Иллюстративный видеокурс математического анализа: 10 уроков
В продолжение серии обзоров иллюстративных видеокурсов по математике, сделанных выпускником Стэнфорда Грантом Сандерсоном, в этой статье дается обзор курса математического анализа. Так же, как и в случае с линейной алгеброй, этот курс не содержит строгих доказательств, но позволяет представить образы, которые обычно сложно представить наглядно при прохождении классического курса математического анализа в институте. Рассмотрение любых моделей, основанных на малых приращениях, полезно иллюстрировать анимацией, а не статичными изображениями. Некоторые идеи, дающиеся обычно в алгебраической терминологии, в этом видеокурсе описываются более наглядно.
Курс состоит из 10 видеоуроков по 15-20 минут каждый. В качестве бонуса мы приложили видеоурок того же автора по преобразованию Фурье, к которому редакция proglib.io подготовила русские субтитры.
1. Введение курса. Основы математического анализа
В вводном видео к иллюстративному курсу по математическом анализу дается обзор десяти уроков, из которых состоит курс, а также рассматривается одна из классических геометрических задач: нахождение выражения для определения площади круга радиуса R. Показывается, как известная из школьного курса геометрии формула S = πR 2 может быть выведена из соображений симметричного разбиения круга на множество вложенных друг в друга колец.
Иллюстрируется один из основных подходов математического анализа: сложная проблема может быть представлена как сумма множества малых, легко определяемых значений. Такой подход позволяет, как это подтверждают следующие примеры, определить площадь под графиком любой функции. В заключение даются предварительные соображения об Основной теореме анализа.
2. Парадокс производной
Во втором уроке вводится понятие производной как мгновенного изменения функции относительно ее аргумента. На множестве примеров визуализируется классическое рассмотрение движения автомобиля и его скорости как производной функции пройденного пути.
Рассматривается сложность вопроса мгновенной скорости – ведь для определения скорости необходимы две точки, пусть и расположенные максимально близко по времени. Умаляя разницу между этими точками до бесконечно малой величины, можно найти значение производной, описывающей наклон графика в этой точке по отношению к оси аргумента. Поясняется запись вида ds/dt. Рассматривается парадокс: можно ли считать движущимся объект в нулевой момент времени, относительно которого начинается движение?
3. Формулы производных через геометрические соображения
После предыдущего видео возникает вопрос: как вычислять производные для функций общего вида? У тех же, кто проходил курс математического анализа, может возникнуть вопрос посложнее: почему основное время практических занятий тратится на рассмотрение абстрактных функций вместо той же задачи о вычислении скорости реального объекта.
Полиномиальные, тригонометрические и показательные функции лежат в основе физических моделей, описывающих физический мир. Задача этого видео – дать представление о производных при помощи рассмотрения малых приращений функций x 2 и x 3 как приращений площадей и объемов.
Результаты рассуждений распространяются на полиномы более высоких степеней, и выводится общая формула определения производной степенной функции. Объясняется, как соотносятся геометрический и алгебраический подход. Геометрический подход позволяет представить аналогичным образом производные функций 1/x, sin(θ).
4. Визуализация дифференцирования сложных функций
В этом видео последовательно иллюстрируются правила взятия производных от суммы и произведения двух функций, а также процедура дифференцирования сложных функций, когда одна функция «вложена» в другую. В качестве примеров складываемых, перемножаемых и вложенных друг в друга функций рассматриваются sin(x) и x 2 .
5. Производные показательных функций
В пятом видеоуроке иллюстрируется процедура взятия производных от показательных функций вида a x и e x . На примере роста популяции в зависимости от времени, описываемого выражением 2 t , показывается, что скорость нарастания популяции пропорциональна самой функции.
Объясняется, почему коэффициент пропорциональности представляет собой натуральный логарифм от основания, и почему производная экспоненты равна самой экспоненте. Для этого достаточно лишь применить известные правила работы с показательными функциями. В заключение видео показывается пара примеров из физики и финансов, описываемых в терминах простейших дифференциальных уравнений, решениями которых являются экспоненциальные функции.
6. Производная функции, заданной неявно
Особо трудным моментом для детального понимания обычно является взятие производных от неявно заданных функций. Иллюстрация начинается с рассмотрения записи выражения линии, описывающей окружность x 2 + y 2 = 5 2 . В этом случае производная находится обычно несколько механистически и напоминает взятие производной функции нескольких переменных.
Чтобы объяснить используемую процедуру, автор переходит к физическому примеру со скользящей относительно стены наклонной лестницей длиной 5 м. Такой подход позволяет лучше прочувствовать понятие производной для той же функции.
Та же задача решается на примере нахождения производной для sin(x)⋅y 2 = x. В конце видео объясняется, как, пользуясь той же методологией выделения dy и dx, доказать, что производная натурального логарифма ln(x) это 1/x.
7. Пределы
Подспудно до этого при описании производных уже было задействовано понятие предела. В этом же видеоуроке гораздо лучше иллюстрируются такие аспекты:
- формальное определение производной;
- определение предела в терминах ε и δ; .
При описании терминологии ε и δ иллюстрируются причины требований к непрерывности функции и трудности, связанные с функциями, имеющими разрыв. Объясняются сложности взятия производных у функций, подобных sin(x)/x, и разрешения соответствующих неопределенностей.
8. Интегрирование и Основная теорема анализа
Можно ли узнать пройденный машиной путь только по наблюдениям спидометра? Эта задача обратна задаче о производной, обсуждавшейся во втором уроке видеокурса. Случай постоянной скорости становится основой для приближения переменной скорости как множества малых временных интервалов с различными скоростями. В результате вводится понятие интеграла.
Показывается, как интуитивным образом, представляя интеграл как «антипроизводную», можно найти первообразные функций. В конце видео рассказывается о важности учета не только самих площадей, но и их «знака» – того, как интегрируемые площади под функцией расположены относительно оси ординат.
9. Связь между площадью и наклоном
В девятом видеоуроке на примере гармонической функции рассматривается определение среднего значения функции на заданном интервале при помощи интегрирования. Выводится соответствующее выражение. Через площадь и наклон графиков тригонометрических функций показывается, как геометрически соотносятся понятия интеграла и производной. В видео также соотнесены понятия среднего значения функции и арифметического среднего.
10. Предварительные замечания. Производные высших порядков
Перед рассказом о ряде Тейлора необходимо поговорить о производных высших порядков, то есть производных от производных. В этом видео иллюстрируется процесс многократного дифференцирования различных зависимостей. Приводятся принятые обозначения таких дифференциалов. В примере с движением автомобиля вторая производная от дистанции по времени соответствует ускорению автомобиля.
10. Ряд Тейлора
Представление функции при помощи математического ряда степенных функций позволяет найти ее удобную аппроксимацию, ускоряющую вычисления с наперед заданной точностью, определяемой числом слагаемых такого ряда.
Начав с задачи представления гармонического движения маятника при помощи аппроксимации cos(θ) ≈ 1 – 1/2 θ 2 , автор иллюстрирует, как это решение можно было бы найти через подбор соответствующего полинома.
Рассматривается вопрос точности аппроксимации и то, как она повышается следующими членами ряда. Поясняется причина возникновения факториалов в формуле Тейлора и изменение формулы при разложении функции в ряд в смещенной точке.
Рассматриваются примеры разложений различных функций сложной функции в нескольких точках. Дается геометрическая иллюстрация аппроксимации функций несколькими первыми членами ряда. В завершение видео на примере разложения в ряд натурального логарифма затрагивается понятие круга сходимости (radius of convergence).
Бонус. Преобразование Фурье
В качестве бонуса к представленному видеокурсу мы добавили урок о преобразовании Фурье, которое часто рассматривается в курсе математического анализа в институтах. Это преобразование основано на интегрировании комплексной переменной.
В данном видео дается оригинальная идея описания преобразования Фурье через построение особой математической машины, позволяющей разложить протяженный во времени сигнал по «чистым» одночастотным гармоническим функциям.
[Calculus | глава 1] Суть матанализа
Математический анализ является одним из важнейших разделов в математике. Мы открываем выпуск серии видео-лекций с канала 3Blue1Brown, посвященных матанализу.
В данном видео Грант Сандерсон рассказывает о сути математического анализа, раскрывая изящество математики на понятных примерах.
За участие в выпуске благодарим:
Переводчиков: Михаила Коротеева и Николая Протасова
Редактора: Ефима Мажника
Диктора: Михаила Коротеева
Монтажеров: Николая Протасова и Олега Жданова
Ну хуй знает. Возможно дело в том, что это перевод, но как то материал неясно подают.
Визуализация — это отлично. Мне кажется, не совсем правильно названы десятичные дроби: почему «ноль один» а не одна десятая?
Схуяли начининать с круга, а не с квадарата, например? Проще же
Матан подловил где не ждали — на Пикабу! )
Есть замечания, но придержу их до следующих выпусков — возможно, автор просто предпочитает немного другую очередность изложения материала.
Ну и помним: «кто не учит матан — пойдет на метан».
Видосы это конечно хорошо. И я все эти видосы посмотрел. Красиво сделано.
Но увы, эта тема изучается только перехуяриванием нескольких задачников. Иначе щелк, и все забыл на следующий день.
Приятная подача, прям захотелось дочери шестилетке показать )) … но обратил внимание на неточность при визуализации разворачивания кольца в трапецию, и одновременно — неточность в определении площади этой трапеции. Её зачем-то обозвали прямоугольником с площадью R*dr , но ведь площадь трапеции — не R*dr, а (R1+R2)/2*dr, разве нет?
[Calculus | глава 12] Другой способ визуализации производных
Представляем вашему вниманию завершающую главу сборника о матанализе от 3Blue1Brown. В нём вы узнаете о другом способе визуализации производных и о том, как это связано некоторыми другими математическими задачами.
За выпуск благодарим:
Переводчика: Михаила Коротеева
Редактора: Николая Протасова
Диктора: Михаила Коротеева
Монтажёра: Олега Жданова
P.S. Была проделана весьма объёмная и непростая работа при подготовке к выпускам видео для всего сезона. Каждый, кто принимал участие — вы большие молодцы!
[Calculus | главы 10, 11] Производные высших порядков и ряд Тейлора
Сегодня мы выпускаем целых два видео из цикла по математическому анализу от 3blue1brown!
Мы вам расскажем о производных высших порядков, как их представить, а также о невероятном способе их применить — о рядах Тейлора, которые используются для приближения значений функции.
За выпуск благодарим:
Переводчика: Михаила Коротеева
Редактора: Николая Протасова
Диктора: Николая Протасова
Монтажера: Олега Жданова
[Calculus | глава 8] Интегрирование и основная теорема матанализа
Что такое интеграл? Как считать площадь под графиком? Какое отношение к этому имеет производная?
Ответы на эти и многие другие вопросы вам покажет восьмой эпизод из цикла про матанализ от 3blue1brown: «Интегрирование и основная теорема матанализа»
За выпуск благодарим:
Переводчика: Михаила Коротеева
Редактора: Николая Протасова
Диктора: Николая Протасова
Монтажера: Олега Жданова
[Calculus | глава 7] Пределы, правило Лопиталя и эпсилон-дельта определение
Представляем вам седьмое видео из курса матанализа от 3Blue1Brown. В нём вы узнаете неожиданный и очень изящный способ вычислять пределы, в котором нам в очередной раз пригодятся производные, а также формальные определения производной и предела.
За выпуск благодарим:
Переводчика: Михаила Коротеева
Редактора: Николая Протасова
Диктора: Николая Протасова
Монтажера: Олега Жданова
[Calculus | глава 6] Неявное дифференцирование — что здесь происходит?
У неявного дифференцирования свои правила.
Представляем перевод шестого видео про матанализ от 3blue1brown: «Неявное дифференцирование — что здесь происходит?»
За выпуск благодарим:
Переводчика: Михаила Коротеева
Редактора: Николая Протасова
Диктора: Николая Протасова
Монтажера: Олега Жданова
[Calculus | глава 5] Что особенного в числе Эйлера
Представляем новый перевод видео про матанализ от 3Blue1Brown — «Что особенного в числе Эйлера». Новая серия открывает долгожданную вторую часть курса матанализа от 3Blue1Brown.
За выпуск благодарим:
Переводчика: Михаила Коротеева
Редактора: Николая Протасова
Диктора: Николая Протасова
Монтажёра: Олега Жданова
[Calculus | глава 3] Формулы производных через геометрию
Почему производные вычисляются именно так? Самый наглядный способ понять это — нарисовать.
В третьем видео про матанализ речь пойдёт о том, как получить формулы производных через геометрию.
За выпуск благодарим:
Переводчика: Михаила Коротеева
Редактора: Константина Нагаева
Диктора: Михаила Коротеева
Монтажеров: Николая Протасова и Олега Жданова
[Calculus | глава 2] Парадокс производной
Производная — одно из базовых понятий матанализа, однако её определение часто остаётся для людей загадкой. Сегодня мы перевели второе видео про матанализ от 3blue1brown — про парадокс производной.
Традиционно благодарим за участие в выпуске:
Переводчика: Михаила Коротеева
Редактора: Дмитрия Сергеева
Диктора: Михаила Коротеева
Монтажеров: Николая Протасова и Олега Жданова
Шутки про математику
Читает профессор лекцию по математической физике. Для упрощения записи вводит множество новых обозначений. Ближе к концу лекции ему понадобилось ввести еще одно. Он окидывает доску взглядом, задумывается на пару минут. и говорит: — Есть такая буква в грузинском алфавите.
Нейронные сети. Формулы обратного распространения
Представляем заключительную лекцию из курса по нейронным сетям от 3blue1brown. В этой лекции речь пойдет о формулах обратного распространения. Одной из важных тем, которая позволит разобраться с основными моментами дифференцирования сложных функций в контексте сетей.
С чего начать изучение математического анализа
В Древнем Египте местные жрецы умели умножать числа лишь на 2, но при этом считались невероятно продвинутыми в математике. В Средневековье ученые собирались в Пизе, чтобы выяснить, кто из них лучше всего делит римские числа (LXXIV на 5, например). Сегодня же любой третьеклассник способен легко решить задачу подобного вида. А вот математический анализ – уже более сложная дисциплина, в которой используются методы интегральных и дифференциальных вычислений. И у людей, особенно школьников, абитуриентов, может создаться впечатление, что матанализ – это что-то невероятно сложное и запутанное. На самом деле это не совсем так.
Рекомендации
- Изучение математического анализа предполагает наличие базовых знаний из той же школьной программы. Поэтому основы геометрии, алгебру всё же нужно будет хорошо изучить. Сделать это можно, просто открыв учебники старших классов средней школы.
- Необходимо использовать возможности, которые предоставляет глобальная сеть. На нашем специализированном портале, например, можно не только решать уравнения любой сложности, в том числе дифференциальные, но и получить подробное описание их решения. Даже человек, не особенно знающий математику, решив 20, 30 или даже 100 уравнений при помощи специализированного онлайн-сервиса, рано или поздно поймет механизм их решения (тем более оно там расписывается). Это такая «массированная практика». Наш портал позволяет найти ответ даже на текстовые математические задания.
- Нужно уделять больше внимания теории. Современные экзаменационные испытания (не только в России и на постсоветском пространстве, но и во многих странах мира) ориентируются преимущественно на итоговый результат: чаще всего абитуриенту нужно просто вписать правильный ответ при тестировании. Человек может решить сложное дифференциальное уравнение и получить правильный ответ (5 или 8, например). Но что означает эта пятерка или восьмерка, как числа связаны с графиками функций? На это способна ответить лишь теория.
Ну а узнать решение неравенств, различных задач можно на нашем сайте.
Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.
Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!