X делит y как понять

арифметика — Что обычно подразумевается под "число Х делится на Y"?

2.При делении в остатке обязательно получится ноль. Иными словами говоря, мы получим конечную десятичную дробь.

Вообще-то мне кажется, что если прямо не сказано об делении нацело, то надо исходить из того, что перед нами более общий случай. То есть, второй пункт.

задан 5 Июн ’13 17:31

Вторая интерпретация неудачна, так как зависит от системы записи чисел. То, что верно в десятичной системе, неверно, скажем, в троичной.

1 ответ

Точное определение таково. Пусть $%x$%, $%y$% — целые числа. Говорят, что $%x$% делится на $%y$% (слово «нацело» чаще всего опускают), если $%y$% не равно нулю, и существует такое целое число $%k$%, для которого $%x=ky$%.

Это то же самое, что «$%y$% делит $%x$%». То, что при делении остаток получается равным нулю, в точности эквивалентно предыдущему.

Есть несколько более общее понятие «$%x$% кратно $%y$%». Здесь уже не обязательно считать $%x$% и $%y$% целыми. Например, можно говорить, что $%3\pi$% кратно $%\pi$%. Не обязательно также считать, что $%y\ne0$%. Просто нулю может быть кратен только ноль. Определение такое: число $%x$% считается кратным числу $%y$%, если $%x=ky$% для некоторого целого $%k$%.

отвечен 5 Июн ’13 17:46

То есть, если говорят «x делится на y» то речь идет именно об том, что деление происходит НАЦЕЛО. В противном случае говорят об кратности. Я правильно все понял?

Не совсем. Кратность — тоже нацело, только не обязательно для целых чисел.

А если у нас получается бесконечная дробь, что тогда нам говорить?

@I_Robot: о кратности можно говорить в несколько более широком контексте. Сказать, что $%3\pi$% кратно $%\pi$% можно, а вот говорить, что одно число делится на другое в этом случае уже нельзя, так как понятие делимости относится к области целых чисел. Оно может употребляться и в более широком контексте, но уже вне рамок школьной математики: например, в специальных разделах теории алгебраических чисел. Про числа 6 и 3 верно как то, что первое кратно второму, так и то, что первое делится на второе. Бесконечность дроби вида $%1/n$% означает, что никакая степень числа 10 не делится на $%n$%.

Здравствуйте

Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Область определения функции

Прежде чем перейти к изучению области определения функции внимательно изучите уроки
«Что такое функция в математике» и «Как решать задачи на функцию».

Вспомним кратко основные определения функции в математике.

Функция — это зависимость переменной « y » от независимой переменной « x ».

Функцию можно задать через формулу (аналитически). Например:

• « x » называют независимым аргументом функции;
• « y » зависимой переменной или значением функции.

Вместо « x » (аргумента функции) в формулу « у = 2x » подставляем произвольные числовые значения и по заданной формуле вычисляем
значение « y ».

Подставим несколько числовых значений вместо « x » в формулу « у = 2x » и запишем результаты в таблицу.

Запомните!

Область определения функции — это множество числовых значений, которые можно подставить вместо « x » (аргумента функции).

Обозначают область определения функции как:

Вернемся к нашей функции « у = 2x » и найдем её область определения.

Посмотрим ещё раз на таблицу функции « y = 2x », где мы подставляли произвольные числа вместо « x », чтобы найти « y ».

Так как у нас не было никаких ограничений на числа, которые можно подставить вместо « x », можно утверждать, что вместо « x » мы могли подставлять любое действительное число.

Другими словами, вместо « x » можно подставить любые числа, например:

• −2
• 0
• 10
• 30,5
• 1 000 000
• и так далее…

Запомните!

Областью определения функции называют множество чисел , которые можно подставить вместо « x ».

В нашей функции « у = 2x » вместо « x » можно подставить любое число, поэтому область определения функции « у = 2x » — это любые действительные числа.

Запишем область определения функции « у = 2x » через математические обозначения.

Ответ выше написан словами без использования специального математического языка. Заменим лишние слова на математические символы. Для этого вспомним понятие числовой оси.

Заштрихуем область на числовой оси, откуда можно брать значения для « x » в функции « у = 2x ». Так как в функции
« у = 2x » нет ограничений для « x », заштрихуем всю числовую ось от минус бесконечности « −∞ » до плюс бесконечности « +∞ ».

Запись выше читается как: « x » принадлежит промежутку от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Запишем окончательный ответ для области определения функции.

По-другому промежуток
« x ∈ (−∞ ; +∞) » можно записать
как « x ∈ R ».

Читается « x ∈ R » как: « x » принадлежит всем действительным числам».
Записи « x ∈ (−∞ ; +∞) » и
« x ∈ R » одинаковы по своей сути.

Область определения функции с дробью

Разберем пример сложнее, когда в задании на поиск области определения функции есть дробь с « x » в знаменателе.

Разбор примера

Найдите область определения функции:

f(x) =

8

x + 5

Задание «Найдите область определения функции» означает, что нам нужно определить все числовые значения, которые может принимать « x » в функции
« f(x) =

8

x + 5

».

По законам математики из школьного курса мы помним, что на ноль делить нельзя. Иначе говоря, знаменатель (нижняя часть дроби) не может быть равен нулю.

Переменная « x » находится в знаменателе функции « f(x) =

8

x + 5

». Так как на ноль делить нельзя, запишем, что знаменатель не равен нулю.

Получается, что « x » может принимать любые числовые значения кроме « −5 ». На числовой оси заштрихуем все доступные значения для « x ».

Число « −5 » отмечено «пустой» точкой на числовой оси, так как не входит в область допустимых значений.

Запишем заштрихованную область на числовой оси через знаки неравенства.

Запишем промежутки через математические символы. Так как число « −5 » не входит в область определения функции, при записи ответа рядом с ним будет стоять круглая скобка.

Вспомнить запись ответа через математические символы можно в уроке «Как записать ответ неравенства».

Запишем окончательный ответ для области определения функции
« f(x) =

8

x + 5

».

Область определения функции с корнем

Рассмотрим другой пример. Требуется определить область определения функции, в которой содержится квадратный корень.

Разбор примера

Найти область определения функции:

Из урока «Квадратный корень» мы помним, что подкоренное выражение корня чётной степени должно быть больше или равно нулю.

Найдём, какие значения может принимать « x » в функции
« у = √ 6 − x ». Подкоренное выражение
« 6 − x » должно быть больше или равно нулю.

Решим линейное неравенство по правилам урока «Решение линейных неравенств».

Запишем полученный ответ, используя числовую ось и математические символы. Число « 6 » отмечено «заполненной» точкой на числовой оси, так как входит в область допустимых значений.

Запишем окончательный ответ для области определения функции
« y = √ 6 − x » . Так как число « 6 » входит в область определения функции, при записи ответа рядом с ним будет стоять квадратная скобка.

Правило для определения области определения функции

Запомните!

Чтобы найти область определения функции нужно проверить формулу функции по двум законам школьного курса математики:

1. на ноль делить нельзя (другими словами, знаменатели дробей с « x » не должны быть равны нулю);
2. подкоренные выражения корней чётной степени должны быть больше или равны нулю.

При нахождении области определения функции необходимо всегда задавать себе два вопроса:

1. есть ли в функции дроби со знаменателем, в котором есть « x »?
2. есть ли корни четной
   степени с « x »?

Если на оба вопроса вы получаете отрицательный ответ, то область определения функции — это все действительные числа.

Рассмотрим пример поиска области определения функции с корнем и дробью.

Разбор примера

Найдите область определения функции:

f(x) = √ x + 3 +

1

x 2 − 9

Идем по алгоритму. Задаём себе первый вопрос, есть ли в функции дробь с « x » в знаменателе. Ответ: да, есть.

В функции « f(x) = √ x + 3 +

1

x 2 − 9

» есть дробь «

1

x 2 − 9

», где « x » расположен в знаменателе. Запишем условие, что знаменатель « x 2 − 9 » не может быть равен нулю.

Решаем квадратное уравнение через формулу квадратного уравнения.

x_1;2 =

−b ± √ b 2 − 4ac

2a

x_1;2 =

−0 ± √ 0 2 − 4 · 1 · (−9)

2 · 1

x_1;2 ≠

−0 ± √ 0 − (−36)

2

x_1;2 ≠

± √ 36

2

x_1;2 ≠

± 6

2

x1 ≠ 3

x2 ≠ −3

Запомним полученный результат. Задаем себе второй вопрос. Проверяем, есть ли в формуле функции
« f(x) = √ x + 3 +

1

x 2 − 9

» корень четной степени. В формуле есть квадратный корень « √ x + 3 ». Подкоренное выражение « x + 3 » должно быть больше или равно нулю.

Решим линейное неравенство.

Объединим полученные ответы по обоим вопросам:

• знаменатель дроби «
  

  1

  x 2 − 9

  » не равен нулю ;

• подкоренное выражение « √ x + 3 » должно быть больше или равно нулю.
  

  x ≠ −3 x ≠ 3

  x ≥ −3

Объединим все полученные результаты на числовых осях. Сравнивая полученные множества, выберем только те промежутки, которые удовлетворяют обоим условиям.

x ≠ −3 x ≠ 3

x ≥ −3

Выделим красным заштрихованные промежутки, которые совпадают на обеих числовых осях. Обратим внимание, что числа « −3 » и « 3 » отмечены «пустыми» точками и не входят в итоговое решение.

Получаем два числовых
промежутка « −3 » и « x > 3 », которые являются областью определения функции
« f(x) = √ x + 3 +

1

x 2 − 9

». Запишем окончательный ответ.

Примеры определения области определения функции

Разбор примера

Найти область определения функции:

Для поиска области определения функций задаем себе первый вопрос. Есть ли знаменатель, в котором содержится « x »?

Ответ: в формуле функции
« y = 6 √ x + 5 √ 1 + x » нет дробей.

Задаем второй вопрос. Есть ли в функции корни четной степени?

Ответ: в функции есть корень шестой степени: « 6 √ x ». Степень корня — число « 6 ». Число « 6 » — чётное, поэтому подкоренное выражение корня « 6 √ x » должно быть больше или равно нулю.

В формуле функции « y = 6 √ x + 5 √ 1 + x » также есть корень пятой степени
« 5 √ 1 + x ». Степень корня « 5 » — нечётное число, значит, никаких ограничений на подкоренное выражение « 1 + x » не накладывается.

Получается, что единственное ограничение области определения функции
« y = 6 √ x + 5 √ 1 + x » — это ограничение подкоренного выражения « 6 √ x ».

Нарисуем область определения функции на числовой оси и запишем ответ.

Разбор примера

Найдите область определения функции:

f(x) =

√ x − 4

√ x + 2

+

4x − 3

x 2 − 7x + 6

Есть ли в функции знаменатель, в котором содержится « x »? В заданной функции подобных знаменателей два. Выделим знаменатели с « x » красным цветом.

f(x) =

√ x − 4

√ x + 2

+

4x − 3

x 2 − 7x + 6

Запишем условие, что каждый из знаменателей не должен быть равен нулю.

√ x + 2 ≠ 0

x 2 − 7x + 6 ≠ 0

Обозначим их номерами « 1 » и « 2 » и решим каждое уравнение отдельно.

√ x + 2 ≠ 0 (1)

x 2 − 7x + 6 ≠ 0 (2)

Решаем первое уравнение.

Если значение квадратного корня
« √ x + 2 ≠ 0 » не должно быть равно нулю, значит, подкоренное выражение
« x + 2 ≠ 0 » также не должно быть равно нулю.

Теперь решим уравнение под номером « 2 », используя формулу квадратного уравнения.

x_1;2 =

−b ± √ b 2 − 4ac

2a

x_1;2 =

−(−7) ± √ (−7) 2 − 4 · 1 · 6

2 · 1

x_1;2 =

7 ± √ 49 − 24

2

x_1;2 =

7 ± √ 25

2

Запишем все полученные ответы в порядке возрастания вместе под знаком системы, чтобы их не забыть.

x ≠ −2

x ≠ 1

x ≠ 6

Знаменатели с « x » мы проверили. Настала очередь проверить формулу функции на наличие корней четной степени .

В формуле функции
« f(x) =

√ x − 4

√ x + 2

+

4x − 3

x 2 − 7x + 6

»

есть два корня « √ x − 4 » и « √ x + 2 ». Их подкоренные выражения должны быть больше или равны нулю.

x − 4 ≥ 0

x + 2 ≥ 0

x − 4 ≥ 0

x + 2 ≥ 0

x ≥ 4

x ≥ −2

Нарисуем полученные решения на числовой оси. Выберем заштрихованный промежуток, который есть на обеих числовых осях.

Выпишем результат решения системы неравенств.

Объединим в таблицу ниже полученные ответы по обеим проверкам:

1. проверка, что знаменатели
   дробей с « x » не равны нулю;
2. проверка, что подкоренные выражения корней четной степени должно быть больше или равны нулю.

Результат проверки, что знаменатели дробей с « x » не равны нулю

Результат проверки, что подкоренные выражения должно быть больше или равны нулю

Нарисуем полученные результаты проверок на числовых осях, чтобы определить, какая заштрихованная область удовлетворяет всем полученным условиям.

Учитывая x, y, Как найти, является ли x! делится на у или нет?

вычисление х! может быть очень дорогостоящим и часто может привести к переполнению. Есть ли способ узнать, является ли x! делится на у или нет без вычисления х!?

• Для y < x это тривиально;
• Но для y > x, например, x = 5 и y = 60; Я изо всех сил пытаюсь найти способ без вычисления x!

Вычислите простую факторизацию и x! . y Вы можете сделать это без вычислений x! , разложив каждое число от 2 до x и собрав все множители вместе. Если факторы y являются подмножеством факторов, x! то оно делится.

Если x и y действительно велики, так что невозможно перебрать все числа от 1 до x, вы можете вместо этого просто разложить y на множители и вычислить для каждого простого множителя, делит ли его максимальная степень в y также x!.

Я написал об алгоритме более подробно в другом ответе .

В основном проверка выглядит так:

Это приводит к алгоритму для случая x < y сложности O (время факторизации y + log x * # количество простых множителей y).

Очевидно, что y может иметь O(log y) простых множителей. Таким образом, с ро-факторизацией Полларда это будет что-то вроде O (y ^ (1/4) + log x * log y)