Как доказать что угол равен 90 градусов

Как доказать, что треугольник прямоугольный

Здравствуйте! Я к Вам снова с просьбой в помощи доказательства. В данном случае — я не могу понять как доказать, что треугольник прямоугольный. Даже дана задачка на эту тему. В треугольнике FCH проведена медиана HE , HE=FE=EC.Доказать что треугольник прямоугольный.

Здравствуйте.
Давайте сначала вспомним, какой треугольник называется прямоугольным. Так вот прямоугольным называется тот треугольник, угол которого равен alt=»90^{o}» width=»25″ height=»13″ />.
Чтоб понять, как доказать, что треугольник прямоугольный, надо знать, каким свойствами он обладает. Ведь одного знания про угол alt=»90^{o}» width=»25″ height=»13″ />бывает недостаточно. так как про это не всегда скажется в условии.
Так вот, прямоугольный треугольник обладает такими свойствами:

1. Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы равна половины гипотенузы
2. сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов
3. Сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусов
4. прямой угол всегда равен 90 градусов
5. катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы
6. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 градусам

Давайте разберёмся с Вашей задачкой. Так как нам не сказано, какой это треугольник, то попробуем это доказать. Единственное, что мы знаем, так это то, что его медиана равна половине стороны. Теперь вспоминаем свойство прямоугольного треугольника, в котором проведена медиана. И мы знаем, что именно в прямоугольном треугольнике, медиана проведённая к гипотенузе равна половине гипотенузы. Так вот, это свойство у нас с вами выполняется и выходит, что сторона — гипотенуза, которую медиана делить пополам.
Так что, вот мы с Вами и доказали, что наш треугольник прямоугольный.

треугольник — Как доказать? (Угол 90 градусов)

В неравнобедренном треугольнике ABC проведена медиана AD, ∠DAC + ∠ABC = 90o. Найдите угол ∠BAC.

задан 4 Дек ’17 0:58

Можно применить теорему синусов, и получить из неё, что угол прямой. Возможно, есть и какие-то ещё способы решения. Можно, например, основываться на том, что медиана разбивает треугольник на части равной площади.

Или воспользоваться формулой для угла между медианой и основанием: $$\cotϵ=\frac12|\cotβ−\cotγ|$$.

Уважаемый falcao, если не сложно, можно по подробнее.

Уважаемый EdwardTurJ, разъясните по подробнее пожалуйста формулу.

@Хачатур: обозначьте углы при вершинах B и C (бета и гамма). Выразите через них угол DAC. Потом примените к треугольникам ABD и ACD теорему синусов, основываясь на том, что BD=DC, а сторона AD общая. Получится тригонометрическое равенство, из которого дальше всё легко следует.

2 ответа

Проведем серединный перпендикуляр к $%BC$%. Пусть он пересекает сторону $%AB$% в точке $%C_1$%. Тогда четырехугольник $%ACDC_1 -$% вписаннный.

отвечен 5 Дек ’17 12:10

Откуда вы взяли, что точки ACDC1 лежат на одной окружности?

Уважаемый falcao, не получается ни по синусам, не по площадям.

@Хачатур: Пусть $%\angle C_1CD=\angle C_1BC=\angle 1$%. Тогда $%\angle CAD=90^<\circ>-\angle1$% по условию, а $%\angle CC_1D =90^<\circ>-\angle C_1CD=90^<\circ>-\angle1$%.

Значит, $$\angle CAD=\angle CC_1D$$ Тогда четырехугольник $%CDC_1A -$% вписанный

Уважаемый goldish09 вы изначально рисуйте треугольник АВС прямоугольным по этому все четыре точки у Вас попадают на окружность, но нам дано не равнобедренный произвольный треугольник.

@Хачатур: на рисунке может быть изображено что угодно — важно то, на чём основано доказательство. Там сначала идёт рассуждение про равенство углов. В этом момент мы не знаем, что угол А прямой, и не знаем, что 4 точки лежат на одной окружности. Она рисуется уже только после того, как доказательство завершается.

Спасибо Вам огромное, но я изначально указал что ответ 90°, мне это понятно, мне больше интересует весь процесс доказательства. В любом случай спасибо Вам всем. Я решил более интересным способом, скоро опубликую.

@Хачатур: здесь дано полное доказательство. Оно основано на установлении равенства двух углов, что было разъяснено @goldish09 в комментарии. На то, что угол прямой, в рассуждении никто не опирался. Это логически выводится из данных задачи.

Прямоугольные треугольники

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90$ градусов).

Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.

2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.

3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$.

5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на $√2$

6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $(R)$

7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

1. Синусом $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

3. Тангенсом $(tg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

4. Котангенсом $(ctg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:

5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.

6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$	$30$	$45$	$60$
$sinα$	$<1>/<2>$	$<√2>/<2>$	$<√3>/<2>$
$cosα$	$<√3>/<2>$	$<√2>/<2>$	$<1>/<2>$
$tgα$	$<√3>/<3>$	$1$	$√3$
$ctgα$	$√3$	$1$	$<√3>/<3>$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $АВ=10, АС=√<91>$. Найдите косинус внешнего угла при вершине $В$.

Так как внешний угол $АВD$ при вершине $В$ и угол $АВС$ смежные, то

Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, для угла $АВС$:

Катет $ВС$ мы можем найти по теореме Пифагора:

Подставим найденное значение в формулу косинуса

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $sin⁡A=<4>/<5>, AC=9$. Найдите $АВ$.

Распишем синус угла $А$ по определению:

Так как мы знаем длину катета $АС$ и он не участвует в записи синуса угла $А$, то можем $ВС$ и $АВ$ взять за части $4х$ и $5х$ соответственно.

Применим теорему Пифагора, чтобы отыскать $«х»$

Так как длина $АВ$ составляет пять частей, то $3∙5=15$

В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.