Какое множество точек задается неравенством

Неравенства с двумя переменными (продолжение)

Пример 2. Изобразим на координатной плоскости множество решении неравенства x 2 + у 2 ≤ 16.

Неравенству x 2 + у 2 ≤ 16. удовлетворяют те и только те пары чисел (значений х и у), сумма квадратов которых не превосходит 16. Графиком уравнения х 2 + у 2 = 16 является окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 4. Эта окружность разбивает координатную плоскость на две области: множество точек, расположенных внутри круга, и множество точек, расположенных вне круга. Первая область (рис. 68) вместе с окружностью является множеством точек, координаты которых удовлетворяют неравенству х 2 + у 2 ≤ 16, а координаты точек второй области удовлетворяют неравенству х 2 + у 2 > 16.

Пример 3. Выясним, какое множество точек задается неравенством ху > 6.

Графиком уравнения ху = 6 является гипербола. Этот график разбивает координатную плоскость на три области А, В и С (рис. 69). Область А расположена выше ветви гиперболы, лежащей в первой координатной четверти, область В — между ветвями гиперболы, область С — ниже ветви гиперболы, лежащей в третьей координатной четверти.

Отметим на ветви гиперболы, расположенной в первой координатной четверти, точку М(х₀; у₀). Координаты точки М удовлетворяют уравнению ху = 6, а координаты точки К(х₀; у), где у > у₀ > удовлетворяют неравенству ху > 6, так как произведение координат каждой точки области А больше 6. Значит, координаты точек, расположенных в области А, удовлетворяют неравенству ху > 6.

Если точка принадлежит области С, то произведение координат каждой такой точки также больше 6 (обе координаты этой точки — отрицательные числа). Значит, координаты точек области С также удовлетворяют неравенству ху > 6.

Аналогично можно доказать, что координаты каждой точки, расположенной в области В, удовлетворяют неравенству ху < 6, т. е. они не являются решениями неравенства ху > 6. Отсюда следует, что множеством точек, координаты которых удовлетворяют неравенству ху > 6, является объединение областей А и С (см. рис. 69).

Упражнения

482. Является ли пара чисел (—2; 3) решением неравенства:

483. Найдите два каких-нибудь решения неравенства:

484. Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемое неравенством:

Упр.489 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

Неравенства с двумя переменными. Системы нелинейных неравенств с двумя переменными

Рассмотрим неравенство вида \(f (x; y) > g (x; y)\) , называемое неравенством с двумя переменными. Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающих неравенство в верное числовое неравенство. Решение неравенства с двумя переменными, а тем более системы неравенств с двумя переменными, представляется достаточно сложной задачей. Важной частью умения решать неравенства является умение изобразить на координатной плоскости множество его решений.

Пусть мы имеем неравенство с двумя переменными одного из следующих видов:

\(y > f(x); y ≥ f(x); y < f(x); y ≤ f(x).\)

Для изображения множества решений такого неравенства на координатной плоскости поступают следующим образом:

1. Строим график функции \(y = f(x)\) , который разбивает плоскость на две области.
2. Выбираем любую из полученных областей и рассматриваем в ней произвольную точку. Проверяем выполнимость исходного неравенства для этой точки. Если в результате проверки получается верное числовое неравенство, то заключаем, что исходное неравенство выполняется во всей области, которой принадлежит выбранная точка. Таким образом, множеством решений неравенства является область, которой принадлежит выбранная точка. Если в результате проверки получается неверное числовое неравенство, то множеством решений неравенства будет вторая область, которой выбранная точка не принадлежит.
3. Если неравенство строгое, то границы области, то есть точки графика функции \(y = f(x)\) , не включают в множество решений и границу изображают пунктиром. Если неравенство нестрогое, то границы области, то есть точки графика функции \(y = f(x)\) , включают в множество решений данного неравенства и границу в таком случае изображают сплошной линией. А теперь рассмотрим несколько задач на эту тему.

Пример 1. Какое множество точек задается неравенством \(x · y ≤ 4\) ?

1) Строим график уравнения \(x · y = 4\) . Для этого сначала преобразуем его. Очевидно, что x в данном случае не обращается в 0, так как иначе мы бы имели 0 · y = 4, что неверно. Значит, можем разделить наше уравнение на x.

Получим: \(y = \frac4\) . Графиком данной функции является гипербола. Она разбивает всю плоскость на две области: ту, что между двумя ветвями гиперболы, и ту, что снаружи их.

2) Выберем из первой области произвольную точку, пусть это будет точка (4; 2). Проверяем неравенство: 4 · 2 ≤ 4 – неверно.

Значит, точки данной области не удовлетворяют исходному неравенству. Тогда можем сделать вывод о том, что множеством решений неравенства будет вторая область, которой выбранная точка не принадлежит.

3) Так как неравенство нестрогое, то граничные точки, то есть точки графика функции \(y = \frac<4>\) , рисуем сплошной линией.

Закрасим множество точек, которое задает исходное неравенство, желтым цветом.

Пример 2. Изобразить область, заданную на координатной плоскости системой: \(\left\< \begin y>x^2+2 \\ y+x>1 \\ x^2+y^2\le9 \end \right.\)

Решение: Строим для начала графики следующих функций:

\(y = x^2 + 2\) – парабола,

\(y + x = 1\) – прямая,

\(x^2 + y^2 = 9\) – окружность.

Теперь разбираемся с каждым неравенством в отдельности.

Берем точку (0; 5), которая лежит выше графика функции. Проверяем неравенство: \(5 > 0^2 + 2\) – верно.

Следовательно, все точки, лежащие выше данной параболы \(y = x^2 + 2\) , удовлетворяют первому неравенству системы. Закрасим их желтым цветом.

Берем точку (0; 3), которая лежит выше графика функции. Проверяем неравенство: \(3 + 0 > 1\) – верно.

Следовательно, все точки, лежащие выше прямой \(y + x = 1\) , удовлетворяют второму неравенству системы. Закрасим их зеленой штриховкой.

Берем точку (0; –4), которая лежит вне окружности \(x^2 + y^2 = 9\) . Проверяем неравенство: \(0^2 + (-4)^2 ≤ 9\) – неверно.

Следовательно, все точки, лежащие вне окружности \(x^2 + y^2 = 9\) , не удовлетворяют третьему неравенству системы. Тогда можем сделать вывод о том, что все точки, лежащие внутри окружности \(x^2 + y^2 = 9\) , удовлетворяют третьему неравенству системы. Закрасим их фиолетовой штриховкой.

Не забываем о том, что если неравенство строгое, то соответствующую граничную линию следует рисовать пунктиром. Получаем следующую картинку.

Искомая область – это область, где все три раскрашенные области пересекаются друг с другом.

Напишите неравенство, решением которого является окружность и точки внутри окружности.

Найдите точки, являющиеся решением неравенства.

Найдите точки, являющиеся решением неравенства.

Решите систему неравенств и укажите целые числа, которые являются решением системы неравенств.

Множество решений системы неравенств \(\begin\frac<0\\\frac<0 \end\) принадлежит промежутку

Координаты каких точек не являются решением неравенства 4 (x – 5) \(\geq\) – 4 (y + 2)?

Какие координаты точек являются решением неравенства 3(2 + x) \(\geq\) 2(y + 3)?