Как транспонировать матрицу в матлаб

Matlab операции с матрицами

В соответствии с операциями над векторами, умножение вектор-строки на вектор-столбец дает число, а умножение вектор-столбца на вектор-строку дает двумерную матрицу, что и является результатом вычислений в приведенном примере, т.е.

Сложение и вычитание двух векторов записывается так

a1 = [1 2 3 4 5];
a2 = [5 4 3 2 1];
c = a1+a2; % c = [1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1];
с = a2-a1; % c = [5-1, 4-2, 3-3, 2-4, 1-5];

Следует обратить внимание, что операции сложения и вычитания можно выполнять между двумя векторами-столбцами или двумя векторами-строками. Иначе MatLab выдаст сообщение об ошибке, т.к. разнотипные векторы складывать нельзя. Так обстоит дело со всеми недопустимыми арифметическими операциями: в случае невозможности их вычисления система MatLab сообщит об ошибке и выполнение программы будет завершено на соответствующей строке.

Аналогичным образом выполняются операции умножения и сложения между матрицами:

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
B = ones(3);
C = A+B; % сложение двух матриц одинакового размера
D = A+5; % сложение матрицы и числа
E = A*B; % умножение матрицы А на В
F = B*A; % умножение матрицы В на А
G = 5*A; % умножение матрицы на число

Операции вычисления обратной матрицы, а также транспонирования матриц и векторов, записываются следующим образом:

a = [1 1 1]; % вектор-строка
b = a’; % вектор-столбец, образованный
% транспонированием вектора-строки а.
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; % матрица 3х3 элемента
B = a*A; % B = [12 15 18] – вектор-строка
C = A*b; % C = [6; 15; 24] – вектор-столбец
D = a*A*a’; % D = 45 – число, сумма эл-ов матрицы А
E = A’; % E – транспонированная матрица А
F = inv(A); % F – обратная матрица А
G = A^-1; % G – обратная матрица А

Из приведенного примера видно, что операция транспонирования матриц и векторов обозначается символом ‘ (апостроф), который ставится после имени вектора или матрицы. Вычисление обратной матрицы можно делать путем вызова функции inv() или возводя матрицу в степень -1. Результат в обоих случаях будет одинаковым, а два способа вычисления сделано для удобства использования при реализации различных алгоритмов.

Если в процессе вычислений требуется поэлементно умножить, разделить или возвести в степень элементы вектора или матрицы, то для этого используются операторы:

.* – поэлементное умножение;
./ и . – поэлементные деления;
.^ – поэлементное возведение в степень.

Рассмотрим работу данных операторов на следующем примере.

a = [1 2 3]; % вектор-строка
b = [3 2 1]; % вектор-строка
c = a.*b; % c = [3 4 3]
A = ones(3); % матрица 3х3, состоящая из единиц
B = [1 2 3;4 5 6; 7 8 9]; % матрица 3х3
C = A.*B; % матрица 3х3, состоящая из
D = A./B; % матрица 3х3, состоящая из
E = A.B; % матрица 3х3, состоящая из
F = A.^2; % возведение элементов матрицы А в квадрат

В заключении данного параграфа рассмотрим несколько функций полезных при работе с векторами и матрицами.

Для поиска максимального значения элемента вектора используется стандартная функция max(), которая возвращает найденное максимальное значение элемента и его позицию (индекс):

a = [1 6 3 4];
[v, i] = max(a); % v = 6, i = 2;

Приведенный пример показывает два разных способа вызова функции max(). В первом случае определяется и максимальное значение элемента и его индекс в векторе, а во втором – только максимальное значение элемента.

В случае с матрицами, данная функция определяет максимальные значения, стоящие в столбцах, как показано ниже в примере:

A = [4 3 5; 6 7 2; 3 1 8];
[V, I] = max(A); % V=[6 7 8], I = [2 2 3]
V = max(A); % V=[6 7 8]

Полный синтаксис функции max() можно узнать, набрав в командном окне MatLab команду

Аналогичным образом работает функция min(), которая определяет минимальное значение элемента вектора или матрицы и его индекс.

Другой полезной функцией работы с матрицами и векторами является функция sum(), которая вычисляет сумму значений элементов вектора или столбцов матрицы:

a = [3 5 4 2 1];
s = sum(a); % s = 3+5+4+2+1=15
A = [4 3 5; 6 7 2; 3 1 8];
S1 = sum(A); % S1=[13 11 15]
S2 = sum(sum(A)); % S2=39

При вычислении суммы S2 сначала вычисляется сумма значений элементов матрицы А по столбцам, а затем, по строкам. В результате, переменная S2 содержит сумму значений всех элементов матрицы А.

Для сортировки значений элементов вектора или матрицы по возрастанию или убыванию используется функция sort() следующим образом:

b1 = sort(a); % b1=[1 2 3 4 5]
b2 = sort(a, ‘descend’); % b2=[5 4 3 2 1]
b3 = sort(a, ‘ascend’); % b3=[1 2 3 4 5]

A = [4 3 5; 6 7 2; 3 1 8];
B1 = sort(A); % B1=[3 1 2
% 4 3 5
% 6 7 8]
B2 = sort(A, ‘descend’); % B2=[6 7 8
% 4 3 5
% 3 1 2]

Во многих практических задачах часто требуется найти определенный элемент в векторе или матрице. Это можно выполнить с помощью стандартной функции find(), которая в качестве аргумента принимает условие, в соответствии с которым и находятся требуемые элементы, например:

a = [3 5 4 2 1];
b1 = find(a == 2); % b1 = 4 – индекс элемента 2
b2 = find(a

= 2); % b2 = [1 2 3 5] – индексы без 2
b3 = find(a > 3); % b3 = [2 3]

В приведенном примере символ ‘==’ означает проверку на равенство, а символ ‘

=’ выполняет проверку на неравенство значений элементов вектора а. Более подробно об этих операторах будет описано в разделе условные операторы.

Еще одной полезной функцией работы с векторами и матрицами является функция mean() для вычисления среднего арифметического значения, которая работает следующим образом:

a = [3 5 4 2 1];
m = mean(a); % m = 3
A = [4 3 5; 6 7 2; 3 1 8];
M1 = mean(A); % M1 = [4.333 3.667 5.000]
M2 = mean(mean(A)); % M2 = 4.333

Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт

1. Матрица строка. Указывается переменная, ставится знак присвоения и в квадратных скобках через запятую или пробел перечисляются элементы:

2. Матрица столбец. В качестве разделителя элементов применяется символ «;»:

3. Квадратная или прямоугольная матрица:

>> C = [5 6 9; 56 45 73; 15,21,36];

4. Генерация вектора. Синтаксис: = : : . Если не указать шаг, то по умолчанию он принимается за 1.

5. Единичная матрица. Синтаксис: =ones( , ).

6. Нулевая матрица. Синтаксис: =zeros( , );

Доступ к ячейкам матрицы. Синтаксис: ( , ). Необходимо помнить, что нумерация строк и столбцов начинается с 1.

Операции с матрицами:

1. Скалярные операции. Умножение и деление матрицы на число, а также сложение и вычитание матрицы и числа (скаляр) – «.*», «./»,«.+», «.–». Каждая скалярная операция выполняются с каждой ячейкой матрицы отдельно. Любая скалярная (поэлементная) операция, то есть операция сразу над всем массивом, в MatLab обозначаются при помощи точки.

2. Сложение и вычитание матриц. Данная операция выполнима только с матрицами одинакового размера. При выполнении операции действие выполняется с соответствующими друг другу ячейками.

3. Произведение матриц. Производится последовательное умножение строки первой матрицы на столбец второй. Для реализации данной операции необходимо выполнение условия (количество строк первой матрицы ровно количеству столбцов во второй матрице). Матрица результата будет иметь столько же строк сколько и в первой матрице, и количество столбцов равное количеству столбцов во второй матрице.

4. Удаление отдельных столбцов или строк. Для удаления отдельных столбцов или строк матрицы используются: пустые квадратные скобки [] и оператор двоеточие (:).

>> C = [24 33 42; 34 47 60; 44 61 78]

1. Различные способы ввода матриц в пакете MatLab

Вводить небольшие по размеру матрицы удобно прямо из командной строки. Введите матрицу размерностью два на три

Для хранения матрицы используйте двумерный массив с именем A. При вводе учтите, что матрицу А можно рассматривать как вектор-столбец из двух элементов, каждый из которых является вектор-строкой длиной три, следовательно, строки при наборе отделяются точкой с запятой:

» А = [3 1 -1; 2 4 3]
А =
3 1 -1
2 4 3

Для изучения простейших операций над матрицами приведем еще несколько примеров. Рассмотрим другие способы ввода. Введите квадратную матрицу размера три так, как описано ниже:

Начните набирать в командной строке

Нажмите клавишу . Обратите внимание, что пакет ничего не вычислил. Курсор мигает на следующей строке без символа ». Продолжите ввод матрицы построчно, нажимая в конце каждой строки . Последнюю строку завершите закрывающей квадратной скобкой, получается:

2 7 0
-5 1 2]
B =
4 3 -1
2 7 0
-5 1 2

Еще один способ ввода матриц состоит в том, что матрицу можно трактовать как вектор-строку, каждый элемент которой является вектор-столбцом. Например, матрицу два на три

можно ввести при помощи команды:

» С = [[3; 4] [-1; 2] [7; 0]]
С =
3 -1 7
4 2 0

Посмотрите переменные рабочей среды, набрав в командной строке whos:

А 2×3 48 double array
В 3×3 72 double array
С 2×3 48 double array

Итак, в рабочей среде содержится три матрицы, две прямоугольные и одна квадратная.

2. Обращение к элементам матриц в пакете MatLab

Доступ к элементам матриц осуществляется при помощи двух индексов – номеров строки и столбца, заключенных в круглые скобки, например

Элементы матриц могут входить в состав выражений:

Расположение элементов матрицы в памяти компьютера определяет еще один способ обращения к ним. Матрица А размера m на n хранится в виде вектора длины mn, в котором элементы матрицы расположены один за другим по столбцам

[А(1,1) А(2,1) . А(m,1) . А(1,n) А(2,n) . А(m,n)].

Для доступа к элементам матрицы можно использовать один индекс, задающий порядковый номер элемента матрицы в векторе.
Матрица С, определенная в предыдущем подразделе, содержится в векторе

[C(1,1) C(2,1) C(1,2) С(2,2) С(1,3) С(2,3)],

который имеет шесть компонент. Доступ к элементам матрицы осуществляется следующим образом:

3. Операции над матрицами в пакете MatLab: сложение, вычитание, умножение, транспонирование и возведение в степень

При использовании матричных операций следует помнить, что для сложения или вычитания матрицы должны быть одного размера, а при перемножении число столбцов первой матрицы обязано равняться числу строк второй матрицы. Сложение и вычитание матриц, так же как чисел и векторов, осуществляется при помощи знаков плюс и минус. Найдите сумму и разность матриц С и А, определенных выше:

Следите за совпадением размерности, иначе получите сообщение об ошибке:

» S = А+В
. Error using ==> ±
Matrix dimensions must agree.

Для умножения матриц предназначена звездочка:

» Р = С*В
P =
-25 9 11
20 26 -4

Умножение матрицы на число тоже осуществляется при помощи звездочки, причем умножать на число можно как справа, так и слева:

» Р = А*3
Р =
9 3 -3
6 12 -3
» Р = 3*А
Р =
9 3 -3
6 12 9

Транспонирование матрицы, так же как и вектора, производится при помощи .’, а символ ‘ означает комплексное сопряжение. Для вещественных матриц эти операции приводят к одинаковым результатам:

Замечание 1

Если матрица есть произвольная матрица размера n m, то матрица, транспонированная по отношению к А,есть матрица размера m n: Таким образом, строки матрицы становятся столбцами матрицы , а столбцы матрицы становятся строками матрицы .
Комплексно-сопряженная матрица получается из исходной в два этапа: выполняется транспонирование исходной матрицы, а затем все комплексные числа заменяются на комплексно-сопряженные.

Сопряжение и транспонирование матриц, содержащих комплексные числа, приведут к созданию разных матриц:

»K= [l-i, 2+3i; 3-5i, l-9i]
К = 1.0000 – 1.0000i 2.0000 + 3.0000i
3.0000 – 5.0000i 1.0000 – 9.0000i
»K’
ans =
1.0000 + 1.0000i 3.0000 + 5.0000i
2.0000 – 3.0000i 1.0000 + 9.0000i

» K.’
ans =
1.0000 – 1.0000i 3.0000 – 5.0000i
2.0000 + 3.0000i 1.0000 – 9.0000i

Замечание 2

При вводе вектор-строк их элементы можно разделять или пробелами, или запятыми. При вводе матрицы К применены запятые для более наглядного разделения комплексных чисел в строке.

Возведение квадратной матрицы в целую степень производится с использованием оператора ^:

» В2 = В^2
B2 =
27 32 -6
22 55 -2
-28 -6 9

Проверьте полученный результат, умножив матрицу саму на себя.
Убедитесь, что вы освоили простейшие операции с матрицами в MatLab. Найдите значение следующего выражения

Учтите приоритет операций, сначала выполняется транспонирование, потом возведение в степень, затем умножение, а сложение и вычитание производятся в последнюю очередь.

4. Умножение матриц и векторов

Вектор-столбец или вектор-строка в MatLab являются матрицами, у которых один из размеров равен единице, поэтому все вышеописанные операции применимы и для умножения матрицы на вектор-столбец или вектор-строки на матрицу. Например, вычисление выражения

можно осуществить следующим образом:

5. Блочные матрицы

Очень часто в приложениях возникают так называемые блочные матрицы, т.е. матрицы, составленные из непересекающихся подматриц (блоков). Рассмотрим вначале конструирование блочных матриц. Введите матрицы: , , , и создайте из них блочную матрицу .
Учитывая, что матрица К состоит из двух строк, в первой строке матрицы А и B, а во второй – С и D, блочную матрицу можно сформировать следующим образом:

» К = [А В; С D]
K =
-1 4 2 0
-1 4 0 5
3 -3 8 9
-3 3 1 10

Блочную матрицу можно получить и другим способом, если считать, что матрица К состоит из двух столбцов, в первом – матрицы А и С, а во втором – В и D:

Обратной задачей к конструированию блочных матриц является задача выделения блоков. Выделение блоков матриц осуществляется индексацией при помощи двоеточия. Введите матрицу

и затем выделите подматрицу с элементами , задав номера строк и столбцов при помощи двоеточия:

Для выделения из матрицы столбца или строки (то есть массива, у которого один из размеров равен единице) следует в качестве одного из индексов использовать номер столбца или строки матрицы, а другой индекс заменить двоеточием без указания пределов. Например, запишите вторую строку матрицы Р в вектор р

При выделении блока до конца матрицы можно не указывать ее размеры, а использовать элемент end:

6. Удаление строк и столбцов

В MatLab парные квадратные скобки [ ] обозначают пустой массив, который, в частности, позволяет удалять строки и столбцы матрицы. Для удаления строки следует присвоить ей пустой массив. Удалите, например, первую строку квадратной матрицы:

Обратите внимание на соответствующее изменение размеров массива, которое можно проверить при помощи size:

Аналогичным образом удаляются и столбцы. Для удаления нескольких идущих подряд столбцов (или строк) им нужно присвоить пустой массив. Удалите второй и третий столбец в массиве M

Индексация существенно экономит время при вводе матриц, имеющих определенную структуру.

7. Заполнение матриц при помощи индексации

Выше было описано несколько способов ввода матриц в MatLab. Однако часто бывает проще сгенерировать матрицу, чем вводить ее, особенно если она обладает простой структурой. Рассмотрим пример такой матрицы:

Генерация матрицы Т осуществляется в три этапа:
1. Создание массива T размера пять на пять, состоящего из нулей.
2. Заполнение первой строки единицами.
3. Заполнение части последней строки минус единицами до последнего элемента.
Соответствующие команды MatLab приведены ниже.

» A(1:5, 1:5) = 0
A=
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
» A(1, �� = 1
A=
1 1 1 1 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
» A(end, 3:end) = -1
A=
1 1 1 1 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 -1 -1 -1

Создание некоторых специальных матриц в MatLab осуществляется при помощи встроенных функций.

8. Создание матриц специального вида

Заполнение прямоугольной матрицы нулями производится встроенной функцией zeros, аргументами которой являются число строк и столбцов матрицы:

» A = zeros(3, 6)
A =
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0

Один аргумент функции zeros приводит к образованию квадратной матрицы заданного размера:

» A = zeros(3)
A =
0 0 0
0 0 0
0 0 0

Единичная матрица инициализируется при помощи функции eye:

» I = eye(4)
I=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

Функция eye с двумя аргументами создает прямоугольную матрицу, у которой на главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы равны нулю:

» I = eye(4, 8)
I =
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0

Матрица, состоящая из единиц, образуется в результате вызова функции
ones:

» E = ones(3, 7)
E =
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1

Использование одного аргумента в ones приводит к созданию квадратной матрицы, состоящей из единиц.

MatLab предоставляет возможность заполнения матриц случайными элементами. Результатом функции rand является матрица чисел, распределенных случайным образом между нулем и единицей, а функции randn — матрица чисел, распределенных по нормальному закону:

» R = rand(3, 5)
R =
0.9501 0.4860 0.4565 0.4447 0.9218
0.2311 0.8913 0.0185 0.6154 0.7382
0.6068 0.7621 0.8214 0.7919 0.1763

Один аргумент функций rand и randn приводит к формированию квадратных матриц:
Часто возникает необходимость создания диагональных матриц, т.е. матриц, у которых все недиагональные элементы равны нулю. Функция diag формирует диагональную матрицу из вектор-столбца или вектор-строки, располагая их элементы по диагонали матрицы:

» d = [1; 2; 3; 4];
» D = diag(d)
D =
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 4

Функция diag служит и для выделения диагонали матрицы в вектор, например

» A = [10 1 2; 1 20 3; 2 3 30];
» d = diag(A)
d =
10
20
30

9. Поэлементные операции с матрицами

Поскольку векторы и матрицы хранятся в двумерных массивах, то применение математических функций к матрицам и поэлементные операции производятся так же, как для векторов.
Введите две матрицы

Умножение каждого элемента одной матрицы на соответствующий элемент другой производится при помощи оператора .*:

Для деления элементов первой матрицы на соответствующие элементы второй используется оператор ./, а для деления элементов второй матрицы на соответствующие элементы первой служит .:

» R1 = А./В1
R1 =
-2.0000 2.5000 -0.1250
0.4286 -1.3333 -1.8000
» R2 = А.В1
R2 =
-0.5000 0.4000 -8.0000
2.3333 -0.7500 -0.5556

Поэлементное возведение в степень осуществляется при помощи оператора .^. Показатель степени может быть числом или матрицей того же размера, что и матрица, возводимая в степень. Во втором случае элементы первой матрицы возводятся в степени, равные элементам второй матрицы.

10. Визуализация матриц

Матрицы с достаточно большим количеством нулей называются разреженными. Часто необходимо знать, где расположены ненулевые элементы, т.е. получить так называемый шаблон матрицы. Для этого в MatLab служит функция spy. Посмотрим шаблон матрицы G
.

После выполнения команды spy на экране появляется графическое окно Figure No. 1. На вертикальной и горизонтальной осях отложены номера строк и столбцов. Ненулевые элементы обозначены маркерами, внизу графического окна указано число ненулевых элементов (nz = 19).
Наглядную информацию о соотношении величин элементов матрицы дает функция imagesc, которая интерпретирует матрицу как прямоугольное изображение. Каждый элемент матрицы представляется в виде квадратика, цвет которого соответствует величине элемента. Для того чтобы узнать соответствие цвета и величины элемента следует использовать команду colorbar, выводящую рядом с изображением матрицы шкалу цвета (Insert (в графическом окне Figure No. 1), colorbar). Наконец, для печати на монохромном принтере удобно получить изображение в оттенках серого цвета, используя команду colormap(gray) (Edit (в графическом окне Figure No. 1), Colormap, Colormap Editor, Tools, gray). Мы будем работать с матрицей G. Набирайте команды, указанные ниже, и следите за состоянием графического окна:

Работа с матрицами в matlab

1. Различные способы ввода матриц в пакете MatLab

» А = [3 1 -1; 2 4 3]
А =
3 1 -1
2 4 3

Начните набирать в командной строке

2 7 0
-5 1 2]
B =
4 3 -1
2 7 0
-5 1 2

можно ввести при помощи команды:

» С = [[3; 4] [-1; 2] [7; 0]]
С =
3 -1 7
4 2 0

Посмотрите переменные рабочей среды, набрав в командной строке whos:

А 2×3 48 double array
В 3×3 72 double array
С 2×3 48 double array

Итак, в рабочей среде содержится три матрицы, две прямоугольные и одна квадратная.

2. Обращение к элементам матриц в пакете MatLab

Доступ к элементам матриц осуществляется при помощи двух индексов — номеров строки и столбца, заключенных в круглые скобки, например

Элементы матриц могут входить в состав выражений:

[А(1,1) А(2,1) . А(m,1) . А(1,n) А(2,n) . А(m,n)].

[C(1,1) C(2,1) C(1,2) С(2,2) С(1,3) С(2,3)],

который имеет шесть компонент. Доступ к элементам матрицы осуществляется следующим образом:

3. Операции над матрицами в пакете MatLab: сложение, вычитание, умножение, транспонирование и возведение в степень

Следите за совпадением размерности, иначе получите сообщение об ошибке:

» S = А+В
. Error using ==> ±
Matrix dimensions must agree.

Для умножения матриц предназначена звездочка:

» Р = С*В
P =
-25 9 11
20 26 -4

» Р = А*3
Р =
9 3 -3
6 12 -3
» Р = 3*А
Р =
9 3 -3
6 12 9

Замечание 1

Сопряжение и транспонирование матриц, содержащих комплексные числа, приведут к созданию разных матриц:

»K= [l-i, 2+3i; 3-5i, l-9i]
К = 1.0000 – 1.0000i 2.0000 + 3.0000i
3.0000 – 5.0000i 1.0000 – 9.0000i
»K’
ans =
1.0000 + 1.0000i 3.0000 + 5.0000i
2.0000 – 3.0000i 1.0000 + 9.0000i

» K.’
ans =
1.0000 — 1.0000i 3.0000 — 5.0000i
2.0000 + 3.0000i 1.0000 — 9.0000i

Замечание 2

Возведение квадратной матрицы в целую степень производится с использованием оператора ^:

» В2 = В^2
B2 =
27 32 -6
22 55 -2
-28 -6 9

4. Умножение матриц и векторов

можно осуществить следующим образом:

5. Блочные матрицы

Очень часто в приложениях возникают так называемые блочные матрицы, т.е. матрицы, составленные из непересекающихся подматриц (блоков). Рассмотрим вначале конструирование блочных матриц. Введите матрицы: , , , и создайте из них блочную матрицу .
Учитывая, что матрица К состоит из двух строк, в первой строке матрицы А и B, а во второй — С и D, блочную матрицу можно сформировать следующим образом:

» К = [А В; С D]
K =
-1 4 2 0
-1 4 0 5
3 -3 8 9
-3 3 1 10

Блочную матрицу можно получить и другим способом, если считать, что матрица К состоит из двух столбцов, в первом — матрицы А и С, а во втором — В и D:

и затем выделите подматрицу с элементами , задав номера строк и столбцов при помощи двоеточия:

При выделении блока до конца матрицы можно не указывать ее размеры, а использовать элемент end:

6. Удаление строк и столбцов

Обратите внимание на соответствующее изменение размеров массива, которое можно проверить при помощи size:

Индексация существенно экономит время при вводе матриц, имеющих определенную структуру.

7. Заполнение матриц при помощи индексации

Создание некоторых специальных матриц в MatLab осуществляется при помощи встроенных функций.

8. Создание матриц специального вида

» A = zeros(3, 6)
A =
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0

Один аргумент функции zeros приводит к образованию квадратной матрицы заданного размера:

» A = zeros(3)
A =
0 0 0
0 0 0
0 0 0

Единичная матрица инициализируется при помощи функции eye:

» I = eye(4)
I=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

» I = eye(4, 8)
I =
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0

Матрица, состоящая из единиц, образуется в результате вызова функции
ones:

» E = ones(3, 7)
E =
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1

Использование одного аргумента в ones приводит к созданию квадратной матрицы, состоящей из единиц.

» R = rand(3, 5)
R =
0.9501 0.4860 0.4565 0.4447 0.9218
0.2311 0.8913 0.0185 0.6154 0.7382
0.6068 0.7621 0.8214 0.7919 0.1763

» d = [1; 2; 3; 4];
» D = diag(d)
D =
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 4

Функция diag служит и для выделения диагонали матрицы в вектор, например

» A = [10 1 2; 1 20 3; 2 3 30];
» d = diag(A)
d =
10
20
30

9. Поэлементные операции с матрицами

» R1 = А./В1
R1 =
-2.0000 2.5000 -0.1250
0.4286 -1.3333 -1.8000
» R2 = А.В1
R2 =
-0.5000 0.4000 -8.0000
2.3333 -0.7500 -0.5556

10. Визуализация матриц

В результате получается наглядное представление матрицы.

Работа с матрицами.

Матрица — прямоугольная таблица.

dim A (dimention — размерность) = n*m.

Это означает, что матрица имеет n строк и m столбцов.

Квадратная матрица — важнейший частный случай.

Если элементы главной диагонали равны 1, а остальные равны 0, то такая матрица называется "единичной" (обозначение: E или I).

Пример: определить матрицу для системы MATLAB.

Решение: в системе MATLAB для матриц применяются буквенные обозначения. Множество элементов записывается в квадратных скобках "[]"; элементы одной строки записываются через запятую или через пробел, строки разделяются точкой с запятой ";".

A = [3 2; 1 4];
или
A = [3 2; 1 4]

A = [3, 2; 1, 4];
или
A = [3, 2; 1, 4]

Рассмотрим различия между строками: очевидно, различие между парами строк состоит лишь в использовании запятой или пробела (см. выше). Другой вопрос — использовать ли точку с запятой в конце строки?

Если Вы хотите, чтобы система MatLab отобразила результат операции в рабочем поле, точку с запятой ставить не нужно.

Приведем результаты работы программ:

Без точки с запятой:

С точкой с запятой:

Любое число является матрцей размерностью 1*1.

Действия над матрицами:

A+B — сложение (размерности матиц должны совпадать): A+B = [a_ij+b_ij] — складываются соответственнае элементы. Команда MATLAB: A+B;
c*A — умножение на скаляр (с — скаляр, т.е. какое-то число). Команда MATLAB: 2*A;
A*B — умножение матриц (количество столбцов первой матрицы должно быть равно количеству строк второй). Итоговая матрица имеет размерность: * . Команда MATLAB: A*B;

Внимание! A*B не равно(!) B*A.

Для матриц не определена операция деления (X = b/A). Зато есть операция нахождения обратной матрицы (Команда MATLAB: A -1 ). Тогда X = A -1 *b. Команда MATLAB: X = A^(-1).

Умножение матриц (MATLAB).

Узнать, как математически выполняется умножение матриц, можно в соответствующем разделе: Математика/Умножение матриц.

В MATLAB у множение записывается при помощи оператора * или .* (для поэлементного умножения).

Пример: выполнить умножение матриц в системе MATLAB:

Определитель квадратной матрицы.

Естественно, необходимо знать, как математически вычисляется определитель матриц. Почитайте в соответствующем разделе: Математика/Определитель (детерминант) матрицы.

В MATLAB нахождение определителя записывается при помощи команды det( ).

Пример: найти определитель матрицы A = [0 1; 2 0] с помощью MATLAB.

Обратная матрица.

Обязательно прочитайте, как математически вычисляется обратная матрица, в соответствующем разделе: Математика/Нахождение обратных матриц.

В MATLAB нахождение обратных матриц записывается при помощи команды ^(-1).

Пример: найти обратную матрицу для A = [2 3 1; 2 8 0; 5 6 3] с помощью MATLAB.

Ответ: A -1 =[12 -1.5 -4; -3 0.5 1; -14 1.5 5].

2. Матрица столбец. В качестве разделителя элементов применяется символ «;»:

3. Квадратная или прямоугольная матрица:

>> C = [5 6 9; 56 45 73; 15,21,36];

4. Генерация вектора. Синтаксис: = : : . Если не указать шаг, то по умолчанию он принимается за 1.

5. Единичная матрица. Синтаксис: =ones( , ).

6. Нулевая матрица. Синтаксис: =zeros( , );

Доступ к ячейкам матрицы. Синтаксис: ( , ). Необходимо помнить, что нумерация строк и столбцов начинается с 1.

Операции с матрицами:

Цель работы: знакомство с основными командами системы MATLAB

MATLAB – это высокопроизводительный язык для технических расчетов. Он включает в себя вычисления, визуализацию и программирование в удобной среде, где задачи и решения выражаются в форме, близкой к математической. Типичное использование MATLAB – это:

MATLAB – это интерактивная система, в которой основным элементом данных является массив. Это позволяет решать различные задачи, связанные с техническими вычислениями, особенно в которых используются матрицы и вектора, в несколько раз быстрее, чем при написании программ с использованием “скалярных” языков программирования, таких как Си или Фортран .

Слово MATLAB означает матричная лаборатория ( matrix laboratory ). MATLAB был специально написан для обеспечения легкого доступа к LINPACK и EISPACK , которые представляют собой современные программные средства для матричных вычислений.

MATLAB развивался в течении нескольких лет, ориентируясь на различных пользователей. В университетской среде, он представлял собой стандартный инструмент для работы в различных областях математики, машиностроении и науки. В промышленности, MATLAB – это инструмент для высокопродуктивных исследований, разработок и анализа данных.

В MATLAB важная роль отводится специализированным группам программ, называемых toolboxes . Они очень важны для большинства пользователей MATLAB , так как позволяют изучать и применять специализированные методы. Toolboxes – это всесторонняя коллекция функций MATLAB (М-файлов), которые позволяют решать частные классы задач. Toolboxes применяются для обработки сигналов, систем контроля, нейронных сетей, нечеткой логики, вэйвлетов, моделирования и т.д.

СИСТЕМА MATLAB

Система MATLAB состоит из пяти основных частей:

Программный интерфейс. Это библиотека, которая позволяет писать программы на Си и Фортране , которые взаимодействуют с MATLAB . Она включает средства для вызова программ из MATLAB (динамическая связь), вызывая MATLAB как вычислительный инструмент и для чтения-записи МАТ-файлов.

О SIMULINK

Simulink , сопутствующая MATLAB программа, – это интерактивная система для моделирования нелинейных динамических систем. Она представляет собой среду, управляемую мышью, которая позволяет моделировать процесс путем перетаскивания блоков диаграмм на экране и их манипуляцией. Simulink работает с линейными, нелинейными, непрерывными, дискретными, многомерными системами.

Blocksets – это дополнения к Simulink , которые обеспечивают библиотеки блоков для специализированных приложений, таких как связь, обработка сигналов, энергетические системы.

Real-Time Workshop – это программа, которая позволяет генерировать С код из блоков диаграмм и запускать их на выполнение на различных системах реального времени.

МАТРИЦЫ И МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

Лучший способ начать работу с MATLAB — это научиться обращаться с матрицами. В MATLAB матрица – это прямоугольный массив чисел. Особое значение придается матрицам 1×1, которые являются скалярами, и матрицам, имеющим один столбец или одну строку, — векторам. MATLAB использует различные способы для хранения численных и не численных данных, однако вначале лучше всего рассматривать все данные как матрицы. MATLAB организован так, чтобы все операции в нем были как можно более естественными. В то время как другие программные языки работают с числами как элементами языка, MATLAB позволяет вам быстро и легко оперировать с целыми матрицами.

Хороший пример матрицы можно найти на гравюре времен Ренессанса художника и любителя математики Альбрехта Дюрера. Это изображение содержит много математических символов, и если хорошо присмотреться, то в верхнем правом углу можно заметить квадратную матрицу. Это матрица известна как магический квадрат и во времена Дюрера считалось, что она обладает магическими свойствами. Она и на самом деле обладает замечательными свойствами, стоящими изучения.

ВВОД МАТРИЦ

Вы можете вводить матрицы в MATLAB несколькими способами:

Начтем с введения матрицы Дюрера как списка элементов. Вы должны следовать нескольким основным условиям:

Чтобы ввести матрицу Дюрера просто напишите (рис. 1.1):

A = [16 3 2 13; 5 10 11 8; 9 6 7 12; 4 15 14 1]

MATLAB отобразит матрицу, которую мы ввели,

A =

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Рис. 1.1 Пример фрагмента командного окна MATLAB

Это точно соответствует числам на гравюре. Если мы ввели матрицу, то она автоматически запоминается средой MATLAB . И мы можем к ней легко обратиться как к А. Сейчас мы имеем А в рабочем пространстве MATLAB (рис. 1.2)

Рис. 1.2 Пример фрагмента рабочего пространства MATLAB

ОПЕРАЦИИ СУММИРОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ, ТРАНСПОНИРОВАНИЯ И ДИАГОНАЛИЗАЦИИ МАТРИЦЫ

Вы возможно уже знаете, что особые свойства магического квадрата связаны с различными способами суммирования его элементов. Если вы берёте сумму элементов вдоль какой-либо строки или столбца, или вдоль какой-либо из двух главных диагоналей, вы всегда получите одно и тоже число. Давайте проверим это, используя MATLAB . Первое утверждение, которое мы проверим —

sum(A)

MATLAB выдаст ответ

ans =

34 34 34 34

Когда выходная переменная не определена, MATLAB использует переменную ans, коротко от answer – ответ, для хранения результатов вычисления. Мы подсчитали вектор-строку, содержащую сумму элементов столбцов матрицы А. Действительно, каждый столбец имеет одинаковую сумму, магическую сумму, равную 34.

А как насчет сумм в строках? MATLAB предпочитает работать со столбцами матрицы, таким образом, лучший способ получить сумму в строках – это транспонировать нашу матрицу, подсчитать сумму в столбцах, а потом транспонировать результат. Операция транспонирования обозначается апострофом или одинарной кавычкой. Она зеркально отображает матрицу относительно главной диагонали и меняет строки на столбцы. Таким образом

вызывает

ans =

16 5 9 4

3 10 6 15

2 11 7 14

13 8 12 1

вызывает результат вектор-столбец, содержащий суммы в строках

ans =

Сумму элементов на главной диагонали можно легко получить с помощью функции diag, которая выбирает эту диагональ.

diag(A)

ans =

sum(diag(A))

ans =

Таким образом, мы проверили, что матрица на гравюре Дюрера действительно магическая, и научились использовать некоторые матричные операции MATLAB . В последующих разделах мы продолжим использовать эту матрицу для демонстрации дополнительных возможностей MATLAB .

ИНДЕКСЫ

Элемент в строке i и столбце j матрицы А обозначается A(i,j). Например, А(4,2) – это число в четвертой строке и втором столбце. Для нашего магического квадрата А(4,2) = 15. Таким образом, можно вычислить сумму элементов в четвертом столбце матрицы А, набрав

A(1,4) + A(2,4) + A(3,4) + A(4,4)

ans =

Однако это не самый лучший способ суммирования отдельной строки.

Также возможно обращаться к элементам матрицы через один индекс, А(k). Это обычный способ ссылаться на строки и столбцы матрицы. Но его можно использовать только с двумерными матрицами. В этом случае массив рассматривается как длинный вектор, сформированный из столбцов исходной матрицы.

Так, для нашего магического квадрата, А(8) – это другой способ ссылаться на значение 15, хранящееся в А(4,2).

Если вы пытаетесь использовать значение элемента вне матрицы, MATLAB выдаст ошибку:

. Index exceeds matrix dimensions.

С другой стороны, если вы сохраняете значение вне матрицы, то размер матрицы увеличивается.

X(4,5) = 17

16 3 2 13 0

5 10 11 8 0

9 6 7 12 0

4 15 14 1 17

ОПЕРАТОР ДВОЕТОЧИЯ

Двоеточие, : , – это один из наиболее важных операторов MATLAB . Он проявляется в различных формах. Выражение

1:10

ans =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Для получения обратного интервала, опишем приращение. Например

100:-7:50

ans =

100 93 86 79 72 65 58 51

0:pi/4:pi

ans =

0 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416

Индексное выражение, включая двоеточие, относится к части матрицы. A(1:k, j) – это первые к элементов j-го столбца матрицы А.

Так sum(A(4, 1:4))
вычисляет сумму четвертой строки. Но есть и лучший способ. Двоеточие, само по себе, обращается ко всем элементам в строке и столбце матрицы, а слово end — к последней строке или столбцу. Так

sum(A(:,end))

вычисляет сумму элементов в последнем столбце матрицы А

ans =

Почему магическая сумма квадрата 4×4 равна 34? Если целые числа от 1 до 16 отсортированы в четыре группы с равными суммами, эта сумма должна быть

sum(1:16)/4

которая, конечно, равна

ans =

ФУНКЦИЯ MAGIC

MATLAB на самом деле обладает встроенной функцией, которая создает магический квадрат почти любого размера. Не удивительно, что эта функция называется magic.

B=magic(4)

B =

16 2 3 13

5 11 10 8

9 7 6 12

4 14 15 1

Эта матрица почти та же матрица, что и на гравюре Дюрера, и она имеет все те же магические свойства. Единственное отличие заключается в том, что два средних столбца поменялись местами. Для того чтобы преобразовать В в матрицу Дюрера
А, переставим их местами.

A=B(:,[1 3 2 4])

Это означает, что для каждой строки матрицы В элементы переписываются в порядке 1, 3, 2, 4

A =

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Почему Дюрер переупорядочил столбцы, по сравнению с тем, что использует MATLAB ? Без сомнения, он хотел включить дату гравюры, 1514, в нижнюю часть магического квадрата.

ВЫРАЖЕНИЯ

Как и большинство других языков программирования, MATLAB предоставляет возможность использования математических выражений, но в отличие от многих из них, эти выражения в MATLAB включают матрицы. Основные составляющие выражения:

ПЕРЕМЕННЫЕ

В MATLAB нет необходимости в определении типа переменных или размерности. Когда MATLAB встречает новое имя переменной, он автоматически создает переменную и выделяет соответствующий объем памяти. Если переменная уже существует, MATLAB изменяет ее состав и если это необходимо выделяет дополнительную память. Например,

num_students = 25

создает матрицу 1×1 с именем num_students и сохраняет значение 25 в ее единственном элементе.

Имена переменных состоят из букв, цифр или символов подчеркивания. MATLAB использует только первые 31 символ имени переменной. MATLAB чувствителен к регистрам, он различает заглавные и строчные буквы. Поэтому А и а – не одна и та же переменная. Чтобы увидеть матрицу связанную с переменной, просто введите название переменной.

ЧИСЛА

MATLAB использует принятую десятичную систему счисления, с необязательной десятичной точкой и знаками плюс-минус для чисел. Научная система счисления использует букву е для определения множителя степени десяти. Мнимые числа используют i или j как суффикс.

Все числа для хранения используют формат long, определенный стандартом плавающей точки IЕЕ. Числа с плавающей точкой обладают ограниченной точностью – приблизительно 16 значащих цифр и ограниченным диапазоном -приблизительно от 10 -308 до 10 308 (Компьютер VAX использует другой формат чисел с плавающей точкой, но их точность и диапазон приблизительно те же).

ОПЕРАТОРЫ

Выражения используют обычные арифметические операции и правила старшинства.

\ левое деление(описано в разделе Матрицы и Линейная Алгебра в книге

‘ комплексно сопряженное транспонирование

() определение порядка вычисления

ФУНКЦИИ

MATLAB предоставляет большое количество элементарных математических функций, таких как abs, sqrt, exp, sin. Вычисление квадратного корня или логарифма отрицательного числа не является ошибкой: в этом случае результатом является соответствующее комплексное число. MATLAB также предоставляет и более сложные функции, включая Гамма-функцию и функции Бесселя. Большинство из этих функций имеют комплексные аргументы. Чтобы вывести список всех элементарных математических функций, наберите

help elfun

Для вывода более сложных математических и матричных функций, наберите

help specfun

help elmat

Некоторые функции, такие как sqrt и sin, – встроенные. Они являются частью MATLAB , поэтому они очень эффективны, но их вычислительные детали трудно доступны. В то время как другие функции, такие как gamma и sink, реализованы в М-файлах. Поэтому вы можете легко увидеть их код и, в случае необходимости, даже модифицировать его.

Несколько специальных функций предоставляют значения часто используемых констант.

i мнимая единица

j то же самое, что и i

eps относительная точность числа с плавающей точкой

realmin наименьшее число с плавающей точкой

realmax наибольшее число с плавающей точкой

Бесконечность появляется при делении на нуль или при выполнении математического выражения, приводящего к переполнению, т.е. к превышению realmax. Не число (NaN) генерируется при вычислении выражений типа 0/0 или Inf- Inf, которые не имеют определенного математического значения.

Имена функций не являются зарезервированными, поэтому возможно изменять их значения на новые, например

eps = 1.e-6

и далее использовать это значение в последующих вычислениях. Начальное значение может быть восстановлено следующим образом

clear eps

ВЫРАЖЕНИЯ

Вы уже познакомились с некоторыми примерами использования выражений в MATLAB. Ниже приведено еще несколько примеров с результатами.

rho = (1+sqrt(5))/2

а = abs(3+4i)

а =

z = sqrt(besselk(4/3,rho-i))

huge = exp(log(realmax))

toobig = pi*huge

ГЕНЕРИРОВАНИЕ МАТРИЦ

MATLAB имеет четыре функции, которые создают основные матрицы:

ones все единицы

rand равномерное распределение случайных элементов

randn нормальное распределение случайных элементов

Z = zeros(2,4)

Z =

0 0 0 0

F = 5*ones(3,3)

5 5 5

N = fix(10*rand(1,10))

N =

9 2 6 4 8 7 4 0 8 4

R = randn(4,4)

R =

-0.4326 -1.1465 0.3273 -0.5883

-1.6656 1.1909 0.1746 2.1832

0.1253 1.1892 -0.1867 -0.1364

0.2877 -0.0376 0.7258 0.1139

ЗАГРУЗКА МАТРИЦ

Команда load считывает двоичные файлы, содержащие матрицы, созданные в MATLAB ранее, или текстовые файлы, содержащие численные данные. Текстовые файлы должны быть сформированы в виде прямоугольной таблицы чисел, отделенных пробелами, с равным количеством элементов в каждой строке. Например, создадим вне MATLAB текстовой файл, содержащий 4 строки:

16.0 3.0 2.0 13.0

5.0 10.0 11.0 8.0

9.0 6.0 7.0 12.0

4.0 15.0 14.0 1.0

Сохраним этот файл под именем magik.dat. Тогда команда load magik.dat прочитает этот файл и создаст переменную magik, содержащую нашу матрицу.

ОБЪЕДИНЕНИЕ

Объединение – это процесс соединения маленьких матриц для создания больших. Фактически, вы создали вашу первую матрицу объединением её отдельных элементов. Пара квадратных скобок – это оператор объединения. Например, начнем с матрицы А (магического квадрата 4×4) и сформируем

В = [А А+32; А+48 А+16]

Результатом будет матрица 8×8, получаемая соединением четырех подматриц

16 3 2 13 48 35 34 45

5 10 11 8 37 42 43 40

9 6 7 12 41 38 39 44

4 15 14 1 36 47 46 33

64 51 50 61 32 19 18 29

53 58 59 56 21 26 27 24

57 54 55 60 25 22 23 28

52 63 62 49 20 31 30 17

Это матрица лишь наполовину является магической. Её элементы представляют собой комбинацию целых чисел от 1 до 64, а суммы в столбцах точно равны значению для магического квадрата 8×8.

sum (В)

ans =

260 260 260 260 260 260 260 260

Однако, суммы в строках этой матрицы ( sum(B’)’ ) не все одинаковы. Необходимо провести дополнительные операции, чтобы сделать эту матрицу действительно магическим квадратом 8×8.

УДАЛЕНИЕ СТРОК И СТОЛБЦОВ

Вы можете удалять строки и столбцы матрицы, используя просто пару квадратных скобок. Рассмотрим

X = А;

Теперь удалим второй столбец матрицы X.

Эта операция изменит X следующим образом

X =

16 2 13

5 11 8

9 7 12

4 14 1

Если вы удаляете один элемент матрицы, то результат уже не будет матрицей. Так выражение

результатом вычисления выдаст ошибку. Однако использование одного индекса удаляет отдельный элемент или последовательность элементов и преобразует оставшиеся элементы в вектор-строку. Так

X(2:2:10) = []

X =

16 9 2 7 13 12 1

ПЕРЕМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ

При перемножении двух матриц используется оператор ‘*’. Например, если

A =

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

B =

16 4 7 3

5 -7 2 9

0 8 23 65

-7 4 17 9

Тогда С = А*В даст результат

С =

180 111 385 322

74 70 444 892

90 98 440 644

132 27 397 1066

Также в системе MATLAB предусмотрена возможность поэлементного перемножения. Для этой цели используется точка перед знаком умножения. Например:

C = A.*B

C =

256 12 14 39

25 -70 22 72

0 48 161 780

-28 60 238 9

СОЗДАНИЕ М-ФАЙЛОВ

M-файлы являются обычными текстовыми файлами, которые создаются с помощью текстового редактора. Для операционной среды персонального компьютера система MATLAB поддерживает специальный встроенный редактор/отладчик, хотя можно использовать и любой другой текстовый редактор с ASCII-кодами.

Открыть редактор можно двумя способами:

М-функции являются M-файлами, которые допускают наличие входных и выходных аргументов. Они работают с переменными в пределах собственной рабочей области, отличной от рабочей области системы MATLAB .

Функция average – это достаточно простой M-файл, который вычисляет среднее значение элементов вектора:

function y = average (x)

% AVERAGE Среднее значение элементов вектора.

% AVERAGE(X), где X – вектор. Вычисляет среднее значение элементов

% Если входной аргумент не является вектором, генерируется ошибка.

((m == 1) | (n == 1)) | (m == 1 & n == 1))

error(‘Входной массив должен быть вектором’)

y =sum(x)/length(x); % Собственно вычисление

Попробуйте ввести эти команды в M-файл, именуемый average.m . Функция average допускает единственный входной и единственный выходной аргументы. Для того чтобы вызвать функцию average , надо ввести следующие операторы:

z = 1:99;

average(z)

ans = 50

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛОВ

Среднее значение сигнала (его постоянная составляющая) определяется по следующей формуле:

(1.1)

Среднеквадратичное отклонение (СКО, девиация, переменная составляющая) сигнала определяется по следующей формуле:

(1.2)

Значение статистической ошибки принимаемого сигнала определяется по следующей формуле:

(1.3)

Функция нормального распределения описывается следующей формулой:

(1.4)

Как транспонировать матрицу в матлаб

Matlab операции с матрицами

1. Различные способы ввода матриц в пакете MatLab

2. Обращение к элементам матриц в пакете MatLab

3. Операции над матрицами в пакете MatLab: сложение, вычитание, умножение, транспонирование и возведение в степень

4. Умножение матриц и векторов

5. Блочные матрицы

6. Удаление строк и столбцов

7. Заполнение матриц при помощи индексации

8. Создание матриц специального вида

9. Поэлементные операции с матрицами

10. Визуализация матриц

Работа с матрицами в matlab

1. Различные способы ввода матриц в пакете MatLab

2. Обращение к элементам матриц в пакете MatLab

3. Операции над матрицами в пакете MatLab: сложение, вычитание, умножение, транспонирование и возведение в степень

4. Умножение матриц и векторов

5. Блочные матрицы

6. Удаление строк и столбцов

7. Заполнение матриц при помощи индексации

8. Создание матриц специального вида

9. Поэлементные операции с матрицами

10. Визуализация матриц

Работа с матрицами.

Действия над матрицами:

Умножение матриц (MATLAB).

Определитель квадратной матрицы.

Обратная матрица.

Цель работы: знакомство с основными командами системы MATLAB

СИСТЕМА MATLAB

О SIMULINK

МАТРИЦЫ И МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

ВВОД МАТРИЦ

A = [16 3 2 13; 5 10 11 8; 9 6 7 12; 4 15 14 1]

ОПЕРАЦИИ СУММИРОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ, ТРАНСПОНИРОВАНИЯ И ДИАГОНАЛИЗАЦИИ МАТРИЦЫ

ИНДЕКСЫ

ОПЕРАТОР ДВОЕТОЧИЯ

ФУНКЦИЯ MAGIC

ВЫРАЖЕНИЯ

ПЕРЕМЕННЫЕ

ЧИСЛА

ОПЕРАТОРЫ

ФУНКЦИИ

ВЫРАЖЕНИЯ

ГЕНЕРИРОВАНИЕ МАТРИЦ

ЗАГРУЗКА МАТРИЦ

ОБЪЕДИНЕНИЕ

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛОВ

Добавить комментарий Отменить ответ