Как вносить под знак дифференциала в интеграле

03. Метод подведения под знак дифференциала. Вычисление интегралов вида Integrate [(Ax+B)/(ax^(2)+bx+c)dx] и Integrate[(Ax+B)/(Sqrt[ax^(2)+bx+c])dx]

и

1°. Метод подведения под знак дифференциала основан на следующем утверждении:

Если , а – дифференцируемая функция, то

.

.

Для того чтобы применить это утверждение при вычислении интеграла, некоторые сомножители подынтегральной функции "подводят" под знак дифференциала, после чего используют подходящий табличный интеграл.

Примеры. Вычислить неопределенные интегралы:

1) ;

4) ;

2) ;

5) .

3) ;

;

;

;

;

.

2°. Интегралы вида вычисляются по следующей схеме:

1) с помощью тождественных преобразований числитель представляют суммой двух слагаемых, одно из которых пропорционально производной знаменателя , а второе постоянно. В общем случае это выглядит так:

2) Первый из интегралов вычисляют подведением под знак дифференциала, второй после выделения полного квадрата в знаменателе приводится к одному из табличных интегралов или (это зависит от знака дискриминанта квадратного трехчлена).

Пример. Вычислить неопределенный интеграл .

.

Как решать интегралы

Пусть на отрезке задана неотрицательная непрерывная функция На плоскости как показано на рис. 4.6, график этой функции, отрезок оси абсцисс и прямые и образуют так называемую криволинейную трапецию. Требуется найти площадь такой криволинейной трапеции

Разделим отрезок на произвольные частей и проведем кординаты, соответствующие точкам деления Криволинейная трапеция стала состоять из «узких» криволинейных трапеций (полосок) шириной Каждую полоску заменим на соответствующий прямоугольник, высота которого равна а площадь

Интуитивно ясно, сумма площадей полученных прямоугольников приближенно равна площади исходной криволинейной трапеции.

Увеличим число разбиений При этом каждый раз обязательно должна уменьшатся длина наибольшего из разбиений т.е. при Погрешность такого приближения

будет стремиться к нулю, т. е.

Для обозначения предельного значения этой суммы Лейбниц ввел символ как стилизацию начертания буквы — начальной буквы латинского слова Summa.

К построению суммы вида (4.23), которые называют интегральными суммами, приходят при решении многих задач: о массе плоской пластины, о длине дуги кривой линии, о координатах центра тяжести тел, о площади поверхности тел вращения и др.

Введем определение определенного интеграла. Если независимо от способа разбиения отрезка на части, для функции существует конечный предел интегральной суммы при и то этот предел называется определенным интегралом функции от до а сама функция — интегрируемой на

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Читается: «Интеграл от до от функции де икс». Числа называются соответственно нижним и верхним пределами интеграла. Если то, как следует из определения,

Интеграл существует для всех непрерывных функций, т. е. функция интегрируема на отрезке если она непрерывна на этом отрезке

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Основные свойства определенного интеграла

1. Определенный интеграл — есть число! Его значение зависит только от вида функции и пределов интегрирования, но не от переменной интегрирования, которую можно обозначить любой буквой:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

3. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от

слагаемых. Для суммы двух функций имеем:

4. Аддитивность. Если функция интегрируема на отрезках то она интегрируема и на отрезке причем выполняется равенство:

Свойство аддитивности имеет наглядный геометрический смысл: оно выражает свойство аддитивности площади, например, плоских фигур (рис.4.7).

5. Если f(х) — нечетная функция, т. е. то:

Если -четная функция, т. е. то:

6. По определению

7. Теорема о среднем. Если непрерывна на отрезке то на этом отрезке найдется такая точка что справедливо равенство:

Эта формула имеет ясный геометрический смысл (рис.4.8): площадь криволинейной трапеции численно равна площади прямоугольника с тем же основанием, что и трапеция, причем высота прямоугольника равна ординате в некоторой точке лежащей между

Вычисление определенного интеграла

Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница

где — первообразная для функции Формула читается так: определенный интеграл ровен разности значений первообразной на концах промежутка.

Сформулируем и докажем теоремы, обосновывающие справедливость этой основной формулы математического анализа.

Теорема о существовании первообразной. Если функция непрерывна на отрезке то функция дифференцируема в любой внутренней точке этого отрезка, причем то есть функция является первообразной функции

Доказательство. Найдем производную функции являющейся интегралом с переменным верхним пределом. Для этого вначале выберем столь малым, чтобы точка лежала внутри отрезка и построим приращение функции

К полученному интегралу применим теорему о среднем:

Следовательно, — Поскольку непрерывна и с при то Поэтому производная

Мы показали, что функция, являющаяся интегралом от функции с постоянным нижним и переменным верхним пределом есть одна из первообразных функций от функции Этот факт, установленный Ньютоном и Лейбницем, показывает, что дифференциальное и интегральное исчисление представляет собой нечто единое, и известен как основная теорема математического анализа.

Теперь выведем основную формулу математического анализа.

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке то

Доказательство. В силу непрерывности на отрезке функция интегрируема и на основании основной теоремы математического анализа имеет первообразную

Первообразных у функции бесконечно много, и все они отличаются друг от друга на произвольную постоянную (обозначим ее через Поэтому, если — первообразная для то:

Константу легко выразить через значение первообразной в точке Действительно принимая во внимание, что

из (4.28) получим

Поскольку , записав (4.27) для точки с переменной интегрирования получаем основную формулу математического анализа — формулу Ньютона-Лейбница (4.27).

Эта формула дает следующее правило: для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную подынтегральной функции, а затем вычислить разность значений первообразной на верхнем и нижнем пределе.

Примеры с решением

Пример 1:

Вычислить интеграл

Решение:

Одна из первообразной функции есть функция Поэтому:

Формулу (4.27) при вычислении определенного интеграла удобно записывать, используя знак подстановки в следующем виде:

При вычислении определенного интеграла используются те же основные приемы, что и при вычислении неопределенного интеграла.

Неопределенный интеграл

Операция нахождение производной от функции называется дифференцированием. Обратная дифференцированию операция — отыскание функции по ее производной называется интегрированием. Функция производная которой равна некоторой функции называется первообразной для f(x). Так, например, если то ее первообразная

есть если же то ее первообразная

Поскольку производная любой постоянной величины равна нулю, то — является первообразной не только для но и для и для и вообще для любой функции вида т. е. первообразные одной и той же функции отличаются на постоянную величину.

Обобщая вышеизложенное, можно сказать, что функция имеет бесконечное множество первообразных вида

Множество всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается так:

где — знак интеграла, читается «интеграл», — подынтегральная функция от переменной интегрирования — подынтегральное выражение. — постоянная интегрирования.

Часто вместо слов «вычислить неопределенный интеграл» говорят «взять неопределенный интеграл».

Из определения интеграла следует, что:

Отсюда, вспомнив, что получим:

Рассмотрим выражение где — первообразная для функции (т. е. Тогда из определения неопределенного интеграла следует:

Формулы (4.17-4.19) наглядно иллюстрируют то обстоятельство, что операции дифференцирования и интегрирования взаимно обратны с точностью до постоянной. В этой связи по аналогии с таблицей формул дифференцирования элементарных функций 4.1 можно построить таблицу основных интегралов.

Таблица основных интегралов

Справедливость этих формул проверяется по формуле (4.18) непосредственным дифференцированием.

В различных справочниках, например в приводятся обширные таблицы неопределенных интегралов. Но, при решении практических задач, для того, чтобы иметь возможность воспользоваться таблицами, вначале необходимо преобразовать исходный интеграл до вида, который есть в таблице. Для этого надо знать основные свойства неопределенного интеграла и использовать тождественные преобразования подынтегральной функции.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

2. Неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме неопределенных интегралов от этих функций:

Замечание. Если каждый из суммируемых неопределенных интегралов содержит свою постоянную интегрирования, то для всей суммы записывается одна постоянная интегрирования.

Пример 2:

Найти

Решение: Запишем стоящую в числителе единицу в тригонометрическом виде и разделим почленно числитель на знаменатель, а далее получим табличные интегралы:

Интегрирование подведением под знак дифференциала

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить определенный интеграл

План решения. Пусть имеет очевидную первообразную есть функция этой первообразной, т.е. Тогда

где

Такого рода преобразование называется подведением под знак дифференциала.

Если метод избран удачно, то последний интеграл оказывается табличным или известным образом сводится к табличному, после чего применяем формулу Ньютона-Лейбница.

Пример 3:

Вычислить определенный интеграл

Решение:

1. Представим подынтегральное выражение в виде произведения двух функций где имеет очевидную первообразную есть функция этой первообразной, т.е.

В данном случае

В данном случае

где

3. Последний интеграл является табличным. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

Ответ

Интегрирование по частям

Постановка задачи. Вычислить определенный интеграл

План решения. Пусть на отрезке функция имеет очевидную первообразную — дифференцируемая функция, причем ее производная является более простой функцией, чем Тогда применяем формулу интегрирования по частям

Если метод избран удачно, то интеграл в правой части этого равенства оказывается табличным или известным образом сводится к табличному, например повторным интегрированием по частям.

Пример 4:

Вычислить определенный интеграл

Решение:

1. Представим подынтегральное выражение в виде произведения двух функций где имеет очевидную первообразную

а дифференцируемая функция, причем ее производная является более простой функцией, чем В данном случае

2. Применяем формулу интегрирования по частям

3. Последний интеграл не является табличным, но к нему можно повторно применить формулу интегрирования по частям:

Ответ.

Интегрирование выражений

Постановка задачи. Вычислить определенный интеграл

где рациональная функция двух переменных. План решения.

1. Если таковы, что функция определена на то с помошыо подстановки

интегралы от функций приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной Действительно, подставляя в подынтегральное выражение

Подстановка называется универсальной.

2. Находим новые пределы интегрирования

3. Применяем формулу замены переменной в определенном интеграле

4. Вычисляем первообразную рациональной функции и применяем формулу Ньютона-Лейбница.

Замечание. Если подынтегральная функция имеет специальный вид, то лучше применить подстановки, требующие меньших вычислений:

а) если то применяем подстановку Действительно, подынтегральное выражение приобретает вид

б) если то применяем подстановку Действительно, подынтегральное выражение приобретает вид

в) если то применяем подстановку (при условии, что функция определена на Действительно, подынтегральное выражение приобретает вид

Пример 5:

Вычислить определенный интеграл

Решение:

1. Поскольку функция определена на сделаем подстановку

Подставляя в подынтегральное выражение

2. Находим новые продолы интегрирования

3. Применяем формулу замены переменной в определенном интеграле

4. Вычисляем первообразную рациональной функции и применяем формулу Ньютона Лейбница

Ответ:

Интегрирование подведением под знак дифференциала

Постановка задачи. Найти неопределенный интеграл

План решения. Пусть имеет очевидную первообразную есть функция этой первообразной, т.е. Тогда

Такого рода преобразование называется подведением под знак дифференциала.

Если метод избран удачно, то последний интеграл оказывается табличным или известным образом сводится к табличному.

Пример 6:

Найти неопределенный интеграл

Решение:

1. Представим подынтегральное выражение в виде произведения двух функций где имеет очевидную первообразную

есть функция этой первообразной, т.е. . В данном случае

где

3. Последний интеграл не является табличным, но к нему снова можно применить метод подведения под знак дифференциала:

Ответ:

Интегрирование по частям

Постановка задачи. Найти неопределенный интеграл

ПЛАН решения. Пусть имеет очевидную первообразную дифференцируемая функция, причем ее производная является более простой функцией, чем Тогда применяем формулу интегрирования по частям

Если метод избран удачно, то интеграл в правой части этого равенства оказывается табличным или известным образом сводится к табличному, например, повторным интегрированием по частям.

Пример 7:

Найти неопределенный интеграл

Решение:

1. Представим подынтегральное выражение в виде произведения двух функций где имеет очевидную первообразную дифференцируемая функция, причем ее производная является более простой функцией, чем

В данном случае

2. Применяем формулу интегрирования по частям

3. Последний интеграл не является табличным, но к нему можно применить метод подведения под знак дифференциала:

Ответ

Заметим, что если бы мы выбрали то, дифференцируя функцию и применяя формулу интегрирования по частям, получили бы более сложный интеграл, чем исходный.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Интегрирование подстановкой и заменой переменной

В предыдущих примерах при нахождении неопределенного интеграла использовалась подстановка вида %%u(x) = t%%. Рассмотрим теперь метод интегрирования заменой переменной, т.е. метод, основанный на замене вида %%x = \varphi(t)%%.

Пусть функция %%x = \varphi(t)%% непрерывна и дифференцируема в промежутке %%T%%, тогда метод замены переменной описывается следующей формулой: $$ \int f(x) \mathrmx = \int f\big(\varphi(t)\big)\varphi'(t) \mathrmt. $$

Данная формула показывает, что, переходя к новой переменной, достаточно выполнить замену в подынтегральном выражении.

Примеры

Примем %%t = 1 — 2x%%, тогда %%x = \frac<1-t><2>%%, $$ \mathrmx = \mathrm\left(\frac<1 - t><2>\right) = -\frac<\mathrmt><2>, $$ тогда $$ \int \frac<\mathrmx> <1 - 2x>= \int \frac<-\mathrmt/2> = -\frac<1> <2>\int\frac<\mathrmt> = -\frac<1> <2>\ln |t| + C = -\frac<1> <2>\ln|1 — 2x| + C. $$

Найти %%\displaystyle\int \frac \mathrmx%%.

Примем %%t = x + 2%%. Тогда %%\mathrmt = \mathrm(x+2) = \mathrmx%%. Ток как %%x = t — 2%%, то $$ \begin \int\frac = \int\frac<(t-2)^2 + 1>\mathrmt = \\ = \int\frac = \int\left(t — 4 + \frac<5>\right)\mathrmt = \\ = \int t

\mathrmt — 4\int \mathrmt + 5\int \frac<\mathrmt> = \\ = \frac <2>— 4t + 5 \ln|t| + C = \\ = \frac<(x +2)^2> <2>— 4(x+2) + 5 \ln|x+2| + C. \end $$

Метод интегрирования подстановкой

При интегрировании подведением под знак дифференциала используют инвариатность неопределенного интеграла и предполагают, что первообразная %%F(t)%% сложной функции функции %%f(t), t = u(x)%% известна. Однако часто подведение под знак дифференциала является лишь первым, подготовительным этапом перехода от исходной подынтегральной функции %%g(x) = f\big(u(x)\big)%% к более простой подынтегральной функции %%f(t)%%. В этом случае $$ \int g(x) \mathrmx = \int f\big(u(x)\big) \mathrmu(x) = \int f(t) \mathrmt. $$

Таким образом, чтобы найти неопределенный интеграл в левой части, %%g(x)%% представляют в виде произведения %%f\big(u(x)\big) u'(x)%%, и подводят %%u'(x)%% под знак дифференциала, обозначают %%u(x)%% через %%t%% и, подставляя в подынтегральное выражение %%t%%вместо %%u(x)%%, находят неопределенный интеграл от более простой функции %%f(t)%%. Затем, полагая, что %%t = u(x)%%, возвращаются к первоначальному аргументу %%x%%. Такую процедуру называют интегрированием подстановкой.