MDCCCCV; MDCCCLXXXXIX — какие это арабские цифры?
MDCCCCV — это 1905. Но 1905 принято писать в виде MCMV.
MDCCCLXXXXIX — это 1899. Но принято это число (1899) писать в виде MDCCCXLIX.
В наше время мы пользуемся арабскими цифрами, которые были придуманы еще в шестом веке в Индии, их всего десять, начиная с нуля и заканчивая девяткой.
А еще есть римские цифры. Здесь все намного сложнее и это можно запомнить очень много раз написав одно и то же. Но если редко пользоваться, забыть можно.
Римские цифры
Римские цифры — непозиционная система записи чисел, принятая в Древнем Риме. В настоящее время иногда применяется при обозначении годов, номеров выпусков журнала, в номерах страниц предисловия, на циферблатах и т. п. Голливудская кинопродукция (надписи в титрах) датирована в римской системе счисления.
| 1 | I | лат. unus |
| 5 | V | лат. quinque |
| 10 | X | лат. decem |
| 50 | L | лат. quinquaginta |
| 100 | C | лат. centum |
| 500 | D | лат. quingenti |
| 1000 | M | лат. mille |
Первые 3000 чисел в римской нумерации, полученный функцией Excel Римское(), которые могут пригодиться для перевода римской записи в обычную (например, так указаны годы создания кинофильмов, некоторые числа в старых научных текстах и т. п.).
Например, указание на год издания 9 тома энциклопедии «Британника» MDCCCLXXVIII — 1878 год. [1]
nagato
В прошлый раз досчитали до порядков гуголплекса — наибольших чисел, которые как бы можно записать в десятичной нотации. Да, нам потребуется нанокарандаш и вся Вселенная, но, теоретически хотя бы можно представить, как бы мы его записывали. Но на этом счёт не заканчивается, и за гуголплексами, гугоплексами в степени гуголплекс и факториалами всего этого добра, живут такие чудища, которые невозможно ни представить, ни понять. При этом, эти чудища являются решениями вполне себе определённых задач и имеют практический смысл.
Вводная
На определённом этапе у нас закончатся возможности для записи чисел. Сначала мы будем использовать десятичную нотацию, потом сложение и мультипликацию, потом записывать числа в виде степеней, потом в виде степенных башен. Но для чисел, о которых пойдёт речь далее нам уже не хватит Вселенной (и мультивселенной тоже), чтобы записать степенную башню так, если бы размер каждой цифры был планковским!
Итак, друзья мои, начнём:
Вот сложение: a + b = a + 1 + 1 + . и так b раз;
Вот умножение: a × b = a + a + a + . и так b раз;
Вот степень: a b = a × a × a × . и так b раз;
Функция пока прирастает довольно вяло, а дальше мы можем использовать только , а после этого средства записи чисел, о которых имеет представление большинство, заканчиваются. Поэтому для записи истинно неимоверных чисел используется другая нотация — стрелочная, за авторством Дональда Кнута.
Стрелочная нотация Кнута
a ↑ b = a b = a × a × a × . и так b раз — это понятно;
a ↑↑ b = a ↑ (a ↑ b), то есть a ↑ (a ↑ (. b раз . ↑ a)), — это степенная башня. Пока всё хорошо, но нужен пример, для того, чтобы понимать порядки:
3 ↑↑ 2 = 3 3 = 27;
3 ↑↑ 3 = 3 3 3 = 3 27 = 7 625 597 484 987;
3 ↑↑ 4 = 3 3 3 3 = 3 7 625 597 484 987 (стандарный калькулятор уже выдаёт ошибку);
3 ↑↑ 5 = 3 3 3 3 3 = 3 3 7 625 597 484 987
Смотрите, функция растёт очень быстро, при изменении одного из аргументов «всего лишь на единичку», мы уже вышли за гуголплекс, но это только начало.
a ↑↑↑ b = a ↑↑ (a ↑↑ (. b раз . ↑↑ a)), то есть,
3 ↑↑↑ 3 = 3 ↑↑ (3 ↑↑ 3) = 3 ↑↑ 7 625 597 484 987 = 3 3 . 7 625 597 484 987 раз. 3 . Для понимания масштаба трагедии: эта степенная башня из троек высотой до Марса. Подчёркиваю красным: не число длиной до Марса, а высота башни степеней до Марса. Понять и представить сколько это в штуках невозможно. Можно лишь расслабиться и получать удовольствие, но я с долей садизма напомню, что 3 ↑↑ 5 уделывает гуголплекс, а 3 ↑↑ 9 вообще не может быть рассчитано, на совокупной мощности всех земных компьютеров.
3 ↑↑↑ 4 — эта хрень относится уже к наглым издевательствам над здравым смыслом. Если раньше можно было ещё хоть как-нибудь пытаться представить, как выглядела бы степенная башня из троек до Марса и сделать вид, что такое число можно осознать, то тут — всё. Нескольких Вселенных уже будет недостаточно, чтобы организовать башню высотой из 7 625 597 484 987 башен до Марса. Но, всё же, пока мы ещё оперируем хоть какими-то категориями. Дальше они заканчиваются, потому что.
От g1 до числа Грэма
a ↑↑↑↑ b. или a ↑↑↑ (a ↑↑↑ (. b раз . ↑↑↑ a)). Осознавать, представлять и описывать какое-нибудь 3 ↑↑↑↑ 3 (а это и есть число g1) нет смысла. Сравнить это просто не с чём. Аналогии становятся неуместными, и можно только изобретать эпитеты.
А дальше, как несложно догадаться будет a ↑↑↑↑↑ b или a ↑ 5 b и так далее. При этом важно помнить, что каждая новая стрелочка добавит взрывной рост не самого числа, а описания высоты степенной башни, которая используется для записи этого числа. Поэтому откинемся на спинку кресла и продолжим.
Итак, число g1 — это 3 ↑↑↑↑ 3. А g2 — это ни хрена не 3 ↑↑↑↑↑ 3, а 3 ↑ g1 3. Бабах! То есть вся вот эта вот дичь нужна была лишь для того, чтобы показать количество стрелок в числе g2. Но дальше-то будет g3 = 3 ↑ g2 3 и, чтобы немного отдохнуть от этих монстров, нужно бы сделать небольшое отступление и рассказать, зачем все эти «жэ» нужны. Нужно бы, но, так называемой проблемы Грэма, я не понимаю: вернее, я не понимаю, на кой чёрт это могло понадобиться, но попробую описать.
Есть куб, все вершины которого соединены отрезками красного или синего цвета. Цвета отрезков нужно подобрать так, чтобы не получилось, что 4 вершины, лежащие в одной плоскости, соединены отрезками одного цвета (см. картинку ниже, нижняя фигура — это то, чего в результате комбинирования цветов отрезков получиться не должно).
Для обычного 3-мерного куба задача решается, если и не в уме, то на бумаге геометрическим построением. Для 4-мерного куба уже нужно применить комбинаторику. Для 5-мерного и 6-мерного тоже. И так далее до 13-мерного куба: это нижняя граница измерений куба для которой доказано, что подобную комбинацию цветов отрезков соединяющих вершины подобрать можно, хотя сам Грэм запоролся уже на 7-мерном. А как быть с верхней границей? Грэм в своё доказал, что задача разрешима между 6 и неким большим числом. То есть в этом диапазоне измерений куба обязательно найдётся такой, где покрасить отрезки так, чтобы условие задачи выполнилось, будет невозможно. То самое «некое большое число» и было названо числом Грэма. И значение его G = g64 = 3 ↑ g63 3.
Занавес! Хотя, а вдруг можно больше? Нет, не в смысле, G + 1 или G ↑ G G, а так чтобы число можно было бы реально для чего-нибудь применить? И такие числа есть. Причём, они уделывают G так же, как в своё время какое-то ссаное g1 уделало гуголплекс в самом начале вычислений.
Число Райо
Вообще, сразу стоит отметить, что даже число Грэма — это хрень, высосанная из двадцать первого пальца. Кому и зачем это в здравом уме может понадобиться я, честно говоря, не очень представляю. И даже не представляю, возможно ли теоретически, чтобы когда-то и кому-то это могло понадобиться в здравом уме. Но всё же, оно знаковое. Это первое самое большое число, появившееся при доказательстве чего-либо, а дальше просто пошла математическая гонка, кто напишет наиболее быстрорастущую функцию. Ты мне G!, а я тебе G ↑ G. А ещё кто-то родит какой-нибудь G1 = G ↑ G G и уже дальше будет оперировать им. Грубо, конечно, но что-то подобное имело место, и если изначальное число Грэма имело какой-то практический смысл, то вся последующая байда стала именно гонкой роста функций, нивелировавшей величие числа, которое даже в начале вычислений уже невозможно представить или понять.
Собственно, вся проблема осталась только в способах записи. От степенных башен был переход к нотации Кнута, которая позволила хотя бы описать число Грэма. Потом случились цепочки Конвея, массивные и матричные нотации и вот это вот всё, что позволяет описать сколь угодно большое число, когда для предыдущего способа записи вставала проблема количества условных стрелочек. Не буду их тут описывать, во всяком случае сейчас. Всё-таки, напоминаю, что серия статей о больших числах носит информационно-развлекательный характер, и не хочется превращать её во всякое.
В итоге, вся эта дичь дошла до числа Райо. Это уже чистая философия, полученная на каком-то математическом конкурсе на запись самого большого числа на ограниченном пространстве доски, без использования бесконечности и всяких фокусов типа «самое большое число плюс один». В итоге, получилось, что число Райо — это самое маленькое число, большее, чем любое конечное число, определённое на языке теории множеств, с использованием гугол символов или меньше. Если вы поняли хоть что-то о порядке этого числа, вернее, нижней границы чисел Райо, то вы либо профессиональный математик, и не очень понятно, зачем вы дочитали до этого места, либо, как и я, врёте о том, что хоть что-то поняли.
А вот теперь держитесь, хорошего вам настроения и всего доброго. В следующей серии мы выйдем за пределы бесконечности, а там будет всё ещё добрее и веселее, хотя и несколько проще для понимания, чем то же число Райо. Или нет.