Как доказать что точка лежит на прямой

§ 13. Условие, при котором три данные точки лежат на одной прямой.

Пусть даны три точки: .

Уравнение прямой линии, проходящей через точки А и В, запишем в форме (20). Точка С лежит на этой прямой в том и только в том случае, когда ее координаты удовлетворяют уравнению этой прямой. Таким образом, искомым условием будет:

ГЛАВА II. ЛИНИИ И ИХ УРАВНЕНИЯ

ГЛАВА III. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

ЧАСТЬ ВТОРАЯ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

ГЛАВА III. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

ГЛАВА IV. ПЛОСКОСТЬ

ГЛАВА V. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

ГЛАВА VI. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ И КОНИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ. ПОВЕРХНОСТИ 2-го ПОРЯДКА

Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт

Взаимное расположение точки и прямой. Если точка лежит на прямой, то ее проекции должны лежать на одноименных проекциях этой прямой:

Если точка лежит на прямой, то ее проекции должны лежать на одноименных проекциях этой прямой:

Когда прямая и точка расположены в плоскости параллельной какой-либо из плоскостей p_i, то вопрос об их взаимном отношении может быть решен при построении проекций на плоскость p_i.

Одним из свойств параллельного проецирования является свойство пропорциональности, т.е. если точка делит отрезок прямой в данном отношении, то проекции этой точки делят одноименные проекции прямой в том же отношении. Таким образом, чтобы на комплексном чертеже разделить отрезок в каком-то отношении, необходимо разделить в соответствующим отношении проекции этого отрезка.

Определение длины отрезка прямой и угла ее наклона к плоскости проекции

Длину отрезка прямой AB можно определить из прямоугольного треугольника AB’B, в котором:

— катет AB’=A₁B₁ (проекция отрезка AB на плоскость p₁);

— катет BB’=DZ – разность расстояний точек A и B от плоскости p₁.

Угол j в том же треугольники определяет угол наклона отрезка прямой к плоскости p₁.

На комплексном чертеже длина отрезка A₁B₀ будет равна длине отрезка AB, а угол j — это угол наклона прямой к плоскости p₁. Точка B₀ получена путем построения отрезка B₁B₀, перпендикулярного A₁B₁ и равного DZ.

Теорема Чевы, Менелая и метод масс.

Три чевианы , и треугольника пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется следующее равенство:

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac {CG}{GA}=1$

Пример 1. Три чевианы , и треугольника пересекаются в одной точке так, что . Как относится к ?

Решение.

По теореме Чевы:

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac {CG}{GA}=1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac {CG}{GA}=1$

$\frac {CG}{GA}=\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$

$\frac {CG}{GA}=\frac{3}{4}$

Ответ: .

Теорема Менелая

Три точки , и лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется следующее соотношение:

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac {CF}{FA}=1$

Пример 2.

— медиана треугольника . Точка лежит на . пересекает в точке

Найдите как относится к , если к относится как .

Решение.

Так как точки , и лежат на одной прямой, то можно воспользоваться теоремой Менелая:

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac {CF}{FA}=1$

$\frac{4}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac {CF}{FA}=1$

$\frac {CF}{FA}=\frac{1}{4}$

Ответ: .

Метод масс

Три чевианы , и треугольника пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняются следующие равенства:

$\begin{matrix}m_{1} \cdot AE=m_{3} \cdot BE \\ m_{3} \cdot BD=m_{2} \cdot DC\\ m_{2} \cdot CG=m_{1} \cdot AG\\ m_{1} \cdot AF=(m_{3}+m_{2}) \cdot FD\\ m_{3} \cdot BF=(m_{1}+m_{2}) \cdot FG\\ m_{2} \cdot CF=(m_{1}+m_{3}) \cdot FE\\ \end{matrix}$

Пример 3. На сторонах и треугольника взяты соответственно точки и так, что , . Отрезки и пересекаются в точке . Найдите отношение .

Решение. Поставим в вершины треугольника массы так, чтобы выполнялись следующие равенства:

$\begin{matrix} m_{1} \cdot AM=m_{2} \cdot MB \\m_{2} \cdot BN=m_{3} \cdot NC \\ \end{matrix}$

Видим, что $m_{1} =3, m_{2} =2, а m_{3}=4$ .

Тогда, $4 \cdot CO=(3+2) \cdot OM$

$\frac {CO}{OM}=\frac {5}{4}$

Ответ: .

Тренировочные задания

Задача 1. Доказать, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Задача 2. Точки М и N расположены соответственно на сторонах AB и AC треугольника ABC, причем AM:MB=1:2, AN:NC=3:2. Прямая MN пересекает продолжение стороны BC в точке F. Найдите отношение: BF:CF.

Задача 3. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N так, что AM:MB=2:3, BN:NC=2:1. Отрезки AN и СM пересекаются в точке O. Найдите отношение СO:OM.

Задача 4. Стороны треугольника равны 5, 6, 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.

Задача 5. В треугольнике ABC точка D делит сторону BC в отношении BD:DC=1:3, а точка О делит AD в отношении AO:OD=5:2. В каком отношении прямая BO делит отрезок AC?

Задача 6. В треугольнике ABC взята точка M, а на стороне BC — точка K так, что AM:MC=2:3, BK:KC=4:3. В каком отношении AK делит отрезок BM?

Задача 7. В треугольнике ABC AA₁ — биссектриса, BB₁ — медиана. AB=2, AC=3. Найти BO:OB₁.

Задача 8. Медиана BD и биссектриса AE треугольника ABC пересекается в точке F. Найти площадь треугольника ABC, если AF=3FE, BD=4, AE=6.

Задача 9. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки М и N соответственно. Отрезки AN и СM пересекаются в точке L. Площади треугольников AML, CNL и ALC равны соответственно 15, 48 и 40. Найдите площадь треугольника ABC.

Задача 10. На стороне NP квадрата MNPQ взята точка A, а на стороне PQ — точка B так, что NA:AP=PB:BQ=2:3. Точка L является точкой пересечения отрезков MA и NB. В каком отношении точка L делит отрезок MA?

Как доказать что точка лежит на прямой