Как быстро извлекать квадратные корни
Довольно часто при решении задач мы сталкиваемся с большими числами, из которых надо извлечь квадратный корень. Многие ученики решают, что это ошибка, и начинают перерешивать весь пример. Ни в коем случае нельзя так поступать! На то есть две причины:
- Корни из больших чисел действительно встречаются в задачах. Особенно в текстовых;
- Существует алгоритм, с помощью которого эти корни считаются почти устно.
Этот алгоритм мы сегодня и рассмотрим. Возможно, какие-то вещи покажутся вам непонятными. Но если вы внимательно отнесетесь к этому уроку, то получите мощнейшее оружие против квадратных корней.
- Ограничить искомый корень сверху и снизу числами, кратными 10. Таким образом, мы сократим диапазон поиска до 10 чисел;
- Из этих 10 чисел отсеять те, которые точно не могут быть корнями. В результате останутся 1—2 числа;
- Возвести эти 1—2 числа в квадрат. То из них, квадрат которого равен исходному числу, и будет корнем.
Прежде чем применять этот алгоритм работает на практике, давайте посмотрим на каждый отдельный шаг.
Ограничение корней
В первую очередь надо выяснить, между какими числами расположен наш корень. Очень желательно, чтобы числа были кратны десяти:
10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
.
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.
Получим ряд чисел:
100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.
Что нам дают эти числа? Все просто: мы получаем границы. Возьмем, например, число 1296. Оно лежит между 900 и 1600. Следовательно, его корень не может быть меньше 30 и больше 40:
[Подпись к рисунку]
То же самое — с любым другим числом, из которого можно найти квадратный корень. Например, 3364:
[Подпись к рисунку]
Таким образом, вместо непонятного числа мы получаем вполне конкретный диапазон, в котором лежит исходный корень. Чтобы еще больше сузить область поиска, переходим ко второму шагу.
Отсев заведомо лишних чисел
Итак, у нас есть 10 чисел — кандидатов на корень. Мы получили их очень быстро, без сложных размышлений и умножений в столбик. Пора двигаться дальше.
Не поверите, но сейчас мы сократим количество чисел-кандидатов до двух — и снова без каких-либо сложных вычислений! Достаточно знать специальное правило. Вот оно:
Последняя цифра квадрата зависит только от последней цифры исходного числа.
Другими словами, достаточно взглянуть на последнюю цифру квадрата — и мы сразу поймем, на что заканчивается исходное число.
Существует всего 10 цифр, которые могут стоять на последнем месте. Попробуем выяснить, во что они превращаются при возведении в квадрат. Взгляните на таблицу:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
| 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 |
Эта таблица — еще один шаг на пути к вычислению корня. Как видите, цифры во второй строке оказались симметричными относительно пятерки. Например:
2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.
Как видите, последняя цифра в обоих случаях одинакова. А это значит, что, например, корень из 3364 обязательно заканчивается на 2 или на 8. С другой стороны, мы помним ограничение из предыдущего пункта. Получаем:
[Подпись к рисунку]
Красные квадраты показывают, что мы пока не знаем этой цифры. Но ведь корень лежит в пределах от 50 до 60, на котором есть только два числа, оканчивающихся на 2 и 8:
[Подпись к рисунку]
Вот и все! Из всех возможных корней мы оставили всего два варианта! И это в самом тяжелом случае, ведь последняя цифра может быть 5 или 0. И тогда останется единственный кандидат в корни!
Финальные вычисления
Итак, у нас осталось 2 числа-кандидата. Как узнать, какое из них является корнем? Ответ очевиден: возвести оба числа в квадрат. То, которое в квадрате даст исходное число, и будет корнем.
Например, для числа 3364 мы нашли два числа-кандидата: 52 и 58. Возведем их в квадрат:
52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 · 60 · 2 + 4 = 3364.
Вот и все! Получилось, что корень равен 58! При этом, чтобы упростить вычисления, я воспользовался формулой квадратов суммы и разности. Благодаря чему даже не пришлось умножать числа в столбик! Это еще один уровень оптимизации вычислений, но, разумеется, совершенно не обязательный 🙂
Примеры вычисления корней
Теория — это, конечно, хорошо. Но давайте проверим ее на практике.
Задача. Вычислите квадратный корень:
[Подпись к рисунку]
Для начала выясним, между какими числами лежит число 576:
400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2
Теперь смотрим на последнюю цифру. Она равна 6. Когда это происходит? Только если корень заканчивается на 4 или 6. Получаем два числа:
Осталось возвести каждое число в квадрат и сравнить с исходным:
24 2 = (20 + 4) 2 = 576
Отлично! Первый же квадрат оказался равен исходному числу. Значит, это и есть корень.
Задача. Вычислите квадратный корень:
[Подпись к рисунку]
Здесь и далее я буду писать только основные шаги. Итак, ограничиваем число:
900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;
Смотрим на последнюю цифру:
Возводим в квадрат:
33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 · 30 · 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 · 40 · 3 + 9 = 1369.
Задача. Вычислите квадратный корень:
[Подпись к рисунку]
2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;
Смотрим на последнюю цифру:
Возводим в квадрат:
52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;
Получили ответ: 52. Второе число возводить в квадрат уже не потребуется.
Задача. Вычислите квадратный корень:
[Подпись к рисунку]
3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;
Смотрим на последнюю цифру:
Как видим, после второго шага остался лишь один вариант: 65. Это и есть искомый корень. Но давайте все-таки возведем его в квадрат и проверим:
65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 · 60 · 5 + 25 = 4225;
Все правильно. Записываем ответ.
Заключение
Многие спрашивают: зачем вообще считать такие корни? Не лучше ли взять калькулятор и не парить себе мозг?
Как избавиться от квадратного корня в уравнении — математический — 2022
Когда вы впервые узнали о квадратах чисел, таких как 3 2 , 5 2 и x 2 , вы, вероятно, узнали об обратной операции с квадратами, а также о квадратном корне. Эта обратная связь между квадратными числами и квадратными корнями важна, потому что на простом английском языке это означает, что одна операция отменяет влияние другой. Это означает, что если у вас есть уравнение с квадратными корнями, вы можете использовать операцию «возведения в квадрат» или экспоненты, чтобы удалить квадратные корни. Но есть некоторые правила о том, как это сделать, а также потенциальная ловушка ложных решений.
TL; DR (слишком долго; не читал)
Чтобы решить уравнение с квадратным корнем, сначала выделите квадратный корень с одной стороны уравнения. Затем возведите в квадрат обе стороны уравнения и продолжайте решение для переменной. Не забудьте проверить свою работу в конце.
Простой пример
Прежде чем рассмотреть некоторые потенциальные «ловушки» решения уравнения с квадратными корнями, рассмотрим простой пример: Решите уравнение √ x + 1 = 5 для x .
Изолировать квадратный корень
Используйте арифметические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление, чтобы выделить выражение квадратного корня на одной стороне уравнения. Например, если исходное уравнение было √ x + 1 = 5, вы бы вычли 1 из обеих частей уравнения, чтобы получить следующее:
Квадрат обе стороны уравнения
Возведение в квадрат обеих сторон уравнения устраняет знак квадратного корня. Это дает вам:
Или, как только упростили:
Вы удалили знак квадратного корня, и у вас есть значение для x , поэтому ваша работа здесь завершена. Но подождите, есть еще один шаг:
Проверь свою работу
Проверьте свою работу, подставив найденное вами значение x в исходное уравнение:
Поскольку это вернуло правильное утверждение (5 = 5, в отличие от неверного утверждения, такого как 3 = 4 или 2 = -2, решение, которое вы нашли на шаге 2, является действительным. В этом примере проверка вашей работы кажется тривиальной. Но этот метод Устранение радикалов может иногда создавать «ложные» ответы, которые не работают в исходном уравнении, поэтому лучше всегда иметь привычку проверять свои ответы, чтобы убедиться, что они возвращают действительный результат, начиная сейчас.
Немного более сложный пример
Что если у вас есть более сложное выражение под знаком радикала (квадратный корень)? Рассмотрим следующее уравнение. Вы все еще можете применить тот же процесс, который использовался в предыдущем примере, но это уравнение выдвигает на первый план пару правил, которым вы должны следовать.
Изолировать радикальное
Как и раньше, используйте операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление, чтобы выделить выражение радикала на одной стороне уравнения. В этом случае вычитание 5 с обеих сторон дает вам:
Предупреждения
Обратите внимание, что вас просят изолировать квадратный корень (который предположительно содержит переменную, потому что, если бы она была константой вроде √9, вы могли бы просто решить ее на месте; √9 = 3). Вас не просят изолировать переменную. Этот шаг наступает позже, после того как вы удалили знак квадратного корня.
Квадрат обе стороны
Возведите в квадрат обе стороны уравнения, что дает вам следующее:
Что упрощает до:
Предупреждения
Обратите внимание, что вы должны поставить квадрат под знаком радикала, а не только в переменной.
Изолировать переменную
Теперь, когда вы удалили корень или квадратный корень из уравнения, вы можете изолировать переменную. Чтобы продолжить пример, добавив 4 к обеим сторонам уравнения, вы получите:
Проверь свою работу
Как и прежде, проверьте свою работу, подставив найденное вами значение y обратно в исходное уравнение. Это дает вам:
Что упрощает до:
Упрощение радикала дает вам:
29 = 29, верное утверждение, которое указывает на действительный результат.
Как оценить логарифмы с основанием квадратного корня
Логарифм числа идентифицирует степень, которую определенное число, называемое основанием, должно быть увеличено, чтобы произвести это число. В общем виде это выражается как log a (b) = x, где a — основание, x — мощность, на которую возводится основание, а b — значение, в котором логарифм .
Как оценить, используя кривую квадратного корня
Кривая квадратного корня — это метод повышения оценок всего класса, чтобы привести их в соответствие с ожиданиями. Его можно использовать для коррекции неожиданно сложных испытаний или, как правило, для сложных занятий.
Как получить ответ квадратного корня из квадратного корня на Ти-84
Чтобы найти квадратный корень с помощью моделей Texas Instruments TI-84, найдите символ квадратного корня. Эта вторая функция находится над клавишей x в квадрате на всех моделях. Нажмите вторую функциональную клавишу в левом верхнем углу клавиатуры и выберите клавишу х в квадрате. Введите значение, о котором идет речь, и нажмите Enter.
Как извлекать квадратный корень из числа без таблицы квадратов?
Мне стало интересно, существует ли легкий способ извлекать корень из числа. Например чему равен квадратный корень из 3136, так сходу и не скажешь. Моя дочка учится в школе, ей это может понадобиться. Может кто знает?
Дано: 3136 нужен метод вычисления квадратного корня.
Для лёгкости уменьшаем число на 2 разряда. Остаётся 31
5 будет мало = 25; 6 будет много = 36. Но до 31 от шести разница меньше всего 5, а от пяти уже 6.
берём 5.6² = 31.36. А это как раз наше число. Проверяем:
56² = 3136 всё верно. Так не интересно с первого выстрела попадание.
Для примера возьму 4444. Что в голову взбрело.
44 квадраты какие? 6² = 36; 7² = 49; от шести не хватает 8 до 44, а от семи больше всего на 5.
Выбираем 6.7² = 44.89 чуть перелёт.
Сдвигаем запятую и ставим на 1 меньше 1 разряд и 6 для 2-го разряда после запятой (дьявольское число):
4436; чуть меньше. Увеличиваем 2-й знак после запятой на 7.
4444; Всё попадание!
Вот такой мой метод приближённых интервалов.
В данном примере число из четырех знаков. Отсюда следует, что корень состоит из двух знаков. Смотрим ближайшее число, квадрат которого ближе к заданному числу. Понятно, что это число 50. Последний знак заданного числа указывает, что последним числом корня будет 6. В сумме 50 и 6 дает 56. Возводим в квадрат. Для примера. Если нужно возвести в квадрат двузначное число, у которого последняя 5, достаточно первую цифру умножить на первую цифру увеличенную на 1, к полученному произведению справа дописать 25. 35 в квадрате. 3х(3+1)=12. 1225.
Да, с помощью рядов, там изи, но так скажу, за это ей 5 никто не поставит.
Ща быстро научу,
Задаем точность, ну допустим 0,1.
Далее пишем формулу разложения:
ну и все подставляем число ближайшее, для этого правда найдем какое число принадлежит интервалу.
Ищем нужный порядок, порядок — порядок это такое значение число, которое соответствует значению нулей при представлении числа в выражении 1*L*10^k или 1*(M)^k или 1*((a)), в нашем случае 3136 это 1*3,136*10^3=3136, где k — порядок, а L -уточняющий значения подкоренного числа коэффициент.
1*(1)^2=1 — не тот порядок, a=10^0, так как k=0;
1*(10)^2=100 — не тот порядок, b=10^2, так как k=2;
1*(100)^2=10000 — не тот порядок, c=10^4, так как k=4;
1*(50)^2=2500 — тот порядок, так как 1*2,5*10^3, где d=2,5*10^3 т.е. k=3.
1*(51)^2=2601 — не то число;
1*(52)^2=2704 — не то число;
1*(53)^2=2809 — не то число;
1*(54)^2=2916 — не то число;
1*(55)^2=3025 — не то число;
1*(56)^2=3136 — то число.
В принципе 1 можно опустить, но ее наличие соответствует заданной формуле, на этапе обучение — крайне необходимо.
Так уж вышло, что нам не нужно разложение в ряд, а условие точности удовлетворять нет необходимости, ибо отсутствует интерполяционные члены рядов.