрезка из начала координат в эту точку.

Tweedle Dee
>ты у каждого вектора указал лишь один набор координат. потому их от (0,0,0) и отсчитали 😉
Он указал правильно а отсчитывают от нулей всегда.

>У настоящих брутальных векторов координаты начала находятся в точке <0, 0, 0>
Координаты у труЪ-математиков задаются либо (0; 0; 0) либо <0, 0, 0> А вот <0, 0, 0>— смахивает на неупорядоченное множество.

stl
Короче объясняю.
Такс. Если у тебя есть отрезок <(x1; y1; z1), (x2; y2; z2)> то вектор, который задаст множество отрезков, равных по модулю длине твоего отрезка и паралельных ему равен (x2 — x1; y2 — y1; z2 — z1). И любой отрезок, входящий в это множество будет равен <(c1 + x1; c2 + y1; c3 + z1), (c1 + x2; c2 + y2; c3 + z2)>,
Отрезок, совпадающий с радиус-вектором на графике будет равен <(0; 0; 0), <x, y, z>>.
Где c1, c2, c3 — произвольные константы из множества декартовой степени 1/n пространства, которому принадлежит вектор, где n — мерность пространства. Например пространство R^3 возводим в декартовую степень 1/3 получаем R — множество действительных чисел (частный случай для трёхмерного пространства).
x, y, z — координаты вектора, равные x2 — x1, y2 — y1 и z2 — z1 соответственно.

ПРАВКА: поумничал малость
ПРАВКА: афрографея
ПРАВКА: поумничал малость

Векторы в пространстве — не пересекаются! Их пересечение возможно только при строгом и абсолютно точном соотношении параметров (как минимум, "лежат в одной плоскости"). Однако, поскольку в реальном мире имеют место квантовые флуктуации, а малейшего отклонения параметра достаточно для разрушения необходимого равенства (в случае компутера эта особенность физического мира симулируется неабсолютной точностью вычислений), то вероятность пересечения изничтожающе стремится к нулю.

А поэтому мораль такова: не надо математически эстетствовать, ибо жизнь сурова. А надо взять и найти, как предлагали в посте 2, ближайшие точки A и B обоих векторов. Если расстояние AB меньше некоторого епсилон (скажем, 0.001), то можно условно считать, что вектора пересеклись, и точка пересечения — середина AB. Если же больше епсилона — значит, не пересеклись.

векторная-геометрия — Найти точку пересечения вектора и плоскости

Добрый день, возник такой вопрос: есть плоскость, в моем случае y = 0, положение точки 1: (x1, y1, z1), и положение точки 2 (x2, y2, z2). Как найти точку пересечения вектора, направленного от точки 1 к точке 2, и плоскости? Затем нужно посчитать расстояние до этой точки пересечения (но это уже не сложно).

задан 20 Май ’14 14:10

@сергей111: одно замечание по поводу терминологии. Обычно не говорят о пересечении вектора и плоскости. Задачу можно рассматривать в трёх вариантах, проводя либо прямую, либо луч, либо отрезок. В принципе, все они решаются однотипным способом.

@сергей111, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

2 ответа

Стандартный способ решения таких задач — использовать параметрическую запись прямой, заданной направляющим вектором и точкой: $$\beginx=mt+x_0,\\y=nt+y_0,\\z=pt+z_0.\end$$ Здесь $%(m,n,p)$% — координаты вектора от одной точки до другой, а $%(x_0,y_0,z_0)$% — координаты одной из точек. Подставляете эти значения в уравнение плоскости, откуда находите параметр $%t$%. По этому параметру находите $%(x,y,z)$%.

Определение точки пересечения двух отрезков

Пусть даны два отрезка. Первый задан точками P₁(x₁;y₁) и P₂(x₂;y₂). Второй задан точками P₃(x₃;y₃) и P₄(x₄;y₄).

Взаимное расположение отрезков можно проверить с помощью векторных произведений:

Рассмотрим отрезок P₃P₄ и точки P₁ и P₂.

Точка P₁ лежит слева от прямой P₃P₄, для нее векторное произведение v₁ > 0, так как векторы положительно ориентированы.
Точка P₂ расположена справа от прямой, для нее векторное произведение v₂ < 0, так как векторы отрицательно ориентированы.

Для того чтобы точки P₁ и P₂ лежали по разные стороны от прямой P₃P₄, достаточно, чтобы выполнялось условие v₁v₂ < 0 (векторные произведения имели противоположные знаки).

Аналогичные рассуждения можно провести для отрезка P₁P₂ и точек P₃ и P₄.

Векторное произведение двух векторов вычисляется по формуле:

где:
ax, ay — координаты первого вектора,
bx, by — координаты второго вектора.

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки, заданные своими координатами.

Пусть на прямой заданы две не совпадающие точки:P₁ с координатами (x₁;y₁) и P₂ с координатами (x₂; y₂). Соответственно вектор с началом в точке P₁ и концом в точке P₂ имеет координаты (x₂-x₁, y₂-y₁). Если P(x, y) – произвольная точка на прямой, то координаты вектора P₁P равны (x — x₁, y – y₁).

Итак, прямую можно задать уравнением вида (1).

Как найти точку пересечения прямых?
Очевидное решение состоит в том, чтобы решить систему уравнений прямых:

Здесь D – определитель системы, а D_x,D_y — определители, получающиеся в результате замены столбца коэффициентов при соответствующем неизвестном столбцом свободных членов. Если D ≠ 0, то система (2) является определенной, то есть имеет единственное решение. Это решение можно найти по следующим формулам: x₁=D_x/D, y₁=D_y/D, которые называются формулами Крамера. Небольшое напоминание, как вычисляется определитель второго порядка. В определителе различают две диагонали: главную и побочную. Главная диагональ состоит из элементов, взятых по направлению от верхнего левого угла определителя в нижний правый угол. Побочная диагональ – из правого верхнего в нижний левый. Определитель второго порядка равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.