Возведение матрицы в степень
Для возведения матрицы в степень 
, необходимо умножить матрицу 
саму на себя раз:
![\[A^{n}=\underbrace{A\cdot A\cdot \ldots \cdot A}_{n\ \text{}\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f8e9a94eac59ac420de34889c6dad5b5_l3.png)
При этом необходимо помнить, что в степень можно возвести только квадратную матрицу и показатель степени должен быть натуральным числом.
Для степеней матрицы справедливо следующее свойство
![\[A^{m}\cdot A^{k}=A^{m+k}\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-835846ab6bbfdea36f680e6c87a967b9_l3.png)
Примеры возведения матрицы в степень
![\[A=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 4 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ \end{matrix} \right)\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3b0d2c1b6ef60cdb30d17917cc3e5bdc_l3.png)
![\[\begin{matrix} A^{2}=A\cdot A=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 4 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ \end{matrix} \right)\cdot \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 4 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ \end{matrix} \right)= \\ =\left( \begin{matrix} 1\cdot 1+0\cdot 4+2\cdot 0 & 1\cdot 0+0\cdot \left( -2 \right)+2\cdot 1 & 1\cdot 2+0\cdot 3+2\cdot \left( -1 \right) \\ 4\cdot 1+\left( -2 \right)\cdot 4+3\cdot 0 & 4\cdot 0+\left( -2 \right)\cdot \left( -2 \right)+3\cdot 1 & 4\cdot 2+\left( -2 \right)\cdot 3+3\cdot \left( -1 \right) \\ 0\cdot 1+1\cdot 4+\left( -1 \right)\cdot 0 & 0\cdot 0+1\cdot \left( -2 \right)+\left( -1 \right)\cdot 1 & 0\cdot 2+1\cdot 3+\left( -1 \right)\cdot \left( -1 \right) \\ \end{matrix} \right)= \\ =\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ -4 & 7 & -1 \\ 4 & -3 & 4 \\ \end{matrix} \right). \\ \end{matrix}\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d2c870668498a980774cc35fdb0b36e0_l3.png)
Далее по свойству степеней 
, то есть
Возведение матрицы в степень
Формула возведения матрицы в степень работает только для квадратных матриц и натуральной степени:
Другими словами, для того, чтобы выполнить возведение матрицы в степень $ n $ нужно умножить её саму на себя $ n $ раз.
При возведении в степень матрицу удобно применять свойство: $$ A^
Примеры решений
a) Возведем сначала в степень $ n = 2 $. По формуле умножаем матрицу саму на себя $ n = 2 $ раза:
Выполняем умножение двух матриц обычным способом:
Итого, получили: $$ A^2 = \begin
b) Возвести в степень $ n = 4 $ можно аналогично перемножив матрицу $ A $ саму на себя 4 раза. Но это делать не удобно, потому что необходимо выполнить 4 операции умножения. Чтобы облегчить эту задачу используем свойство степени и того останется всего 1 операция умножения. А именно $ A^4 = A^2 \cdot A^2 $
Зная чему равна матрица $ A^2 $ из предыдущего пункта имеем:
$$ A^4 = A^2 \cdot A^2 = \begin
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Пользуемся свойством степеней:
Возводим сначала матрицу в квадрат:
Теперь используя свойство степени находим третью степень:
$$ A^3 = A^2 \cdot A = \begin
Как возвести матрицу в степень?
Иногда может возникнуть необходимость выполнить возведение матрицы в степень. В этой статье мы рассмотрим, каким образом и в каком порядке выполняется данная операция.
Если говорить простыми словами, то вся суть возведения матрицы в степень n заключается в том, чтобы умножить матрицу на саму себя, сделав это n-е число раз. Однако существует ряд условий:
— правило справедливо лишь для квадратных матриц, которые имеют одинаковое (равное) число строк и столбцов;
— показатель степени должен быть натуральным (2, 3, 4, 5, 6, 7…).
Квадрат матрицы
Для примера давайте возведем матрицу в квадрат (то есть во вторую степень). Представим, что у нас есть квадратная матрица А 2 . Как уже было сказано выше, для получения нужного результата ее нужно умножить на саму себя:
В каком порядке и как нужно выполнять расчет, чтобы возвести А в квадрат?
Представьте, что строки 1-й матрицы представляют собой столики в кафетерии. Тогда столбцы 2-й матрицы (ниже обозначены разными цветами) — это официанты. Поначалу «столики обслуживают» официанты из красного столбца, потом зеленого, потом синего. Таким образом происходит последовательный перебор столбцов слева направо. Вот такой вот мысленный прием.
Решение:
Напоследок скажем, что сегодня существует множество онлайн-калькуляторов, позволяющих выполнять широкий спектр математических матричных операций:
— возведение матриц в степень;
— умножение на число;
— сложение и вычитание;
— нахождение обратной матрицы;
— нахождение ранга и определителя.
На этом все, очень надеемся, что у вас больше не будет возникать вопросов о том, как и в каком порядке возводить матрицу в степень.