Уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки: примеры, решения
В этой статье мы рассмотрим концепцию уравнения прямой прямой. Мы попытаемся понять общее уравнение прямой, формулу прямой, способ нахождения уравнения прямой и откроем для себя другие интересные аспекты этого. Попробуйте свои силы в решении нескольких интересных примеров и вопросов для лучшего понимания концепции.
Уравнение прямой — может быть записано в различных формах. Прямая линия -это двумерная геометрическая фигура, которая простирается на обоих своих концах до бесконечности.
Для того чтобы освоить описанные приемы, необходимо много практиковаться, чтобы они стали привычными.
После прочтения информации по этой теме вы должны уметь:
- находить уравнение прямой прямой, учитывая ее наклон и пересечение с осью y;
- находить уравнение прямой, учитывая ее наклон и одну точку, лежащую на ней;
- найти уравнение прямой, учитывая две точки, лежащие на ней;
- дать уравнение прямой в любой из форм y = mx + c или ax + by + c = 0
Уравнения прямых могут принимать различные формы в зависимости от фактов, которые мы знаем о прямых. Итак, для начала предположим, что у нас есть прямая линия содержащая точки из следующего списка.
На прямой есть еще много точек, но уже достаточно, чтобы увидеть закономерность. Если мы возьмем любое значение x и прибавим 2, мы получим соответствующее значение y: 0 + 2 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 2 = 4, и так далее. Между координатами x и y любой точки на прямой существует фиксированная зависимость, и уравнение y = x + 2 всегда верно для точек на прямой. Мы можем обозначить прямую, используя это уравнение.
Уравнение прямой, проходящей через начало координат с заданным коэффициентом
Предположим, что у нас есть прямая с уравнением y = x. Тогда для каждой точки на прямой координата y должна быть равна координате x. Таким образом, прямая будет содержать точки из следующего списка.
Мы можем найти коэффициент прямой, используя формулу для нахождения коэффициента:
Далее следует подставить первые два набора значений из таблицы. Получаем:
Таким образом, коэффициент этой прямой равен 1.
А как насчет уравнения y = 2x? Оно также представляет собой прямую линию, и для всех точек на y в два раза больше соответствующего значения x. Таким образом, линия будет содержать точки из следующем списке.
Если мы вычислим коэффициент прямой y = 2x, используя первые два набора значений в таблице, то получим:
Таким образом, коэффициент этой прямой равен 2.
Теперь возьмем уравнение y = 3x. Оно также представляет собой прямую линию, и для всех точек на прямой. Каждая точка y в три раза больше соответствующего значения x. Таким образом, линия будет содержать точки из следующего списка.
Если мы вычислим коэффициент прямой y = 3x, используя первые два набора значений в таблице, мы получим:
Следовательно, коэффициент этой прямой равен 3.
Мы можем начать видеть здесь закономерность. Все эти прямые имеют уравнения, где y равно некоторому числу, умноженному на x. И в каждом случае линия проходит через начало координат, а коэффициент прямой равен m.
Таким образом, если бы у нас была прямая с уравнением y = 13x, то мы бы указали, что коэффициент прямой будет равен 13. Аналогично, если бы у нас была прямая с уравнением y = -2x, то коэффициент будет равен -2. Таким образом, в общем случае уравнение y = mx представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат с коэффициентом m.
Уравнение прямой с коэффициентом m, проходящей через начало координат, имеет вид:
Пересечение прямой y
Рассмотрим прямую линию с уравнением y = 2x + 1. Это уравнение имеет несколько иную форму в отличие от тех, которые мы видели ранее. Чтобы нарисовать график прямой, мы должны вычислить некоторые значения.
Обратите внимание, что при x = 0 значение y равно 1. Значит, эта прямая пересекает ось y в точке y = 1.
А как насчет прямой y = 2x + 4? Мы снова можем вычислить некоторые значения.
Эта линия пересекает ось y в точке y = 4.
А как насчет прямой y = 2x — 1? Мы снова можем вычислить некоторые значения.
Эта линия пересекает ось y в точке y = — 1.
Общее уравнение прямой — y = mx + c, где m — коэффициент, а y = c — значение на оси у, при через которое проходим прямая.
Это число c является пересечением с осью y.
Уравнение прямой с коэффициентом m и точкой пересечения c на оси y имеет вид:
Иногда нам задают уравнение прямой в другой форме. Предположим, у нас есть уравнение 3y — 2x = 6. Как показать, что оно представляет собой прямую линию, и найти ее коэффициент и значение точки пересечения с осью y?
Мы можем использовать алгебраическую перестановку, чтобы получить уравнение в виде y = mx + c:
Теперь уравнение находится в стандартной форме, и мы видим, что коэффициент равен \[\frac<2><3>\], а значение точки пересечения с осью y равно 2.
Мы также можем работать в обратном направлении. Предположим, мы знаем, что прямая имеет коэффициент \[\frac<1><5>\] и имеет вертикальное пересечение в точке y = 1. Каким будет ее уравнение?
Чтобы найти уравнение, достаточно подставить нужные значения в общую формулу y = mx + c.
Здесь m равно \[\frac<1><5>\], а c — 1, поэтому уравнение равно y =\[\frac<1><5>\]x + 1. Если мы хотим убрать дробь, мы можем также привести уравнение к виду 5y = x + 5, или 5y — x — 5 = 0.
Уравнение прямой прямой с заданным коэффициентом, проходящее через заданную точку на оси у
Предположим, что мы хотим найти уравнение прямой с коэффициентом \[\frac<1><3>\], которое проходит через точку (1, 2). Здесь, хотя мы знаем коэффициент, мы не знаем значение точки пересечения с осью у, оно равно c.
Начнем с общего уравнения прямой y = mx + c.
Мы знаем, что коэффициент равен \[\frac<1><3>\], именно поэтому мы можем сразу подставить это значение на место m. Это дает: \[y=\frac<1> <3>x+c\]
Теперь мы используем тот факт, что прямая проходит через (1, 2). Это означает, что когда x = 1, y должно быть равна 2. Подставляя эти значения, находим:
Таким образом, уравнение прямой имеет вид:
Мы можем вывести общую формулу для задач такого типа, используя тот же метод. Мы возьмем общую прямую с коэффициентом m, проходящую через фиксированную точку \[\mathrm\left(x_<1>, y_<1>\right)\].
Начнем с общего уравнения прямой y = mx + c. Теперь мы используем тот факт, что прямая проходит через точку \[\mathrm\left(x_<1>, y_<1>\right)\]. Это означает, что при x = \[x_<1>\], y должно быть \[y_<1>\]. Подставляя эти значения, находим:
Таким образом, уравнение прямой имеет вид y = mx + \[y_<1>-\mathrm
Мы можем записать его в альтернативной форме
Тогда это прямая с уклоном m, проходящая через точку \[\left(x_<1>, y_<1>\right)\]. Таким образом, эта общая форма полезна, если вы знаете коэффициент и одну точку на прямой.
Уравнение прямой с коэффициентом m, проходящей через точку \[\left(x_<1>, y_<1>\right)\], имеет вид:.
Например, мы знаем, что прямая имеет коэффициент -2 и проходит через точку (-3, 2).
Мы можем воспользоваться формулой \[y-y_<1>=m\left(x-x_<1>\right)\] и сразу подставить значения:
Упражнение 1
Найдите уравнение описанных ниже прямых (приведите уравнение в виде y = mx + c):
Как составить уравнение прямой по двум точкам: двумерный и трехмерный случаи
Прямая в геометрии является одним из самых важных элементов, поскольку из нее собираются многие фигуры как на плоскости, так и в пространстве. Достаточно назвать треугольник, параллелограмм, призму, пирамиду — все они образованы пересекающимися прямыми. В данной статье дан ответ на вопрос, как по двум точкам составить уравнение прямой.
Уравнение прямой для двумерного и трехмерного случаев
Прежде чем переходить к обсуждению вопроса, как по двум точкам составить уравнение прямой, следует понять, о чем идет речь.
Под уравнением прямой понимают равенство, связанное с принятой системой координат, причем все значения переменных, удовлетворяющие ему, должны ложиться на одну прямую. В двумерном и трехмерном случаях это уравнение можно задать в следующем виде:
Здесь Q — координаты произвольной точки прямой, P — координаты конкретной точки, принадлежащей прямой, u¯ — направляющий вектор, α — любое действительное число. Направляющий вектор u¯ является параллельным прямой. Это выражение называется параметрически-векторным уравнением.
В двумерном случае каждая точка на плоскости однозначно задается двумя координатами x и y, поэтому можно записать уравнение прямой в виде:
Где (x0; y0) — координаты известной точки прямой, (a; b) — координаты направляющего вектора. В параметрическом виде это уравнение можно переписать как систему из двух уравнений:
Выражая параметр альфа и приравнивая полученные равенства, приходим к виду:
Полученное выражение знакомо каждому школьнику. Оно называется общим уравнением прямой на плоскости.
В пространстве каждая точка задана не двумя, а тремя координатами, поэтому ее уравнение параметрически-векторное принимает форму:
Параметрически-векторное уравнение удобно использовать, когда нужно составить уравнение прямой, проходящей через две точки.
Прямая и две точки
Теперь рассмотрим непосредственно вопрос статьи. Как по двум точкам составить прямой уравнение? Сначала получим уравнение на плоскости, а затем обобщим его для трехмерного случая.
Предположим, что имеется две точки на плоскости P(x1; y1) и Q(x2; y2). Если взять разность координат точек, то мы получим вектор, который направлен от одной из них к другой. Этот вектор равен:
В данном случае PQ¯ направлен от P (начало направленного отрезка) к Q (его конец). Поскольку обе точки принадлежат прямой, то и вектор PQ¯ принадлежит ей. Это означает, что его можно считать направляющим. Уравнение прямой принимает вид:
Здесь мы взяли точку P. Если ее заменить точкой Q, то уравнение не изменится.
Как по двум точкам составить уравнение прямой в пространстве? Обобщая полученную формулу для плоскости, получаем:
Другая буква для параметра взята чтобы показать независимость этого и предыдущего уравнений.
Пример решения задачи
Разобравшись, как составить прямой уравнение по двум точкам, приведем пример использования полученных знаний для двумерного случая.
Пусть имеются точки на плоскости (3; -4) и (0; 7). Необходимо составить через две точки прямой уравнение.
Вычисляем координаты направляющего вектора:
Параметрически-векторное уравнение имеет вид:
Раскроем его и приведем к общему виду:
Мы получили уравнение в привычном (общем) виде. Можно проверить его справедливость, подставив координаты обеих точек из условия задачи.
Уравнение прямой
где k — угловой коэффициент равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ.
Уравнение прямой в отрезках на осях
Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами ( a , 0) и (0, b ), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках
| x | + | y | = 1 |
| a | b |
Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости
Если прямая проходит через две точки M( x 1, y 1) и N( x 2, y 2), такие что x 1 ≠ x 2 и y 1 ≠ y 2, то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу
| x — x 1 | = | y — y 1 |
| x 2 — x 1 | y 2 — y 1 |
Параметрическое уравнение прямой на плоскости
Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом
x = l t + x 0 y = m t + y 0
где N( x 0, y 0) — координаты точки лежащей на прямой, a = < l , m >— координаты направляющего вектора прямой.
Каноническое уравнение прямой на плоскости
Если известны координаты точки N( x 0, y 0) лежащей на прямой и направляющего вектора a =
| x — x 0 | = | y — y 0 |
| l | m |
Решение. Воспользуемся формулой для уравнения прямой проходящей через две точки
x — 1 2 — 1 = y — 7 3 — 7
Упростив это уравнение получим каноническое уравнение прямой
Выразим y через x и получим уравнение прямой с угловым коэффициентом
Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .
Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой
x = t + 1 y = -4 t + 7
Решение. Так как M y — N y = 0, то невозможно записать уравнение прямой проходящей через две точки.
Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .
Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой
Уравнение прямой в пространстве
Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве
Если прямая проходит через две точки M( x 1, y 1, z 1) и N( x 2, y 2, z 2), такие что x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 и z 1 ≠ z 2, то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу
| x — x 1 | = | y — y 1 | = | z — z 1 |
| x 2 — x 1 | y 2 — y 1 | z 2 — z 1 |
Параметрическое уравнение прямой в пространстве
Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом
 |
x = l t + x 0 |
| y = m t + y 0 | |
| z = n t + z 0 |
где ( x 0, y 0, z 0) — координаты точки лежащей на прямой,
Каноническое уравнение прямой в пространстве
Если известны координаты точки M( x 0, y 0, z 0) лежащей на прямой и направляющего вектора n =
| x — x 0 | = | y — y 0 | = | z — z 0 |
| l | m | n |
Прямая как линия пересечения двух плоскостей
Если прямая является пересечением двух плоскостей, то ее уравнение можно задать следующей системой уравнений