Как найти ядро оператора

Ядро и образ линейного оператора

Пусть линейный оператор , действует из пространства в себя и пусть в линейном пространстве выбраны два базиса: и Разложим “новые” базисные вектора в линейные комбинации “старых” базисных векторов :

Стоящая здесь матрица м столбцом которой является координатный столбец го базисного вектора в “старом” базисе называется матрицей перехода от “старого”базиса к “новому“. Если теперь координаты вектора в “старом” базисе а координаты того же вектора в “новом” базисе то имеет место равенство

Так как разложение по базису единственно, то отсюда следует, что

Получен следующий результат.

Теорема 1.Координаты вектора в базисе и координаты того же вектора в базисе связаны соотношениями (2), где матрица перехода от “старого”базиса к “новому“ .

Посмотрим теперь, как связаны между собой матрицы и одного и того же оператора в различных базисах и пространства Матрицы и определяются равенствами Пусть Это равенство в базисе равносильно матричному равенству

а в базисе матричному равенству ( здесь приняты те же обозначения, что и в (1)). Используя теорему (1), будем иметь

так как столбец произвольный, то отсюда получаем равенство

Доказан следующий результат.

Теорема 2.Если матрица оператора в базисе а матрица того же оператора в базисе то

Замечание 1.Две произвольные матрицы и связанные соотношением где некоторая невырожденная матрица называются подобными матрицами. Таким образом, две матрицы одного и того же оператора в различных базисах подобны.

Пример 1.Матрица оператора в базисе имеет вид

Найти матрицу этого оператора в базисе Вычислить координаты вектора в базисе

Решение. Матрица перехода от старого базиса к новому и обратная к ней матрица имеют вид

поэтому по теореме 2 матрица оператора и новом базисе будет такой:

Далее, вектор имеет следующий координатный столбец в базисе По теореме 1 координатный столбец этого вектора в базисе будет иметь вид

Замечание 2. Можно обобщить этот результат на операторы, действующие из одного линейного пространства в другое. Пусть оператор действует из линейного пространства в другое линейное пространство и пусть в пространстве выбраны два базиса: и а в пространстве – два базиса и Тогда можно составить две матрицы и линейного оператора

и две матрицы и перехода от “старых” базисов к “новым”:

Нетрудно показать, что в этом случае имеет место равенство

Пусть дан линейный оператор действующий из линейного пространства в линейное пространство Следующие понятия бывают полезными при решении линейных уравнений.

Определение 1. Ядром оператора называется множество

Образом оператора называется множество

Нетрудно доказать следующее утверждение.

Теорема 3.Ядро и образ линейного оператора являются линейными подпространствами пространств и соответственно, причем имеет место равенство

Для вычисления ядра оператора надо записать уравнение в матричной форме (выбрав базисы в пространствах и соответственно) и решить соответствующую алгебраическую систему уравнений. Поясним теперь, как можно вычислить образ оператора .

Пусть матрица оператора в в базисах и Обозначим через -й столбец матрицы Принадлежность вектора образу означает, что существуют числа такие, что вектор столбец представляется в виде т.е. является элементом пространства линейных комбинаций столбцов матрицы Выбрав в этом пространстве базис (например, максимальную совокупность линейно независимых столбцов матрицы ), вычислим сначала образ оператора-матрицы : а затем построим образ оператора :

Приведем пример вычисления ядра и образа оператора, действующего из пространства в себя. В этом случае базисы и совпадают.

Пример 2.Найти матрицу, ядро и образ оператора проектирования на плоскость ( трехмерное пространство геометрических векторов).

Решение.Выберем в пространстве какой-нибудь базис (например, стандартный базис ). В этом базисе матрица оператора проектирования находится из равенства Найдем образы базисных векторов. Так как плоскость проходит через ось то

Далее (см. Р10) И аналогично

Значит, матрица оператора имеет вид

Ядро оператора-матрицы вычисляем из уравнения

Образ оператора-матрицы натянут на все линейно независимые столбцы матрицы т.е.

Ядро оператора

$f\colon L_K\to M_K$

удовлетворяющее условию линейности

f(αx + βy) = αf(x) + βf(y) .

для всех $x,y\in L_K$ и $\alpha,\beta\in K$ .

Содержание

Важные частные случаи

Линейный функционал — линейный оператор, для которого M = K :
$f\colon L_K\to K$
Эндоморфизм — линейный оператор, для которого L = M :
$f\colon L_K\to L_K$
Тождественный оператор — оператор $x \mapsto x$ , отображающий каждый элемент пространства в себя.
Нулевой оператор — оператор, переводящий каждый элемент L_K в нулевой элемент M_K .
Сопряжённый оператор к оператору $A \in L(V)$ — оператор A * на V * , заданный соотношением (A * f,x): = (f,Ax) .
Эрмитов (самосопряжённый) оператор — оператор, совпадающий со своим сопряженным оператором. В случае евклидова пространства такой оператор называют еще симметричным.

Связанные понятия

$f\colon A\to B$

$\mbox<Ker>\,f = \< x\in A\mid f(x) = 0 \>» width=»» height=»» /></li> </ul> <ul> <li>Образом линейного отображения f называется следующее подмножество B : <img decoding=$

билинейным

$f\colon A_1\times\dots\times A_n \to B$

полилинейным

Оператор $\tilde L$ называется линейным неоднородным, если он имеет вид $\tilde L = L + v$

Примеры

Примеры линейных однородных операторов:

оператор дифференцирования: $L\<x(\cdot)\>=y(t)=\frac<dx(t)> <dt>» width=»» height=»» />;</li> <li>оператор интегрирования: <img decoding=$ ;
оператор умножения на определённую функцию $\varphi(t)\colon y(t)=\varphi(t)x(t)$ ;
оператор интегрирования с заданным «весом» $\varphi(t)\colon y(t)=\int\limits_0^t\!x(\tau)<\varphi>(\tau)\,d\tau» width=»» height=»» /></li> <li>оператор взятия значения функции f в конкретной точке x0 : L<f> = f(x0) ;</li> <li>оператор умножения вектора на матрицу: b = Ax .</li> </ul> Примеры линейных неоднородных операторов: <ul> <li>Любое аффинное преобразование;</li> <li><img decoding=$ ;
$y(t)=\varphi_1(t)x(t)+\varphi_2(t)$ ;

где $\varphi(t)$ , $\varphi_1(t)$ , $\varphi_2(t)$ — вполне определённые функции, а x(t) — преобразуемая оператором функция.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое «Ядро оператора» в других словарях:

Ядро (значения) — Ядро нечто центральное и самое важное, часто круглое. Это слово имеет различные значения в разных областях: Содержание 1 Ядерная физика 2 Биология 3 Науки о Земле 4 Спорт … Википедия

Ядро — Содержание 1 Ядерная физика 2 Биология 3 Науки о Земле … Википедия

ЯДРО — линейного оператора линейное подпространство области определения линейного оператора, состоящее из всех векторов, к рые отображаются этим оператором в нуль. Я. линейного непрерывного оператора, определенного на нек ром топологическом векторном… … Математическая энциклопедия

Ядро интегрального уравнения — Ядром интегрального оператора называется функция двух аргументов , определяющая некий интегральный оператор равенством где пространство с мерой , а принадлежит некоторому … Википедия

Ядро (матем.) — Интегральное уравнение функциональное уравнение, содержащее интегральное преобразование над неизвестной функцией. Если интегральное уравнение содержит также производные от неизвестной функции, то говорят об интегро дифференциальном уравнении.… … Википедия

ЯДРО — интегрального оператора функция двух аргументов К( х, у), определяющая интегральный оператор . равенством где хпробегает пространство . с мерой а принадлежит нек рому пространству функций, определенных на X. Г. Л. Литвинов … Математическая энциклопедия

ВЫРОЖДЕННОЕ ЯДРО — ядро линейного интегрального Фредгольма оператора, имеющее вид где Ри Q точки евклидовых пространств. А. Б. Бакушинский … Математическая энциклопедия

ИТЕРИРОВАННОЕ ЯДРО — функция ( х, s) К п( х, s), к рая образуется из данного ядра Кинтегрального оператора по рекуррентным соотношениям: К п наз. n й итерацией, или n м итерированным ядром, ядра K. И. я. иногда наз. повторным ядром. Если ядро Кнепрерывно или… … Математическая энциклопедия

ДЕФИНИТНОЕ ЯДРО — определенное ядро, ядро К( Р, Q )линейного интегрального Фредголъма оператора, удовлетворяющее соотношению где Р, Q точки евклидова пространства, j произвольная суммируемая с квадратом функция, j комплексно сопряженная функция. В зависимости от… … Математическая энциклопедия

ВОЛЬТЕРРА ЯДРО — функция (матрица функция) К(s, t).двух действительных переменных s, t такая, что или при или при Если такая функция является ядром линейного интегрального оператора, действующего в пространстве и сама квадратично суммируема в треугольнике, в к… … Математическая энциклопедия

Как найти базис ядра

Дано четырехмерное пространство (как я понимаю, в нём находится базис, состоящий из четырех векторов). Нужно найти матрицу оператора в четырехмерном пространстве (получается, самим придумать и составить; как я понимаю, она будет состоять из 4 строк и 4 столбцов?), причём размерность ядра Ker равно размерности образа Im и равно 2. Далее необходимо найти исходя из составленной матрицы базис ядра и образа.

Прошу помочь разобраться в этом задании. С этими линейными операторами, ядрами, образами прям совсем туго((

задан 10 Янв 20:35

Достаточно взять любую матрицу 4×4 ранга 2. Для этого пишем первые две строки наугад, чтобы они не были пропорциональными. Скажем, 1 0 -2 3 и 0 1 4 -1. В качестве третьей строки берём любые, которые выражаются через первые две. Можно брать значения a+b, 2a-b, 3a+2b и т.п.

Базис ядра — это базис в пространстве решений однородной системы. Решаем её методом Гаусса, находя два базисных вектора. В качестве базиса образа можно взять любые два столбца, которые не пропорциональны.

Все эти абстрактные понятия на самом деле легко освоить на конкретных примерах.

@falcao вы сделали вывод о том, что ранг матрицы будет равен 2 исходя из размерности образа? Всегда такое правило действует?

@Yu_Ko: здесь оба числа равны 2, поэтому разницы нет. А общее правило такое: если матрица имеет размер nxn и ранг r, то образ имеет размерность r, а размерность ядра равна n-r. Это более или менее очевидно — особенно для образа. Ведь он состоит из столбцов матрицы и всех их линейных комбинаций. А линейно независимых столбцов, дающих базис образа, будет в точности r. Сумма же размерностей образа и ядра равна размерности всего пространства, то есть n.

@falcao как же вы выручаете! Спасибо огромное! Благодаря вам всё прояснилось, чего не добьёшься от нынешних преподавателей в вузе(

@Yu_Ko: форму для того и существует, чтобы смысл разных понятий прояснять. Преподаватели так поступают не от хорошей жизни. Дело в том, что когда в короткий по времени курс надо уложить много разных методов решения задач (включая дифференциальные уравнения, или ряды Фурье), то там поневоле приходится ограничиваться изложением типовых "рецептов". Типа, капусты вот столько, а морковки в 3 раза меньше �� Тут как бы уже не до кулинарных "изысков" ��

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора.

Речь пойдёт о построении базисов в ядре и образе линейного оператора.

Будут рассмотрены два примера: первый пример с пояснениями; вто-

рой как образец оформления. Значок будет указывать на утверждения, требующие доказательств. Рекомендуется рассматривать эти утверждения как хорошие теоретические задачи для самостоятельного решения. Полный список теоретических задач приведён в конце.

Пусть L векторное пространство, A линейный оператор в L. Ядро (=нуль-пространство) линейного оператора полный прооб-

раз множества <0>, т. е. множество всех векторов, которые переводятся линейным оператором в 0:

Образ (=множество значений) линейного оператора множество всех векторов, у которых есть прообразы относительно A:

Ядро и образ линейного оператора являются подпространствами . Например, если L координатная плоскость (двумерное векторное

пространство с базисом e 1 , e 2 ) и оператор A проектирует радиус-векторы на ось абсцисс (=на линейную оболочку вектора e 1 ) параллельно оси ординат (=параллельно линейной оболочке вектора e 2 ), то ker A ось ординат (линейная оболочка вектора e 2 ), im A ось абсцисс (линейная оболочка вектора e 1 ):

ker A = `(e 2 ), im A = `(e 1 ).

Рассмотрим на примере, как находить базисы ядра и образа линейного оператора, заданного матрицей в некотором базисе.

Пример 1. Дана матрица линейного оператора A в базисе e = (e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ):