Как найти сумму делителей числа

Нахождение всех делителей числа, число делителей числа

В данной статье мы поговорим о том, как найти все делители числа. Начнем с доказательства теоремы, с помощью которой можно задать вид всех делителей определенного числа. Далее возьмем примеры нахождения всех нужных делителей и покажем, как именно определить, сколько делителей имеет конкретное число. В последнем пункте подробно рассмотрим примеры задач на нахождение общих делителей нескольких чисел.

Как найти все делители числа

Чтобы понять материал, изложенный в данном пункте, нужно хорошо знать, что вообще из себя представляют кратные числа и делители. Здесь мы поговорим только о поиске делителей натуральных чисел, т.е. целых положительных. Этим можно ограничиться, поскольку свойство делимости гласит, что делители целого отрицательного числа аналогичны делителям целого положительного, которое будет противоположным по отношению к этому числу. Также сразу уточним, что у нуля есть бесконечно большое число делителей, и находить их смысла не имеет, поскольку в итоге все равно получится 0 .

Если речь идет о простом числе, то его можно разделить только на единицу и на само себя. Значит, у любого простого числа a есть всего 4 делителя, два из которых больше 0 и два меньше: 1 , — 1 , a , — a . Возьмем простое число 7 : у него есть делители 7 , — 7 , 1 и — 1 , и все. Еще один пример: 367 – тоже простое число, которое можно разделить лишь на 1 , — 1 , 367 и — 367 .

Сложнее определить все делители составного числа. Сформулируем теорему, которая лежит в основе данного действия.

Допустим, у нас есть выражение, означающее каноническое разложение числа на простые множители, вида a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n . Тогда натуральными делителями числа a будут следующие числа: d = p 1 t 2 · p 2 t 2 · … · p n t n , где t 1 = 0 , 1 , … , s 1 , t 2 = 0 , 1 , … , s 2 , … , t n = 0 , 1 , … , s n .

Перейдем к доказательству этой теоремы. Зная основное определение делимости, мы можем утверждать, что a можно разделить на d , если есть такое число q , что делает верным равенство a = d · q , т.е. q = p 1 ( s 1 − t 1 ) · p 2 ( s 2 — t 2 ) · … · p n ( s n — t n ) .

Любое число, делящее a , будет иметь именно такой вид, поскольку, согласно свойствам делимости, других простых множителей, кроме p 1 , p 2 , … , p n , оно иметь не может, а их показатели в данном случае не превысят s 1 , s 2 , … , s n .

Учитывая доказательство этой теоремы, мы можем сформировать схему нахождения всех положительных делителей данного числа.

Для этого нужно выполнить следующие действия:

Выполнить каноническое разложение на простые множители и получить выражение вида a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n .
Найти все значения d = p 1 t 2 · p 2 t 2 · … · p n t n , где числа t 1 , t 2 , … , t n будут принимать независимо друг от друга каждое из значений t 1 = 0 , 1 , … , s 1 , t 2 = 0 , 1 , … , s 2 , … , t n = 0 , 1 , … , s n .

Самым трудным в таком расчете является именно перебор всех комбинаций указанных значений. Разберем подробно решения нескольких задач, чтобы наглядно показать применение данной схемы на практике.

Условие: найти все делители 8 .

Решение

Разложим восьмерку на простые множители и получим 8 = 2 · 2 · 2 . Переведем разложение в каноническую форму и получим 8 = 2 3 . Следовательно, a = 8 , p 1 = 2 , s 1 = 3 .

Поскольку все делители восьмерки будут значениями p 1 t 1 = 2 t 1 , то t 1 может принять значения нуля, единицы, двойки, тройки. 3 будет последним значением, ведь s 1 = 3 . Таким образом, если t 1 = 0 , то 2 t 1 = 2 0 = 1 , если 1 , то 2 t 1 = 2 1 = 2 , если 2 , то 2 t 1 = 2 2 = 4 , а если 3 , то 2 t 1 = 2 3 = 8 .

Для нахождения делителей удобно все полученные значения оформлять в виде таблицы:

t 1	2 t 1
0	2 0 = 1
1	2 1 = 2
2	2 2 = 4
3	2 3 = 8

Значит, положительными делителями восьмерки будут числа 1 , 2 , 4 и 8 , а отрицательными − 1 , − 2 , − 4 и − 8 .

Ответ: делителями данного числа будут ± 1 , ± 2 , ± 4 , ± 8 .

Возьмем пример чуть сложнее: в нем при разложении числа получится не один, а два множителя.

Условие: найдите все делители числа 567 , являющиеся натуральными числами.

Решение

Начнем с разложения данного числа на простые множители.

567 189 63 21 7 1 3 3 3 3 7

Приведем разложение к каноническому виду и получим 567 = 3 4 · 7 . Затем перейдем к вычислению всех натуральных множителей. Для этого будем присваивать t 1 и t 2 значения 0 , 1 , 2 , 3 , 4 и 0 , 1 , вычисляя при этом значения 3 t 1 · 7 t 2 . Результаты будем вносить в таблицу:

t 1	t 2	3 t 1 · 7 t 2
0	0	3 0 · 7 0 = 1
0	1	3 0 · 7 1 = 7
1	0	3 1 · 7 0 = 3
1	1	3 1 · 7 1 = 21
2	0	3 2 · 7 0 = 9
2	1	3 2 · 7 1 = 63
3	0	3 3 · 7 0 = 27
3	1	3 3 · 7 1 = 189
4	0	3 4 · 7 0 = 81
4	1	3 4 · 7 1 = 567

Ответ: натуральными делителями 567 будут числа 27 , 63 , 81 , 189 , 1 , 3 , 7 , 9 , 21 и 567 .

Продолжим усложнять наши примеры – возьмем четырехзначное число.

Условие: найти все делители 3 900 , которые будут больше 0 .

Решение

Проводим разложение данного числа на простые множители. В каноническом виде оно будет выглядеть как 3 900 = 22 · 3 · 52 · 13 . Теперь приступаем к нахождению положительных делителей, подставляя в выражение 2 t 1 · 3 t 2 · 5 t 3 · 13 t 4 значения t 1 , равные 0 , 1 и 2 , t 2 = 0 , 1 , t 3 = 0 , 1 , 2 , t 4 = 0 , 1 . Результаты представляем в табличном виде:

t 1	t 2	t 3	t 4	2 t 1 · 3 t 2 · 5 t 3 · 13 t 4
0	0	0	0	2 0 · 3 0 · 5 0 · 13 0 = 1
0	0	0	1	2 0 · 3 0 · 5 0 · 13 1 = 13
0	0	1	0	2 0 · 3 0 · 5 1 · 13 0 = 5
0	0	1	1	2 0 · 3 0 · 5 1 · 13 1 = 65
0	0	2	0	2 0 · 3 0 · 5 2 · 13 0 = 25
0	0	2	1	2 0 · 3 0 · 5 2 · 13 1 = 325
0	1	0	0	2 0 · 3 1 · 5 0 · 13 0 = 3
0	1	0	1	2 0 · 3 1 · 5 0 · 13 1 = 39
0	1	1	0	2 0 · 3 1 · 5 1 · 13 0 = 15
0	1	1	1	2 0 · 3 1 · 5 1 · 13 1 = 195
0	1	2	0	2 0 · 3 1 · 5 2 · 13 0 = 75
0	1	2	1	2 0 · 3 1 · 5 2 · 13 1 = 975

t 1	t 2	t 3	t 4	2 t 1 · 3 t 2 · 5 t 3 · 13 t 4
1	0	0	0	2 1 · 3 0 · 5 0 · 13 0 = 2
1	0	0	1	2 1 · 3 0 · 5 0 · 13 1 = 26
1	0	1	0	2 1 · 3 0 · 5 1 · 13 0 = 10
1	0	1	1	2 1 · 3 0 · 5 1 · 13 1 = 130
1	0	2	0	2 1 · 3 0 · 5 2 · 13 0 = 50
1	0	2	1	2 1 · 3 0 · 5 2 · 13 1 = 650
1	1	0	0	2 1 · 3 1 · 5 0 · 13 0 = 6
1	1	0	1	2 1 · 3 1 · 5 0 · 13 1 = 78
1	1	1	0	2 1 · 3 1 · 5 1 · 13 0 = 30
1	1	1	1	2 1 · 3 1 · 5 1 · 13 1 = 390
1	1	2	0	2 1 · 3 1 · 5 2 · 13 0 = 150
1	1	2	1	2 1 · 3 1 · 5 2 · 13 1 = 1950

t 1	t 2	t 3	t 4	2 t 1 · 3 t 2 · 5 t 3 · 13 t 4
2	0	0	0	2 2 · 3 0 · 5 0 · 13 0 = 4
2	0	0	1	2 2 · 3 0 · 5 0 · 13 1 = 52
2	0	1	0	2 2 · 3 0 · 5 1 · 13 0 = 20
2	0	1	1	2 2 · 3 0 · 5 1 · 13 1 = 260
2	0	2	0	2 2 · 3 0 · 5 2 · 13 0 = 100
2	1	0	1	2 2 · 3 0 · 5 2 · 13 1 = 1300
2	1	0	0	2 2 · 3 1 · 5 0 · 13 0 = 12
2	1	0	1	2 2 · 3 1 · 5 0 · 13 1 = 156
2	1	1	0	2 2 · 3 1 · 5 1 · 13 0 = 60
2	1	1	1	2 2 · 3 1 · 5 1 · 13 1 = 780
2	1	2	0	2 2 · 3 1 · 5 2 · 13 0 = 300
2	1	2	1	2 2 · 3 1 · 5 2 · 13 1 = 3900

Ответ: делителями числа 3 900 будут: 195 , 260 , 300 , 325 , 390 , 650 , 780 , 975 , 75 , 78 , 100 , 130 , 150 , 156 , 13 , 15 , 20 , 25 , 26 , 30 , 39 , 50 , 52 , 60 , 65 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 10 , 12 , 1 300 , 1 950 , 3 900

Как определить количество делителей конкретного числа

Чтобы узнать, сколько положительных делителей у конкретного числа a, каноническое разложение которого выглядит как a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n , нужно найти значение выражения ( s 1 + 1 ) · ( s 2 + 1 ) · … · ( s n + 1 ) . О количестве наборов переменных t 1 , t 2 , … , t n мы можем судить по величине записанного выражения.

Покажем на примере, как это вычисляется. Определим, сколько будет натуральных делителей у числа 3 900 , которое мы использовали в предыдущей задаче. Каноническое разложение мы уже записывали: 3 900 = 2 2 · 3 · 5 2 · 13 . Значит, s 1 = 2 , s 2 = 1 , s 3 = 2 , s 4 = 1 . Теперь подставим значения s 1 , s 2 , s 3 и s 4 в выражение ( s 1 + 1 ) · ( s 2 + 1 ) · ( s 3 + 1 ) · ( s 4 + 1 ) и вычислим его значение. Имеем ( 2 + 1 ) · ( 1 + 1 ) · ( 2 + 1 ) · ( 1 + 1 ) = 3 · 2 · 3 · 2 = 36 . Значит, это число имеет всего 36 делителей, являющихся натуральными числами. Пересчитаем то количество, что у нас получилось в предыдущей задаче, и убедимся в правильности решения. Если учесть и отрицательные делители, которых столько же, сколько и положительных, то получится, что у данного числа всего будет 72 делителя.

Условие: определите, сколько делителей имеет 84 .

Решение

Раскладываем число на множители.

84 42 21 7 1 2 2 3 7

Записываем каноническое разложение: 84 = 2 2 · 3 · 7 . Определяем, сколько у нас получится положительных делителей: ( 2 + 1 ) · ( 1 + 1 ) · ( 1 + 1 ) = 12 . Для учета отрицательных нужно умножить это число на 2 : 2 · 12 = 24 .

Ответ: всего у 84 будет 24 делителя – 12 положительных и 12 отрицательных.

Как вычислить общие делители нескольких чисел

Зная свойства наибольшего общего делителя, можно утверждать, что количество делителей некоторого набора целых чисел будет совпадать с количеством делителей НОД тех же чисел. Это будет справедливо не только для двух чисел, но и для большего их количества. Следовательно, чтобы вычислить все общие делители нескольких чисел, надо определить их наибольший общий множитель и найти все его делители.

Разберем пару таких задач.

Условие: сколько будет натуральных общих делителей у чисел 140 и 50 ? Вычислите их все.

Решение

Начнем с вычисления НОД ( 140 , 50 ) .

Для этого нам потребуется алгоритм Евклида:

140 = 50 · 2 + 40 , 50 = 40 · 1 + 10 , 40 = 10 · 4 , значит, НОД ( 50 , 140 ) = 10 .

Далее выясним, сколько положительных делителей есть у десяти. Разложим его на простые множители и получим 2 0 · 5 0 = 1 , 2 0 · 5 1 = 5 , 2 1 · 5 0 = 2 и 2 1 · 5 1 = 1 0 . Значит, все натуральные общие делители исходного числа – это 1 , 2 , 5 и 10 , а всего их четыре.

Ответ: данные числа имеют четыре натуральных делителя, равные 10 , 5 , 2 и 1 .

Условие: выясните, сколько общих положительных делителей есть у чисел 585 , 315 , 90 и 45 .

Решение

Вычислим их наибольший общий делитель, разложив число на простые множители. Поскольку 90 = 2 · 3 · 3 · 5 , 45 = 3 · 3 · 5 , 315 = 3 · 3 · 5 · 7 и 585 = 3 · 3 · 5 · 13 , то таким делителем будет 5 : НОД ( 90 , 45 , 315 , 585 ) = 3 · 3 · 5 = 3 2 · 5 .

Чтобы узнать количество этих чисел, нужно выяснить, сколько положительных делителей имеет НОД.

Сумма делителей числа формула

Как найти все делители числа

Если речь идет о простом числе, то его можно разделить только на единицу и на само себя. Значит, у любого простого числа a есть всего 4 делителя, два из которых больше 0 и два меньше: 1 , – 1 , a , – a . Возьмем простое число 7 : у него есть делители 7 , – 7 , 1 и – 1 , и все. Еще один пример: 367 – тоже простое число, которое можно разделить лишь на 1 , – 1 , 367 и – 367 .

Для этого нужно выполнить следующие действия:

Выполнить каноническое разложение на простые множители и получить выражение вида a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n .
Найти все значения d = p 1 t 2 · p 2 t 2 · … · p n t n , где числа t 1 , t 2 , … , t n будут принимать независимо друг от друга каждое из значений t 1 = 0 , 1 , … , s 1 , t 2 = 0 , 1 , … , s 2 , … , t n = 0 , 1 , … , s n .

Условие: найти все делители 8 .

Решение

Для нахождения делителей удобно все полученные значения оформлять в виде таблицы:

t 1	2 t 1
2 0 = 1
1	2 1 = 2
2	2 2 = 4
3	2 3 = 8

Значит, положительными делителями восьмерки будут числа 1 , 2 , 4 и 8 , а отрицательными − 1 , − 2 , − 4 и − 8 .

Ответ: делителями данного числа будут ± 1 , ± 2 , ± 4 , ± 8 .

Возьмем пример чуть сложнее: в нем при разложении числа получится не один, а два множителя.

Условие: найдите все делители числа 567 , являющиеся натуральными числами.

Решение

Начнем с разложения данного числа на простые множители.

567 189 63 21 7 1 3 3 3 3 7

t 1	t 2	3 t 1 · 7 t 2
3 0 · 7 0 = 1
1	3 0 · 7 1 = 7
1	3 1 · 7 0 = 3
1	1	3 1 · 7 1 = 21
2	3 2 · 7 0 = 9
2	1	3 2 · 7 1 = 63
3	3 3 · 7 0 = 27
3	1	3 3 · 7 1 = 189
4	3 4 · 7 0 = 81
4	1	3 4 · 7 1 = 567

Ответ: натуральными делителями 567 будут числа 27 , 63 , 81 , 189 , 1 , 3 , 7 , 9 , 21 и 567 .

Продолжим усложнять наши примеры – возьмем четырехзначное число.

Условие: найти все делители 3 900 , которые будут больше 0 .

Решение

t 1	t 2	t 3	t 4	2 t 1 · 3 t 2 · 5 t 3 · 13 t 4
2 0 · 3 0 · 5 0 · 13 0 = 1
1	2 0 · 3 0 · 5 0 · 13 1 = 13
1	2 0 · 3 0 · 5 1 · 13 0 = 5
1	1	2 0 · 3 0 · 5 1 · 13 1 = 65
2	2 0 · 3 0 · 5 2 · 13 0 = 25
2	1	2 0 · 3 0 · 5 2 · 13 1 = 325
1	2 0 · 3 1 · 5 0 · 13 0 = 3
1	1	2 0 · 3 1 · 5 0 · 13 1 = 39
1	1	2 0 · 3 1 · 5 1 · 13 0 = 15
1	1	1	2 0 · 3 1 · 5 1 · 13 1 = 195
1	2	2 0 · 3 1 · 5 2 · 13 0 = 75
1	2	1	2 0 · 3 1 · 5 2 · 13 1 = 975

t 1	t 2	t 3	t 4	2 t 1 · 3 t 2 · 5 t 3 · 13 t 4
1	2 1 · 3 0 · 5 0 · 13 0 = 2
1	1	2 1 · 3 0 · 5 0 · 13 1 = 26
1	1	2 1 · 3 0 · 5 1 · 13 0 = 10
1	1	1	2 1 · 3 0 · 5 1 · 13 1 = 130
1	2	2 1 · 3 0 · 5 2 · 13 0 = 50
1	2	1	2 1 · 3 0 · 5 2 · 13 1 = 650
1	1	2 1 · 3 1 · 5 0 · 13 0 = 6
1	1	1	2 1 · 3 1 · 5 0 · 13 1 = 78
1	1	1	2 1 · 3 1 · 5 1 · 13 0 = 30
1	1	1	1	2 1 · 3 1 · 5 1 · 13 1 = 390
1	1	2	2 1 · 3 1 · 5 2 · 13 0 = 150
1	1	2	1	2 1 · 3 1 · 5 2 · 13 1 = 1950

t 1	t 2	t 3	t 4	2 t 1 · 3 t 2 · 5 t 3 · 13 t 4
2	2 2 · 3 0 · 5 0 · 13 0 = 4
2	1	2 2 · 3 0 · 5 0 · 13 1 = 52
2	1	2 2 · 3 0 · 5 1 · 13 0 = 20
2	1	1	2 2 · 3 0 · 5 1 · 13 1 = 260
2	2	2 2 · 3 0 · 5 2 · 13 0 = 100
2	1	1	2 2 · 3 0 · 5 2 · 13 1 = 1300
2	1	2 2 · 3 1 · 5 0 · 13 0 = 12
2	1	1	2 2 · 3 1 · 5 0 · 13 1 = 156
2	1	1	2 2 · 3 1 · 5 1 · 13 0 = 60
2	1	1	1	2 2 · 3 1 · 5 1 · 13 1 = 780
2	1	2	2 2 · 3 1 · 5 2 · 13 0 = 300
2	1	2	1	2 2 · 3 1 · 5 2 · 13 1 = 3900

Как определить количество делителей конкретного числа

Условие: определите, сколько делителей имеет 84 .

Решение

Раскладываем число на множители.

84 42 21 7 1 2 2 3 7

Ответ: всего у 84 будет 24 делителя – 12 положительных и 12 отрицательных.

Как вычислить общие делители нескольких чисел

Разберем пару таких задач.

Условие: сколько будет натуральных общих делителей у чисел 140 и 50 ? Вычислите их все.

Решение

Начнем с вычисления НОД ( 140 , 50 ) .

Для этого нам потребуется алгоритм Евклида:

140 = 50 · 2 + 40 , 50 = 40 · 1 + 10 , 40 = 10 · 4 , значит, НОД ( 50 , 140 ) = 10 .

Ответ: данные числа имеют четыре натуральных делителя, равные 10 , 5 , 2 и 1 .

Условие: выясните, сколько общих положительных делителей есть у чисел 585 , 315 , 90 и 45 .

Решение

Чтобы узнать количество этих чисел, нужно выяснить, сколько положительных делителей имеет НОД.

НОД ( 90 , 45 , 315 , 585 ) = 3 2 · 5 : ( 2 + 1 ) · ( 1 + 1 ) = 6 .

Ответ: у данных чисел шесть общих делителей.

Пусть или –сумма всех натуральных делителей натурального числа имеющего каноническое разложение (1).

Легко понять, что

так как слагаемые произведения совпадают с делителями числа .

Суммируя каждый сомножитель по формуле для суммы членов геометрической прогрессии, получаем

Если в каноническом разложении числа прибавить сомножитель , взаимно простой с остальными, то в правой части (1) появится дополнительный сомножитель, а в правой части (2) –сомножитель –, равный сумме делителей числа .

Вообще для взаимно простых и

откуда видно, что функция мультипликативная.

Совершенные числа. Специальные простые числа

Определение совершенных и дружественных чисел

Делители числа (имеются в виду натуральные делители), за исключением самого числа, называются его собственными делителями; их сумма равна .

Если для двух чисел сумма собственных делителей каждого из них равна другому, то такие числа называются дружественными; для них

Натуральное число называется совершенным, если оно равно сумме своих собственных делителей (или если оно дружественно самому себе), т. е. удовлетворяет условию

Определение совершенных и дружественных чисел имеются уже в «Началах» Евклида, они упоминаются и Платоном. Греки видели в них некую совершенную гармонию и приписывали им мистический характер.

Древним грекам была известна пара дружественных чисел и и четыре совершенных числа: .

Функция делителей — арифметическая функция, связанная с делителями целого числа. Функция известна также под именем функция дивизоров. Применяется, в частности, при исследовании связи дзета-функции Римана и рядов Эйзенштейна для модулярных форм. Изучалась Рамануджаном, который вывел ряд важных равенств в модульной арифметике и арифметических тождеств.

С этой функцией тесно связана суммирующая функция делителей, которая, как следует из названия, является суммой функции делителей.

Содержание

Определение [ править | править код ]

Функция «сумма положительных делителей »σ_x(n) для вещественного или комплексного числа x определяется как сумма x-х степеней положительных делителей числа n. Функцию можно выразить формулой

σ x ( n ) = ∑ d | n d x , <displaystyle sigma _ (n)=sum _d^ . >

где d | n <displaystyle > означает «d делит n». Обозначения d(n), ν(n) и τ(n) (от немецкого Teiler = делитель) используются также для обозначения σ (n), или функции числа делителей [1] [2] . Если x равен 1, функция называется сигма-функцией или суммой делителей [3] , и индекс часто опускается, так что σ(n) эквивалентна σ₁(n) [4] .

Аликвотная сумма s(n) для n — это сумма собственных делителей (то есть делители, за исключением самого n [5] , и равна σ₁(n) − n. Аликвотная последовательность для n образуется последовательным вычислением аликвотной суммы, то есть каждое последующее значение в последовательности равно аликвотной сумме предыдущего значения.

Примеры [ править | править код ]

Например, σ (12) — количество делителей числа 12:

в то время как σ₁(12) — сумма всех делителей:

и аликвотная сумма s(12) собственных делителей равна:

Таблица значений [ править | править код ]

n	Делители	σ (n)	σ₁(n)	s(n) = σ₁(n) − n	Комментарии
1	1	1	1	квадрат: значение σ (n) нечётно; степень 2: s(n) = n − 1 (почти совершенное)
2	1,2	2	3	1	простое: σ₁(n) = 1+n, так что s(n) =1
3	1,3	2	4	1	простое: σ₁(n) = 1+n, так что s(n) =1
4	1,2,4	3	7	3	квадрат: σ (n) нечётно; степень 2: s(n) = n − 1 (почти совершенное)
5	1,5	2	6	1	простое: σ₁(n) = 1+n, так что s(n) =1
6	1,2,3,6	4	12	6	первое совершенное число: s(n) = n
7	1,7	2	8	1	простое: σ₁(n) = 1+n, так что s(n) =1
8	1,2,4,8	4	15	7	степень 2: s(n) = n − 1 (почти совершенное)
9	1,3,9	3	13	4	квадрат: σ (n) нечётно
10	1,2,5,10	4	18	8
11	1,11	2	12	1	простое: σ₁(n) = 1+n, так что s(n) =1
12	1,2,3,4,6,12	6	28	16	первое избыточное число: s(n) > n
13	1,13	2	14	1	простое: σ₁(n) = 1+n, так что s(n) =1
14	1,2,7,14	4	24	10
15	1,3,5,15	4	24	9
16	1,2,4,8,16	5	31	15	квадрат: σ (n) нечётно; степень 2: s(n) = n − 1 (почти совершенное)

Случаи x = 2 <displaystyle x=2> , x = 3 <displaystyle x=3> и так далее входят в последовательности

Свойства [ править | править код ]

Для целых, не являющихся квадратами, каждый делитель d числа n имеет парный делитель n/d, а значит, σ 0 ( n ) <displaystyle sigma _<0>(n)> всегда чётно для таких чисел. Для квадратов один делитель, а именно n <displaystyle <sqrt >> , не имеет пары, так что для них σ 0 ( n ) <displaystyle sigma _<0>(n)> всегда нечетно.

поскольку, по определению, простое число делится только на единицу и самого себя. Если p_n# означает праймориал, то

σ 0 ( p n # ) = 2 n <displaystyle sigma _<0>(p_ #)=2^ >

Ясно, что 1 σ 0 ( n ) n <displaystyle 1 и n>"> σ ( n ) > n <displaystyle sigma (n)>n> n"/> для всех 2>"> n > 2 <displaystyle n>2> 2"/> .

Если мы запишем

n = ∏ i = 1 r p i a i <displaystyle n=prod _^ p_^>> ,

где r = ω(n) — число простых делителей числа n, p_i — i-й простой делитель, а a_i — максимальная степень p_i, на которую делится n, то

σ x ( n ) = ∏ i = 1 r p i ( a i + 1 ) x − 1 p i x − 1 <displaystyle sigma _ (n)=prod _^ <frac ^<(a_+1)x>-1>^ -1>>> ,

σ x ( n ) = ∏ i = 1 r ∑ j = 0 a i p i j x = ∏ i = 1 r ( 1 + p i x + p i 2 x + ⋯ + p i a i x ) . <displaystyle sigma _ (n)=prod _^ sum _^>p_^ =prod _^ (1+p_^ +p_^<2x>+cdots +p_^x>).>

Если положить x = 0, получим, что d(n) равно:

σ 0 ( n ) = ∏ i = 1 r ( a i + 1 ) . <displaystyle sigma _<0>(n)=prod _^ (a_+1).>

Например, число n = 24 имеет два простых множителя — p₁ = 2 и p₂ = 3. Поскольку 24 — это произведение 2 3 ×3 1 , то a₁ = 3 и a₂ = 1.

Теперь мы можем вычислить σ 0 ( 24 ) <displaystyle sigma _<0>(24)> :

Восемь делителей числа 24 — это 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, и 24.

Заметим также, что s(n) = σ(n) − n. Здесь s(n) обозначает сумму собственных делителей числа n, то есть делителей, за исключением самого числа n. Эта функция используется для определения совершенности числа — для них s(n) = n. Если s(n) > n, n называется избыточным, а если s(n) n = 2 k <displaystyle n=2^ > , то σ ( n ) = 2 × 2 k − 1 = 2 n − 1 , <displaystyle sigma (n)=2 imes 2^ -1=2n-1,> и s(n) = n — 1, что делает n почти совершенным.

Как пример, для двух простых p и q (где p n = p q . <displaystyle n=pq.>

σ ( n ) = ( p + 1 ) ( q + 1 ) = n + 1 + ( p + q ) , <displaystyle sigma (n)=(p+1)(q+1)=n+1+(p+q),> ϕ ( n ) = ( p − 1 ) ( q − 1 ) = n + 1 − ( p + q ) , <displaystyle phi (n)=(p-1)(q-1)=n+1-(p+q),>

n + 1 = ( σ ( n ) + ϕ ( n ) ) / 2 , <displaystyle n+1=(sigma (n)+phi (n))/2,> p + q = ( σ ( n ) − ϕ ( n ) ) / 2 , <displaystyle p+q=(sigma (n)-phi (n))/2,>

Тогда корни p и q уравнения:

( x − p ) ( x − q ) = x 2 − ( p + q ) x + n = x 2 − [ ( σ ( n ) − ϕ ( n ) ) / 2 ] x + [ ( σ ( n ) + ϕ ( n ) ) / 2 − 1 ] = 0 <displaystyle (x-p)(x-q)=x^<2>-(p+q)x+n=x^<2>-[(sigma (n)-phi (n))/2]x+[(sigma (n)+phi (n))/2-1]=0>

p = ( σ ( n ) − ϕ ( n ) ) / 4 − [ ( σ ( n ) − ϕ ( n ) ) / 4 ] 2 − [ ( σ ( n ) + ϕ ( n ) ) / 2 − 1 ] , <displaystyle p=(sigma (n)-phi (n))/4-<sqrt <[(sigma (n)-phi (n))/4]^<2>-[(sigma (n)+phi (n))/2-1]>>,> q = ( σ ( n ) − ϕ ( n ) ) / 4 + [ ( σ ( n ) − ϕ ( n ) ) / 4 ] 2 − [ ( σ ( n ) + ϕ ( n ) ) / 2 − 1 ] . <displaystyle q=(sigma (n)-phi (n))/4+<sqrt <[(sigma (n)-phi (n))/4]^<2>-[(sigma (n)+phi (n))/2-1]>>.>

Зная n и либо σ(n), либо φ(n) (или зная p+q и либо σ(n), либо φ(n)) мы легко можем найти p и q.

В 1984 году Хиз-Браун (Roger Heath-Brown) доказал, что

σ 0 ( n ) = σ 0 ( n + 1 ) <displaystyle sigma _<0>(n)=sigma _<0>(n+1)>

встречается бесконечно много раз.

Связь с рядами [ править | править код ]

Два ряда Дирихле, использующие функцию делителей:

∑ n = 1 ∞ σ a ( n ) n s = ζ ( s ) ζ ( s − a ) , <displaystyle sum _^<infty ><frac <sigma _(n)>~~>>=zeta (s)zeta (s-a),>~~

∑ n = 1 ∞ d ( n ) n s = ζ 2 ( s ) , <displaystyle sum _^<infty ><frac ~~>>=zeta ^<2>(s),>~~

∑ n = 1 ∞ σ a ( n ) σ b ( n ) n s = ζ ( s ) ζ ( s − a ) ζ ( s − b ) ζ ( s − a − b ) ζ ( 2 s − a − b ) . <displaystyle sum _^<infty ><frac <sigma _(n)sigma _(n)>~~>>=<frac <zeta (s)zeta (s-a)zeta (s-b)zeta (s-a-b)><zeta (2s-a-b)>>.>~~

Ряд Ламбера, использующий функцию делителей:

∑ n = 1 ∞ q n σ a ( n ) = ∑ n = 1 ∞ n a q n 1 − q n <displaystyle sum _^<infty >q^ sigma _(n)=sum _^<infty ><frac ><1-q^ >>>

Эта сумма появляется также в рядах Фурье для рядов Эйзенштейна и в инвариантах эллиптических функций Вейерштрасса.

Асимптотическая скорость роста [ править | править код ]

В терминах о-малое функция делителей удовлетворяет неравенству (см. стр. 296 книги Апостола [6] )

для всех 0,quad d(n)=o(n^<epsilon >).>"> ϵ > 0 , d ( n ) = o ( n ϵ ) . <displaystyle epsilon >0,quad d(n)=o(n^<epsilon >).> 0,quad d(n)=o(n^<epsilon >)."/>

Северин Вигерт дал более точную оценку

lim sup n → ∞ log ⁡ d ( n ) log ⁡ n / log ⁡ log ⁡ n = log ⁡ 2. <displaystyle limsup _<frac <log d(n)><log n/log log n>>=log 2.>

lim inf n → ∞ d ( n ) = 2. <displaystyle liminf _d(n)=2.>

В терминах О-большое, Дирихле показал, что средний порядок функции делителей удовлетворяет следующему неравенству (см. теорему 3.3 книги Апостола)

для всех x ≥ 1 , ∑ n ≤ x d ( n ) = x log ⁡ x + ( 2 γ − 1 ) x + O ( x ) , <displaystyle xgeq 1,sum _d(n)=xlog x+(2gamma -1)x+O(<sqrt >),>

где γ <displaystyle gamma > — постоянная Эйлера — Маскерони.

Задача улучшить границу O ( x ) <displaystyle O(<sqrt >)> в этой формуле — это проблема Дирихле о делителях

Поведение сигма функции неравномерно. Асимптотическую скорость роста сигма функции можно выразить формулой:

lim sup n → ∞ σ ( n ) n log ⁡ log ⁡ n = e γ , <displaystyle limsup _<frac <sigma (n)>>=e^<gamma >,>

где lim sup — верхний предел. Этот результат является теоремой Грёнвалла (Grönwall), опубликованной в 1913 году [7] . Его доказательство использует третью теорему Мертенса, которая утверждает, что

lim n → ∞ 1 log ⁡ n ∏ p ≤ n p p − 1 = e γ , <displaystyle lim _<frac <1><log n>>prod _<frac

В 1915 году Рамануджан доказал, что при выполнении гипотезы Римана неравенство

σ ( n ) e γ n log ⁡ log ⁡ n <displaystyle sigma (n) (неравенство Робина)

выполняется для всех достаточно больших n [8] . В 1984 году Гай Робин доказал, что неравенство верно для всех n ≥ 5041 в том и только в том случае, если гипотеза Римана верна [9] . Это теорема Робина и неравенство стало широко известно после доказательства теоремы. Наибольшее известное число, нарушающее неравенство — это n=5040. Если гипотеза Римана верна, то нет чисел, больших этого и нарушающих неравенство. Робин показал, что в случае ошибочности гипотезы существует бесконечно много чисел n, нарушающих неравенство, и известно, что наименьшее из таких чисел n ≥ 5041 должно быть сверхизбыточным числом [10] . Было показано, что неравенство выполняется для больших нечётных свободных от квадратов чисел, и что гипотеза Римана эквивалентна выполнению неравенства для всех чисел n, делящихся на пятую степень простого числа [11]

Джефри Лагариас (Jeffrey Lagarias) в 2002 году доказал, что гипотеза Римана эквивалентна утверждению

σ ( n ) ≤ H n + ln ⁡ ( H n ) e H n <displaystyle sigma (n)leq H_ +ln(H_ )e^ >>

для любого натурального n, где H n <displaystyle H_ > — n-е гармоническое число [12] .

Робин доказал, что неравенство

σ ( n ) e γ n log ⁡ log ⁡ n + 0.6483 n log ⁡ log ⁡ n <displaystyle sigma (n)

Формула для суммы делителей данного числа

Пусть или —сумма всех натуральных делителей натурального числа имеющего каноническое разложение (1).

Легко понять, что

так как слагаемые произведения совпадают с делителями числа .

Суммируя каждый сомножитель по формуле для суммы членов геометрической прогрессии, получаем

Если в каноническом разложении числа прибавить сомножитель , взаимно простой с остальными, то в правой части (1) появится дополнительный сомножитель, а в правой части (2) —сомножитель —, равный сумме делителей числа .