Математический анализ функции одной переменной: Учебное пособие. Часть 1 (Элементы математической логики. Множества чисел. Комплексные числа. Производная функции. Дифференциал)
В математической литературе используются ряд символов (знаков), призванных сократить запись наиболее часто встречающихся в математике предложений. Использование математических символов позволяет значительно ускорить процесс конспектирования, а также существенно сократить время записи решения задач. Приведем некоторые наиболее часто встречающиеся символы:
— знак принадлежности: 
означает, что элемент 
принадлежит множеству 
— знак подмножества: 
означает, что множество 
является подмножеством (составной частью) множества 
, иначе говоря все элементы, принадлежащие , принадлежат также и
— знак допущения, заменяет слова «предположим», «допустим»
— знак существования, как правило заменяет слово «существует»
— знак произвольности, обычно заменяет слово «любой»
— знак единственности, используется вместо слова «единственный»
— знак окрестности (некоторой прилегающей области)
— знак следствия: 
означает, что из утверждения следует утверждение , то есть при выполнении обязательно будет выполняться и
— знак эквивалентности: 
означает, что утверждения и эквивалентны (равнозначны), то есть и выполняются или не выполняются одновременно
— знак тождественного равенства: например, 
подчеркивает, что равенство имеет место при всех , в то время как уравнение 
выполняется только при 
— знак приближенного (неточного) равенства
— знак рассмотрения (глаз), заменяет слово «рассмотрим»
— знак, заменяющий слова «такое, что»
Перечеркнутый символ означает отрицание, например:
— «не равно»
— «не принадлежит»
Пример 1: Предложение «допустим, что существует единственное решение уравнения 
» можно коротко записать как «
»
Пример 2: Предложение «рассмотрим некоторую окрестность точки 
, такую, что для любого , принадлежащего этой окрестности, выполняется неравенство 
» эквивалентно записи «
». 
2. Элементы математической логики
Доказательства различных математических утверждений в конечном счете основываются на логических связях между некоторыми высказываниями, каждое из которых может быть оценено как истинное или ложное. По сути дела, доказательство некоторого неочевидного утверждения сводится к тому, что это утверждение раскладывается в цепь логически связанных элементарных высказываний, каждое из которых без труда может быть оценено как истинное или ложное. Один раз тщательно проверенная логическая цепь может использоваться в дальнейшем (например, в виде теоремы) как составная часть более длинной цепи, соответствующей некоторому более сложному утверждению. В качестве примера рассмотрим два наиболее часто встречающихся способа математических доказательств: доказательство от противного и метод математической индукции.
Определение 1: Утверждение, состоящее в том, что утверждение ложно ( не имеет места), называют отрицанием и обозначают 
. Отметим, что 
.
Определение 2: Логическим сложением утверждений 
(
) называют утверждение, состоящее в том, что по крайней мере одно из двух утверждений ( или ) истинно.
Определение 3: Логическим умножением утверждений 
(
) называют утверждение, состоящее в том, что оба утверждения ( и ) истинны.
Определение 4: Импликацией (логическим следствием) называют утверждение, состоящее в том, что если утверждение истинно, то и утверждение тоже истинно (если ложно, то импликация считается истинной), называют условием, — заключением.
Определение 5: Утверждения и 
называют взаимно обратными.
Определение 6: Произведение прямого и обратного утверждений 
называют утверждением эквивалентности и обозначают . Утверждение эквивалентности означает, что либо и оба истинны, либо они оба ложны, при этом не имеет значения какое из двух утверждений делать.
Определение 7: Утверждения и 
называют взаимно противоположными.
Теорема 1: 
И то и другое утверждения являются ложными только в одном случае: когда — истинное, а — ложное, в остальных случаях оба утверждения истинны. Ч.Т.Д.
Теорема 2: Прямое и противоположное обратному утверждения эквивалентны (равносильны): 
Действительно, из Т1 следует: 
Ч.Т.Д.
На непосредственном использовании Т2 основан способ доказательства, который носит название доказательства от противного: делается предположение, которое отрицает следствие импликации (теоремы), после чего показывается, что данное предположение приводит к отрицанию условия импликации, то есть к логическому противоречию, откуда следует вывод об истинности следствия импликации. Другими словами, вместо прямого утверждения доказывается утверждение противоположное обратному 
.
Пример 1: Докажем, что число 
иррациональное, то есть не может быть представлено в виде несократимой дроби 
.
Условие теоремы: 
( — несократимая дробь, то есть натуральные числа 
и 
не содержат в своем составе общих простых чисел).
Следствие теоремы: 
Предположим, что следствие теоремы ложно: 
МАТЕМАТИ́ЧЕСКИЕ ЗНА́КИ
МАТЕМАТИ́ЧЕСКИЕ ЗНА́КИ, условные обозначения, предназначенные для записи математич. понятий, предложений и выкладок. Развитие М. з. (математич. символики) связано с общим развитием понятий и методов математики. Первыми М. з. были знаки для изображения чисел – цифры, возникновение которых, по-видимому, предшествовало появлению письменности. Наиболее древние системы нумерации и счисления – вавилонская и египетская – появились ещё за 2500–3000 лет до н. э.
Знак принадлежит в word
Примечание: Мы стараемся как можно оперативнее обеспечивать вас актуальными справочными материалами на вашем языке. Эта страница переведена автоматически, поэтому ее текст может содержать неточности и грамматические ошибки. Для нас важно, чтобы эта статья была вам полезна. Просим вас уделить пару секунд и сообщить, помогла ли она вам, с помощью кнопок внизу страницы. Для удобства также приводим ссылку на оригинал (на английском языке).
В Word можно вставлять математические символы в уравнения и текст.
На вкладке Вставка в группе Символы щелкните стрелку рядом с надписью Формула и выберите Вставить новую формулу.
В области Работа с формулами в группе Символы на вкладке Конструктор щелкните стрелку Еще.
Щелкните стрелку рядом с названием набора символов, а затем выберите набор символов, который вы хотите отобразить.
Щелкните нужный символ.
Доступные наборы символов
В группе Символы в Word доступны указанные ниже наборы математических символов. Щелкнув стрелку Еще, выберите меню в верхней части списка символов, чтобы просмотреть группы знаков.
Основные математические символы
Часто используемые математические символы, такие как > и
| Состояние | отпатрулирована |
В математике повсеместно используются символы для упрощения и сокращения текста. Ниже приведён список наиболее часто встречающихся математических обозначений, соответствующие команды в TeX, объяснения и примеры использования. Список и смысл обозначений соответствует международным стандартам ISO 31-11 и ISO 80000-2.
Кроме указанных символов, иногда используются их зеркальные отражения, например, A ⊂ B <displaystyle Asubset B> обозначает то же, что и B ⊃ A . <displaystyle Bsupset A.>
Знаки операций, или математические символы — знаки, которые символизируют определённые математические действия со своими аргументами.
Вы можете с лёгкостью вставить сотни символов в ваш документ Word с помощью нескольких быстрых нажатий клавиш. Два наиболее часто используемых символа — это символы авторского права (©) и товарного знака (®), поэтому давайте взглянем на несколько быстрых способов вставить их в документ.
Как вставить символ авторского права или товарного знака с помощью меню символов
Переключитесь на вкладку «Вставить» на ленте Word.
Нажмите кнопку «Символ».
По умолчанию символы авторского права и товарного знака доступны прямо в раскрывающемся меню. Нажмите либо, чтобы вставить их в ваш документ.
Теперь эти символы в вашем документе.
Если вы не видите символы авторских прав или товарных знаков в раскрывающемся меню «Символ», это, вероятно, означает, что вы вставили несколько других символов. Word запоминает последние 20 символов, которые вы использовали, и помещает их в это меню, вытесняя другие символы, которые там появляются. Поэтому, если вы их не видите, вам нужно будет выбрать опцию «Другие символы» и найти их.
Как вставить символ авторского права или товарного знака с помощью клавиатуры
Вы также можете вставлять символы авторских прав и товарных знаков в Word с помощью клавиатуры. Это работает, потому что оба символа включены по умолчанию в настройках автозамены Word.
Чтобы вставить символ авторского права, введите (c), а затем нажмите пробел. Появится символ авторского права.
Чтобы вставить символ зарегистрированной торговой марки, введите (r), а затем нажмите пробел. Появится символ торговой марки.
Чтобы вставить символ торговой марки, введите (tm), а затем нажмите пробел. Появится символ торговой марки.
Если вы хотите узнать, какие другие параметры автозамены Word имеет в своём рукаве, выберите Файл → Параметры → Правописание → Параметры автозамены.
На вкладке «Автозамена» в открывшемся окне вы можете прокручивать список всего, что Word может заменить при вводе, включая такие символы, как символы и слова с ошибками. Вы даже можете создавать свои собственные записи, если вы хотите создать ярлык для текста, который вы часто печатаете.
Вставка символов авторского права с помощью сочетания клавиш
Эти символы можно вставить следующими сочетаниями клавиш:
- CTRL+ALT+c: ©
- CTRL+ALT+r: ®
Скачать символы защиты авторского права и торговой марки для Word
Чуть ниже вы можете скопировать эти символы и вставить в ваш документ.
- Символ защиты авторского права: ©
- Символы зарегистрированной торговой марки: ®
- Символ торговой марки: ™
Универсальный способ вставить символы авторского права и торговой марки в Windows
Выше рассмотрен вариант вставки символов в Word, но в Windows есть средства, которые позволяют вставить эти и другие символы, а также смайлики в любую программу, в которой присутствует текстовый ввод.
Для этого нажмите кнопки Win и . (точка на английской раскладке клавиатуры), откроетца такое окно:
Если набрать copy, то можно вставить соответствующий символ:
Кроме этого, там огромное количество смайликов, эмодзи и символов; все они сгруппированы по категориям для облегчения поиска нужного, а также поддерживают поиск по введённым словам (например, «cool», «sad», «happy» и так далее).