Как перейти к полярным координатам

Переход к полярным координатам

В качестве примера замены переменных в двойном интеграле рассмотрим переход к полярным координатам. Пусть в декартовой системе координат задана область ограниченная кривой В плоскости кроме декартовой, введем полярную систему координат, поместив полюс в точку и направив полярную ось по в положительном направлении (рис. 13.11). Пусть — декартовы координаты точки области а — полярные координаты этой точки. Как видно из рис. 13.11,

Границы области

Пусть граница области задана уравнениями в полярных координатах, а именно, участок кривой задан уравнением а участок кривой — уравнением Отметим, что уравнение определяет ось а уравнение — соответственно ось Отметим также, что при фиксированном в значения суть расстояния и соответственно.

Введем еще одну декартову систему В этой системе уже декартовы координаты точки плоскости в то время как в плоскости они являются полярными координатами соответствующей точки.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

По формулам (13.13) каждой точке области будет отвечать точка области в плоскости и тем самым в этой плоскости получим область с границей в которую (согласно формулам (13.15)) переходит область плоскости (рис. 13.12). Уравнения в плоскости определяют прямые, параллельные оси Между этими прямыми расположена область Ясно, что участку кривой с уравнением отвечает участок кривой с тем же уравнением так как полярные координаты точки кривой являются декартовыми координатами соответствующей точки кривой Линии отвечает часть кривой с уравнением Для функций (13.15) вычислим определитель Якоби (13.13), положив в нем

Таким образом,

Запишем формулу (13.14) для нашего случая (когда вместо функций (13.12) берутся функции (13.15)):

Формула перехода

Это есть формула перехода к полярным координатам в двойном интеграле, здесь — область в декартовой системе

Теперь двойной интеграл по этой области выразим через двукратный, использовав формулу (13.10).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Формула (13.17) справедлива и тогда, когда граница области имеет участки, лежащие на прямых т.е. когда область имеет вид, представленный на рис. 13.13. Если при этом

то область принимает вид сектора (рис. 13.14). Для этого сектора в формуле (13.17) нужно взять

Пусть в последнем случае при этом область имеет вид, изображенный на рис. 13.15. Для этой области в формуле (13.15) нужно взять

• Пусть в последнем случае тогда область имеет форму круга с центром в начале координат и радиусом (рис. 13.16). Из сказанного выше ясно, что для этого круга в формуле (13.17) мы должны взять

Поэтому на практике при вычислении двойного интеграла по области в виде круга лучше перейти к полярным координатам указанным выше способом.

Отметим, что пределы двукратного интеграла формулы (13.17) устанавливаются непосредственно по уравнениям частей границы области в полярных координатах.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

18. Замена переменных в двойном интеграле

Пусть функции осуществляют взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение области P плоскости на область S плоскости . Тогда существует обратное непрерывно дифференцируемое отображение , области S на область P, если якобиан преобразования

Величины U и V можно рассматривать как прямоугольные координаты для точек области P и в то же время как Криволинейные координаты точек области S. Точки плоскости Oxy, для которых одна из координат U и V сохраняет постоянное значение, образуют Координатную линию. Всего будет два семейства таких линий.

Теорема 14.3. Пусть есть дифференцируемое преобразование области P из плоскости на область S Из плоскости . Тогда справедливо равенство

Замечание. Равенство (2.5) сохраняет справедливость, когда условие взаимно однозначного соответствия между областями S и P нарушается в отдельных точках или вдоль отдельных линий.

Переход в двойном интеграле к полярным координатам

Преобразуют полярные координаты точки в декартовы координаты этой точки и переводят область (или область ) на всю плоскость Oxy.

Обратное преобразование декартовых координат в полярные осуществляется по формулам:

Фиксируя в последних формулах И, получим координатные линии из разных семейств: окружность с центром в точке И луч, исходящий из точки .

И формула (2.5) принимает вид:

Рекомендация. К полярным координатам целесообразно переходить, когда в подынтегральное выражение или в уравнения границы области интегрирования входит комбинация .

В некоторых случаях при вычислении двойного интеграла удобно перейти от декартовых координат к Эллиптическим полярным Координатам по формулам

Пример 6. Записать в полярной системе координат область S , заданную в декартовой системе координат неравенством (круг радиуса R с центром в точке ).

Ñ Перейдем от декартовых координат X, Y к полярным по формулам , . Подставим X и Y в исходное неравенство, получим: или . На координату j дополнительных ограничений не накладывается, поэтому (или ).

В полярной системе координат круг записывается неравенствами: . #

Пример 7. Записать в полярной системе координат область S — часть круга, ограниченную линиями , , (), — постоянные, .

Ñ Изобразим область S (рис. 14.9). Запишем заданные линии в полярных координатах, которые связаны с декартовыми формулами , : 1)Þ ;

Область переходит в область

В полярной системе координат заданная область определяется системой неравенств: . #

Пример 8. Вычислить двойной интеграл , S — множество точек, удовлетворяющих неравенству .

Ñ Границей области является линия или — окружность радиуса 2 с центром в точке ( Рис. 14.10).

Наличие в уравнении границы комбинации наводит на мысль, что для вычисления двойного интеграла удобно перейти к полярным координатам по формулам , , . Уравнение границы переходит в уравнение или . Отсюда r=0 (соответствует полюсу O) и — уравнение окружности. Так как всегда (по смыслу r), то из следует , отсюда получаем (этот же результат можно усмотреть из рисунка). Итак, в полярных координатах область интегрирования есть . Тогда по формуле (2.7)

Пример 9. Вычислить , где .

Ñ Область D ограничена линиями: – эллипс с полуосями A и B, – эллипс с полуосями и , Y=0 – прямая (ось Ox), – прямая (рис. 14.11).

Анализ границы области указывает на целесообразность перехода к Эллиптическим полярным координатам по формулам (2.8), (2.9): , . Уравнения границы области в координатах будут: 1), 2) , 3) ,
4) . Итак, область интегрирования в координатах есть

Задачи для самостоятельного решения

Перейти в двойном интеграле к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в порядке: внешнее – по j, внутреннее — по r:

27. D – область, ограниченная окружностями , и прямыми , .

28. D — область, являющаяся общей частью двух кругов и .

29. D — меньший из двух сегментов, на которые прямая рассекает круг .

30. D — внутренняя часть правой петли лемнискаты Бернулли .

32. D: .Указание. Перейти к эллиптическим полярным координатам.

33. D — область, ограниченная линией . Указание. Перейти к эллиптическим полярным координатам.

Как нарисовать звезду (и не только) в полярных координатах

— угол;
— количество выпуклых вершин;
— определяет, через какое количество вершин стороны будут лежать на одной прямой. Для него допустимы и отрицательные значения — от знака будет зависеть, в какую сторону будет выгибаться звезда;
— жёсткость — при мы получим окружность вне зависимости от прочих параметров, при — многоугольник с прямыми линиями, при промежуточных значениях от до — промежуточные фигуры между окружностью и многоугольником.

С этой формулой можно нарисовать звезду двумя путями:

2) . В этом случае требуется сделать два оборота вместо одного:

Параметр влияет на многоугольник следующим образом (здесь он изменяется от -1 до 5):

Параметр в анимации:

Комплексная форма и модификации

Можно переписать исходную формулу в комплексном виде, и, несмотря на наличие в ней мнимых единиц, значение радиуса по-прежнему будет оставаться действительным:

На первый взгляд это может показаться бессмысленным, поскольку формула стала чуть более громоздкой — но не стоит спешить с выводами. Во-первых, в ней отсутствует арксинус, что полностью меняет математический смысл формулы и позволяет по-другому посмотреть на построение звёздчатого многоугольника. Во-вторых, из неё также можно получить компактные формулы для частных случаев, например . В-третьих (и самое интересное), её можно творчески модифицировать и получать другие, неожиданные формы. Для того, чтобы появление возможной мнимой компоненты в радиусе не вызывало неоднозначности при вычислении, можно её сразу привести к декартовым координатам умножением на . Вот примеры некоторых модификаций:

Как вы наверняка заметили, вращение вектора перестало быть равномерным — и именно из-за появления мнимой составляющей в радиусе.

Квадрокруги и прочее

(выбирайте, какая больше нравится).

В чуть более развёрнутом случае можно определить промежуточные фигуры между кругом и квадратом через точку на плоскости

Можно также добавить вариативности этим фигурам с сохранением условия прохождения их через точку — модулируя непосредственно сам параметр в зависимости от угла таким образом, чтобы при прохождении через диагонали его множитель был равен единице. Например, подставив вместо функцию , мы получим дополнительный параметр , которым можно регулировать дополнительные изгибы. В частности, для получится следующее:

В ещё более развёрнутом случае можно определить не просто квадрат — а прямоугольник, и по прежнему в полярных координатах:

И даже посчитать его площадь (через эллиптические интегралы):

Это позволит делать профили с переходом из окружности в прямоугольник с контролируемой площадью сечения. Здесь площадь константна:

А здесь площадь расширяется по экспоненциальному закону:

Переход к декартовым координатам

Второй вариант предпочтительнее, поскольку даёт прямые градиенты вдоль сторон многоугольника.

Здесь также нужно помнить, что в точке (0,0) возникает неопределенность из-за деления на ноль — которая, впрочем, легко разрешается через предел (который будет равным в первом случае и нулю во втором).

Выражение также можно упростить до , коэффициенты числителя которого при разложении образуют знакочередующий вариант последовательности A034839.

Можно использовать классический фильтр нижних частот , в котором — порядок фильтра, определяющий степень затухания.

Для первого варианта:

Можно использовать и кусочно-непрерывную функцию, явно задавая границы интерполяции.

Помимо растеризации как таковой, можно задавать и деформации — например, сжать шахматную доску в круг:

Или даже натянуть её на сферу:

Appendix: как была получена формула

Классический стиль повествования в математических текстах состоит из чередования лемм/теорем и их доказательств — как если бы доказуемые утверждения появлялись у авторов в голове откровением свыше. И хотя в этом и бывает доля истины, чаще появлению формул предшествует некоторая исследовательская работа, описание которой может дать большее понимание их смысла, чем формальное доказательство; а верность утверждений, в свою очередь, можно проследить через верность шагов, к ним приведших.

Так и здесь — если бы статья началась с формулы в комплексной форме, то её появление было бы неочевидным и контр-интуитивным, а заявленные свойства требовали бы дополнительных доказательств. Но в тригонометрической форме записи историю её появления вполне возможно проследить.

1) начинаем с самого простого случая — задаче начертить прямую в полярных координатах. Для этого нужно решить уравнение , решение которого очевидно .

2) далее аргумент секанса нужно «зациклить», чтобы обеспечить изломы в прямой. Именно на этом этапе другие решения используют «грязный хак» в виде остатка от деления. Здесь же используется последовательное взятие прямой и обратной функции синуса —

Благодаря этой же записи можно упростить функцию квадрата в полярных координатах до более эстетического вида, используя представление тригонометрический функций в комплексном виде. В Wolfram Mathematica это можно сделать с помощью функций TrigToExp и ExpToTrig:

Благодаря этой же записи можно получить гладкие промежуточные фигуры между кругом и квадратом с помощью дополнительного множителя , благодаря которому аргумент арксинуса не дотягивает до единицы — :

3) параметры и были просто добавлены творческим способом и их влияние исследовалось экспериментально, по факту.

4) Прямоугольник легко получить перейдя к параметрическому виду и «растягиванием» осей

Но после этого уже не будет значить угол, теперь — это просто параметр, который описывает вектор через его проекции на координатные оси. Чтобы перейти обратно к полярным координатам нужно найти длину вектора (через корень суммы квадратов), угол (через арктангенс отношения), выразить этот угол через и подставить получившееся выражение вместо .

Sqrt[2] Sqrt[(a^2 Cos[t]^2 + b^2 Sin[t]^2)/(1 + Sqrt[Cos[2 t]^2])]
/. t -> ArcTan[(a Tan[\[Phi]])/b] // Simplify
↓

Упростить такую формулу уже посложнее, и для этого потребуется несколько этапов:

1. перейти к декартовым координатам заменой ;
2. перейти к экспоненциальному виду;
3. упростить;
4. сделать обратную замену и ;
5. опять перейти к экспоненциальному виду;
6. упростить.

Заключение

Как видите, даже в такой простой и банальной вещи как многоугольник, можно найти и придумать что-то новое. И на этом история не заканчивается — осталась неизвестной формула площади для общего случая, осталась неизвестной формула для произвольного, а не только правильного многоугольника, остались без рассмотрения разложения в степенные и тригонометрические ряды. Также, вероятно, подобного рода формула существует и для 3-мерного случая.

Поэтому если вам говорят, что в математике уже всё придумано и остались лишь задачи недоступные пониманию обычного человека — не верьте. Есть много сугубо практических задач, о существовании которых настоящие математики не подозревают, или их решение им не интересно из-за отсутствия достаточного хайпа вокруг них, или потому что у них уже есть примерное представление путей достижения для их решения. Не бойтесь браться за задачи, решение которых отсутствует в википедии, не бойтесь публиковать их решения и не бойтесь читать комментарии под статьями о бесполезности всего сущего.