Как доказать что пятиугольник вписан в окружность

Вписанные многоугольники

В основном курсе геометрии доказывается, что около всякого треугольника можно описать окружность. Оказывается, для четырехугольников это уже не имеет место.

Теорема 5. Около четырехугольника можно описать окружность, тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180°.

Доказательство. Пусть ABCD — четырехугольник, около которого описана окружность (рис. 19, а). Докажем, что ?B + ?D = 180°. Действительно, эти углы измеряются половинами соответствующих дуг ADC и ABC, которые вместе составляют всю окружность. Следовательно, сами углы в сумме измеряются половиной дуги окружности, т.е. их сумма равна 180°.

Обратно, пусть в четырехугольнике ABCD сумма противоположных углов равна 180°. Через вершины A, B, C проведем окружность. Предположим, что эта окружность не проходит через вершину D (рис. 19, б). Обозначим точку пересечения окружности с прямой AD через D’. Тогда четырехугольник ABCD’ вписан в окружность и, следовательно, ?B +?D’=180°. Но по условию ?B +?D = 180°. Поэтому ?D =?D’, что невозможно, так как прямые DC и D’C не являются параллельными. Полученное противоречие показывает, что окружность, проходящая через точки A, B и C должна пройти и через точку D.

Теорема 6. В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность, тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

Доказательство. Пусть ABCD — четырехугольник, в который вписана окружность, касающаяся его сторон в точках M, N, P, Q (рис. 20, а). Дока­жем, что AB + CD = BC + AD. Действительно, из равенства отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки следуют равенства: AM = AQ, BM = BN, CN = CP, DP = DQ. Поэтому, AB + CD = AM + MB + CP + PD = AQ + QD + BN + NC = AD + BC.

Обратно, пусть в выпуклом четырехугольнике ABCD выполняется равенство AB + CD = BC + AD. Покажем, что в него можно вписать окружность. Для этого достаточно проверить, что биссектрисы углов этого четырехугольника пересекаются в одной точке. Эта точка будет равноудалена от всех сторон четырехугольника и, следовательно, будет центром искомой вписанной окружности. Если в данном четырехугольнике выполняется равенство AB=BC, то этот четырехугольник ромб. Ясно, что биссектрисы углов ромба пересекаются в одной точке — точке пересечения его диагоналей. Пусть ABBC. Предположим для определенности AB > BC (рис. 20, б). Из условия AB + CD = BC + AD следует, что AB — BC = AD — CD. Возьмем на AB точку E так, что BE=BC. Тогда AE = AB-BC. Возьмем на AD точку F так, что DF=DC. Тогда AF = AD — CD. Следовательно, AE=AF.

Треугольники AEF, BCE, CDF — равнобедренные. Поэтому биссектрисы углов A, B, D являются серединными перпендикулярами к отрезкам EF, EC, CF. Следовательно, они пересекаются в одной точке — центре окружности, описанной около треугольника EFC. Эта точка будет равноудалена от всех сторон исходного четырехугольника, т.е. будет искомым центром вписанной окружности.

Теорема Птолемея для четырехугольника, вписанного в окружность, утверждает, что произведение его диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон. Мы докажем более сильную теорему.

Теорема 7. Произведение диагоналей произвольного четырехугольника меньше или равно сумме произведений его противоположных сторон, причем равенство достигается только в случае четырехугольника, вписанного в окружность.

Доказательство. Пусть ABCD — четырехугольник. Воспользуемся инверсией с центром в точке A и радиусом R (рис. 21). Напомним, что при инверсии точкам X, отличным от A, сопоставляются точки X’ на луче AX, для которых При этом окружности, не проходящие через точку A, переходят в окружности, а окружности, проходящие через точку A, за исключением самой точки A, переходят в прямые.

Пусть точки B, C и D переходят соответственно в точки B’, C’ и D’. Тогда треугольники ABC и A’C’B’, ADC и AC’D’, ABD и AD’B’ подобны и, следовательно, имеют место равенства

Складывая почленно эти равенства, получим

Следовательно, имеет место неравенство

При этом, равенство достигается только в случае, когда точки B’, C’, D’ принадлежат одной прямой. Это выполняется только в случае, если точки B, C, D принадлежат окружности, проходящей через точку A.

Рассмотрим теперь пятиугольники, вписанные в окружность.

Теорема 8. Сумма любых двух несмежных углов вписанного пятиугольника больше 180°.

Доказательство следует из того, что углы A и C пятиугольника ABCDE опираются на дуги, в сумме составляющие всю окружность плюс дугу DE (рис. 22).

Естественный вопрос, который возникает после этого — является полученное условие достаточным для того, чтобы около пятиугольника можно было описать окружность?

Пример такого пятиугольника легко построить. Возьмем какой-нибудь вписанный пятиугольник ABCDE (рис. 23) и, продолжая две его стороны, построим пятиугольник ABCD’E’ так, чтобы сторона D’E’ была параллельна DE. Тогда углы этого пятиугольника будут равны углам исходного, и около него нельзя описать окружность.

Поставим другой вопрос, связанный с достаточным условием вписанности пятиугольника. Пусть ABCDE — пятиугольник, сумма любых двух несмежных углов которого больше 180°. Существует ли пятиугольник A’B’C’D’E’ с такими же углами, около которого можно описать окружность?

Прежде чем ответить на этот вопрос выразим углы между диагоналями вписанного пятиугольника ABCDE, выходящими из одной вершины через углы самого пятиугольника.

Легко видеть, что ?CAD = ?B + ?E — 180°. Аналогичным образом выражаются и другие углы (рис. 24).

Вернемся теперь к поставленному вопросу. Для ответа на него рассмотрим какую-нибудь окружность и разделим ее на дуги, равные удвоенным углам между диагоналями исходного пятиугольника, выходящим из одной вершины. Концы этих дуг будут вершинами искомого пятиугольника вписанного в окружность.

Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема 9. Для произвольного пятиугольника ABCDE, суммы любых двух несмежных углов которого больше 180°, существует пятиугольник A’B’C’D’E’ с такими же углами, около которого можно описать окружность.

Ситуация с вписанными в окружность семиугольниками, девятиугольниками и т. д. аналогична рассмотренной ситуации с пятиугольниками.

Для вписанных многоугольников с четным числом сторон ситуация аналогична ситуации с вписанным четырехугольником.

Пятиугольник, вписанный в окружность

Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD. Делим пополам радиус АО в точке Е. Из Ерадиусом ЕС проводим дугу CF, пересекая ею диаметр АВ в точке F. Из С радиусом CFпроводим дугу FG, пересекая ею данную окружность в точке G; CG (= CF) есть одна сторона искомой фигуры. Проводим тем же радиусом дугу mn из центра G, получаем еще одну вершину Н искомой фигуры и т. д.

Пятиугольник, описанный около окружности

Имеем исходную окружность с центром в точке O. Так как сумма углов, составляющих центральный угол окружности, равна 360°. Делим данный угол на 5 частей (т.к. строим пятиугольник) с помощью транспортира, т.е. 360°:5=72°. Получаем 5 вершин: A, B, C, D, E. Соединяем эти вершины, получаем правильный пятиугольник.

Правильный пятиугольник

По теореме о сумме углов выпуклого многоугольника, сумма углов правильного пятиугольника равна 180º(5-2)=540º.

Так как все углы правильного n-угольника равны между собой, каждый внутренний угол правильного пятиугольника равен 540º:5=108º (в частности, ∠A₂A₁A₅=108º).

Сумма внешних углов многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360º. Поскольку все внешние углы правильного пятиугольника равны между собой, градусная мера каждого, например, угла 1, равна

∠1=360º:5=72º (можно было внешний угол искать как смежный с внутренним).

Каждый центральный угол правильного пятиугольника, например, угол A₁O A₂, равен

Как и любой другой правильный многоугольник, правильный пятиугольник вписан в окружность и описан около окружности.

Соединив центр правильного многоугольника с его вершинами, получим пять равных равнобедренных треугольников.

Основанием каждого такого треугольника равно стороне 5-угольника, боковые стороны равны радиусу описанной окружности, угол при вершине — центральному углу 5-угольника.

Проведём из вершины высоту OF.

По свойству равнобедренного треугольника, OF является также медианой и биссектрисой треугольника A₁OA₅, то есть

Рассмотрим прямоугольный треугольник A₁OF.

Таким образом, формула радиуса описанной около правильного пятиугольника окружности —