Как найти центр окружности по трем точкам

Как найти центр окружности по трем точкам

Paul Bourke

Перевод Кантора И.А.

Пусть даны три точки P₁, P₂,P₃ плоскости.

Проведем через пары точек две прямые. Первая линия пусть проходит через P₁ и P₂, а прямая b — через P₂ и P₃.
Уравнения этих прямых будут

где m — коэффициент наклона линии, получаемый из

Центр круга — находится на пересечении двух перпендикулярных прямых, проходящих через середины отрезков P₁P₂ и P₂ P₃. Легко доказать, что прямая, перпендикулярная к линии с коэффициентом наклона m имеет коэффициент наклона -1/m, значит уравнения прямых, перпендикулярных a и b и проходящих через середины P₁P₂ и P₂P₃ будут

Они пересекаются в центре, и решение относительно x дает

Значение у вычислим подстановкой x в уравнение одного из перпендикуляров. Можно и наоборот: сначала решить относительно y, а потом найти x.

Радиус найти элементарно. Например, точка P₁ лежит на окружности. и мы знаем центр..

Знаменатель (mb — ma) равен нулю, когда прямые параллельны. В этом случае они совпадают, то есть круга не существует.

Как найти центр окружности?

Набросал вот рисунок от руки приблизительный. Еще можно несколькими способами найти центр, но лень мне геометрию вспоминать, старый я и ленивый. Как-то там с треугольниками можно найти, с углами тоже. В общем, способов масса.

Способ решения этой задачи — столь же древний, как сам мир. Я не искал подтверждений этой древности в сети, ибо это просто, и построил сам. Решается лишь с помощью циркуля и линейки (можно без делений — прямой палочки). Построения с циркулем — всегда самые точные.

1) Ставим ножку циркуля в произвольной точке исследуемой окружности (далее — окружность 0). — Точка Е на Рис.1.

Рис.1. Нахождение равноудаленных от Е точек А и В

Проводим окружность или дугу (малиновый цвет) произвольного радиуса так, чтобы она пересекла окружность 0 в двух точках (А и В). Эти точки равноудалены от Е.

2) Также радиусом большим, чем радиус 0 из точек А и В проводим две одинаковые окружности или дуги (синий цвет), чтобы они пересеклись друг с другом. Получаем точки C и D. Эти точки уже будут лежать на диаметре окружности 0 или на его продолжении. Соединив C и D прямой линией, получаем линию диаметра (красный цвет). На пересечении это прямой с окружностью 0 будут концевые точки диаметра (E и F). Собственно, точка Е — уже была у нас, в ней мы впервые поставили циркуль. Поэтому нужно было найти лишь диаметрально противоположную точку F. В результате построен первый диаметр с двумя равноудаленными от центра окружности 0 точками.

Далее требуется найти середину построенного диаметра EF, который и будет искомым центром окружности 0. Можно просто воспользоваться линейкой с делениями и найти середину. Но продолжим с циркулем. Это — собственно, уже простейшая задача нахождения середины отрезка с помощью циркуля.

3) Из точек E и F проводим две одинаковые окружности или дуги (зеленый цвет) — опять-таки с радиусом большим, чем радиус 0 — до пересечения друг с другом (точки G и H).

Рис.2. Построение второго диаметра и Центра О окружности

Соединив точки G и H отрезком получим линию второго диаметра. Пересечение двух диаметров: EF и GH, — точка О, и есть искомый центр центр окружности.

Уравнение окружности, проходящей через три заданные точки

Этот онлайн-калькулятор находит окружность, проходящую через три заданные точки. Калькулятор находит центр, радиус и уравнение окружности, и строит окружность на графике. Методы, использованные для нахождения центра и радиуса окружности, описаны ниже под калькулятором.

Уравнение окружности, проходящей через три заданные точки

Первая точка

Вторая точка

Третья точка

Центр

Как найти окружность, проходящюю через три заданные точки

Давайте вспомним как выглядит уравнение окружности в стандартной форме:

Так как все три точки принадлежат одной окружности, мы можем записать систему уравнений

Значения , и мы знаем. Давайте сделаем подстановку с неизвестными переменнами a, b и c.

Теперь у нас есть три линейных уравнения для трех неизвестных — составим систему уравнений соответствующую матричной форме:

Мы можем решить эту систему уравнений, используя, к примеру, Гауссово исключение. (подробнее прочитать об этом можно здесь — Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса ). "Нет решений" — означает, что точки коллинеарны и окружность через них провести нельзя.

Координаты центра окружность и ее радиус относится к подобному решению

Зная центр и радиус, мы можем получить уравнение окружности, используя этот калькулятор — Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах