Какое наибольшее количество целых чисел
Тип 18 № 484672 
На доске написано более 36, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно среднее арифметическое всех положительных из них равно 6, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому
а) Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 6, поэтому — количество целых чисел — делится на 6. По условию поэтому
Таким образом, написано 42 числа.
б) Приведём равенство к виду
Так как получаем, что откуда Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.
в) (оценка) Подставим в правую часть равенства
Так как получаем:
то есть положительных чисел не более 15.
в) (пример) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 15. Пусть на доске 15 раз написано число 6, 25 раз написано число −12 и два раза написан 0.
Какое наибольшее количество целых чисел можно взять от 1 до 2003 так, чтобы их произведение оканчивалось на 2
1. Если среди выбранных чисел окажется число с последней цифрой 0 или 5, то их произведение тоже будет оканчиваться на цифру 0 или 5.
2. Произведение же остальных восьми цифр дает в конце цифру 6:
1 * 2 * 3 * 4 * 6 * 7 * 8 * 9 = 72 576.
А произведение двух чисел, оканчивающихся на цифру 6, снова приводит к той же цифре.
3. Следовательно, произведение 1600 чисел от 1 до 1999, не кратных 5, оканчивается на цифру 6. Если к этим числам добавим 2001, 2002 и 2003, то в конце снова получим 6. Но если добавим 2001 и 2002, то в этом случае получим двойку. Количество всех чисел тогда составит:
Числа. Целые числа. Свойства целых чисел.
Целые числа – это натуральные числа, а также противоположные им числа и нуль.
Целые числа — расширение множества натуральных чисел N, которое получается путем добавления к N 0 и отрицательных чисел типа − n. Множество целых чисел обозначают Z.
Сумма, разность и произведение целых чисел дают снова целые числа, т.е. целые числа составляют кольцо относительно операций сложения и умножения.
Целые числа на числовой оси:
Сколько целых чисел? Какое количество целых чисел? Самого большого и самого маленького целого числа нет. Этот ряд бесконечен. Наибольшее и наименьшее целое число не существует.
Натуральные числа еще называются положительными целыми числами, т.е. фраза «натуральное число» и «положительное целое число» это одно и то же.
Ни обыкновенные, ни десятичные дроби не являются целыми числами. Но существуют дроби с целыми числами.
Примеры целых чисел: -8, 111, 0, 1285642, -20051 и так далее.
Говоря простым языком, целые числа — это (∞. -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4. + ∞) – последовательность целых чисел. То есть те, у которых дробная часть (<>) равна нулю. Они не имеют долей.
Натуральные числа — это целые, положительные числа. Целые числа, примеры: (1,2,3,4. + ∞).
Операции над целыми числами.
1. Сумма целых чисел.
Для сложения двух целых чисел с одинаковыми знаками, необходимо сложить модули этих чисел и перед суммой поставить итоговый знак.
2. Вычитание целых чисел.
Для сложения двух целых чисел с разными знаками, необходимо из модуля числа, которое больше вычесть модуль числа, которое меньше и перед ответом поставить знак большего числа по модулю.
3. Умножение целых чисел.
Для умножения двух целых чисел, необходимо перемножить модули этих чисел и перед произведением поставить знак плюс (+), если исходные числа были одного знака, и минус (–) – если разного.
Когда умножаются несколько чисел, знак произведения будет положительным, если число неположительных сомножителей чётное, и отрицателен, если нечётное.
4. Деление целых чисел.
Для деления целых чисел, необходимо поделить модуль одного на модуль другого и поставить перед результатом знак «+», если знаки чисел одинаковые, и минус, – если разные.
Свойства целых чисел.
Z не замкнуто относительно деления 2-х целых чисел (например, 1/2). Ниже приведенная таблица показывает некоторые основные свойства сложения и умножения для любых целых a, b и c.