Как считать площадь в полярных координатах

IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум — 2017

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ В ДЕКАРТОВЫХ И ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ

Т- любое разбиение на . Составим сумму Дарбу:

Сумма s – площадь ступенчатого многоугольника (А), содержащегося в (Р), S – площадь ступенчатого многоугольника (В), содержащего (Р). cм [1]

Так как f(x) — непрерывна, то она интегрируема на . Значит, и фигура (Р) квадрируема, а ее площадь Р равна общему пределу S и s, то есть

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной функцией и осью Ох.

II. Пусть кривая задана полярным уравнением и непрерывна на . Фигура, ограниченная кривой и двумя радиусами-векторами называется сектором (Р).

Разобьем на n частичных секторов. Рассмотрим n-ный сектор. Обозначим

Круговые секторы с углом и радиусами и имеют соответственно площади

Рассмотрим две фигуры (Q) и (R), составленные из круговых секторов с радиусами и соответственно.

Фигура (Q) содержится в (Р), (R) содержит (Р). Суммы Q и R являются суммами Дарбу для функции на . Эта функция непрерывна и потому интегрируема на . Значит при , то есть (Р) квадрируема и

Пример 2. Найти площадь спирали Архимеда

Пример 3. Вычислить площадь следующей функции:

Ищем решение при а=1

Список используемой литературы:

4. Виленкин Н.Я., Мордкович А.Г., Куницкая Е.С. Математический анализ, интегральное исчисление // М.: Просвещение, 1988. Гл. 3; 96 с.

5. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа // М.: Физматлит, 2005 Часть 1; 648 с.

6. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике // М.: Высшая школа, 1983. Часть 4. С. 83.

7. Миронов Н.П. Лекции по математическому анализу // Елабуга: Елабужский гос. пед. институт, 1999. Часть 3; 64 с.

8. Уваренков И.М., Маллер Н.З. Курс математического анализа // М.: Просвещение, 1996. Т. 1; 629 с.

Как считать площадь в полярных координатах

Пусть в полярной системе координат имеем кривую, заданную уравнением где непрерывная функция при

Определим площадь сектора ОАВ, ограниченного кривой и радиус-векторами

Разобьем данную область радиус-векторами на частей. Обозначим через углы между проведенными радиус-векторами (рис. 237).

Обозначим через длину радиус-вектора, соответствующего какому-нибудь углу заключенному между .

Рассмотрим круговой сектор с радиусом — и центральным углом . Его площадь будет равна Сумма даст площадь «ступенчатого» сектора.

Так как эта сумма является интегральной суммой для функции на отрезке то ее предел при есть определенный интеграл Он не зависит от того, — а какой радиус-вектор , мы возьмем внутри угла Этот предел естественно считать искомой площадью фигуры Таким образом, площадь сектора ОАВ равна

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой (рис. 238) .

Решение. Радиус-вектор опишет область с площадью, равной четверти искомой площади, если 0 меняется от 0 до

Как считать площадь в полярных координатах

Площадь фигуры, заданной в полярных координатах

Рассмотрим примеры вычисления площади фигуры, заданной в полярных координатах кривой ρ= ρ(φ), с помощью определенного интеграла по формуле

Пример 1. Вычислить площадь, ограниченную одним лепестком розы

Решение.

Шаг 1. Выполним рисунок графика функции с помощью калькулятора построения графиков функций в полярных координатах.

Шаг 2. Из рисунка видно, что угол φ в первой четверти изменяется от 0 до π/2 , следовательно границы интегрирования φ₁=0, φ₂= π/2

Шаг 3. Уравнение кривой , и границы φ₁=0, φ₂= π/2, подставляем в формулу

получаем площадь фигуры:

Замечание. Вычислить площадь фигуры в полярных координатах можно с помощью калькулятора