VMath
Благодарю Ю.А.Смолькина за обнаружение 07.08.19 ошибки на настоящей странице и информирование о ней.
Линейное пространство
Определения
Пусть дано множество $ \mathbb V_<>=\left\ < X,Y,Z,U,\dots \right\>$ элементов произвольной природы. Пусть для элементов этого множества определены две операции: сложения $ X+Y_<> $ и умножения на любое вещественное число $ \alpha_<> $: $ \alpha \cdot X_<> $, и множество $ \mathbb V_<> $ замкнуто относительно этих операций: $ X+Y \in \mathbb V ,\ \alpha \cdot X \in \mathbb V_<> $. Пусть эти операции подчиняются аксиомам:
1. $ X+Y=Y+X_<> $ для $ \ < X,\, Y\>\subset \mathbb V_<> $;
2. $ (X+Y)+Z_<>=X+(Y+Z) $ для $ \ < X,\, Y,\, Z \>\subset \mathbb V_<> $;
3. в $ \mathbb V_<> $ cуществует нулевой вектор $ \mathbb O_<> $ со свойством $ X+ \mathbb O =X_<> $ для $ \forall X\in \mathbb V_<> $;
4. для каждого $ X\in \mathbb V_<> $ существует обратный вектор $ X^<\prime>\in \mathbb V_<> $ со свойством $ X+X^<\prime>=\mathbb O_<> $;
5. $ 1\cdot X=X_<> $ для $ \forall X\in \mathbb V_<> $;
6. $ \lambda \left(\mu X \right)_<>= \left(\lambda \mu \right)X $ для $ \forall X\in \mathbb V_<> $, $ \ <\lambda ,\, \mu \>\subset \mathbb R_<> $ ;
7. $ (\lambda + \mu)X=\lambda X + \mu X_<> $ для $ \forall X\in \mathbb V_<> $, $ \<\lambda ,\, \mu \>\subset \mathbb R_<> $ ;
8. $ \lambda (X + Y) =\lambda X_<> + \lambda Y $ для $ \ < X,\, Y\>\subset \mathbb V_<> , \lambda \in \mathbb R $.
Тогда такое множество $ \mathbb V_<> $ называется линейным (векторным) пространством, его элементы называются векторами, и — чтобы подчеркнуть их отличие от чисел из $ \mathbb R_<> $ — последние называются скалярами 1) . Пространство, состоящее из одного только нулевого вектора, называется тривиальным .
Элементарно доказывается единственность нулевого вектора, и единственность вектора, обратного вектору $ X\in \mathbb V_<> $: $ X^<\prime>=-1\cdot X_<> $, его привычно обозначают $ — X_<> $.
Подмножество $ \mathbb V_ <1>$ линейного пространства $ \mathbb V_<> $, само являющееся линейным пространством (т.е. $ \mathbb V_ <1>$ замкнуто относительно сложения векторов и умножения на произвольный скаляр), называется линейным подпространством пространства $ \mathbb V_<> $. Тривиальными подпространствами линейного пространства $ \mathbb V_<> $ называются само $ \mathbb V_<> $ и пространство, состоящее из одного нулевого вектора $ \mathbb O_<> $.
Примеры линейных пространств
Пример 1. Пространство $ \mathbb R^ <3>$ упорядоченных троек вещественных чисел $ (a_1,a_2,a_<3>) $ с операциями, определяемыми равенствами:
$$ (a_1,a_2,a_3)+(b_1,b_2,b_3)= (a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3),\ \alpha (a_1,a_2,a_3) = ( \alpha a_1, \alpha a_2, \alpha a_3 ) \ . $$ Геометрическая интерпретация очевидна: вектор в пространстве, «привязанный» к началу координат, может быть задан координатами своего конца $ (a_1,a_2,a_<3>) $. На рисунке показано и типичное подпространство пространства $ \mathbb R^ <3>$: плоскость, проходящая через начало координат. 
Точнее говоря, элементами $ \mathbb V_1 $ являются векторы, имеющие начало в начале координат и концы — в точках плоскости. Замкнутость такого множества относительно сложения векторов и их растяжения 2) очевидна.
Пример 2. Основываясь на том же примере, можно дать и иную интерпретацию векторного пространства $ \mathbb V_1 $ (заложенную, кстати, уже в самом происхождении слова «вектор» 3) ) — оно определяет набор «сдвигов» точек пространства $ \mathbb R^ <3>$. Эти сдвиги — или параллельные переносы любой пространственной фигуры — выбираются параллельными плоскости $ \mathbb V_1 $.
Пример 3. Естественным обобщением $ \mathbb R^ <3>$ служит пространство $ \mathbb R_<>^
$$ \left\<\begin
Почему множество решений системы неоднородных уравнений не образует линейного подпространства?
Пример 4. Обобщая далее, можем рассмотреть пространство «бесконечных» строк или последовательностей
$$ (x_1,\dots,x_n, \dots ) \, , $$ обычно являющееся объектом математического анализа — при рассмотрении последовательностей и рядов. Подпространство этого пространства образуют, например, линейные рекуррентные последовательности $ \
Пример 5. Множество $ m\times n_<> $-матриц с вещественными элементами с операциями сложения матриц и умножения на вещественные числа образует линейное пространство. Будем обозначать это пространство $ \mathbb R^
В пространстве квадратных матриц фиксированного порядка каждое из следующих подмножеств составляет линейное подпространство: симметричных, кососимметричных, верхнетреугольных, нижнетреугольных и диагональных матриц.
Пример 6. Множество полиномов одной переменной $ x_<> $ степени в точности равной $ n_<> $ с коэффициентами из $ \mathbb A_<> $ (где $ \mathbb A_<> $ — любое из множеств $ \mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb R_<> $ или $ \mathbb C_<> $) с обычными операциями сложения полиномов и умножения на число из $ \mathbb A_<> $ не образует линейного пространства. Почему? — Потому что оно не является замкнутым относительно сложения: сумма полиномов
$$ f(x)=x^n -x+1 \quad \mbox < и >\quad g(x)=-x^n+x^
$$ \mathbb P= \bigcup_
Пример 7. Обобщением предыдущего случая будет пространство полиномов нескольких переменных $ x_1,\dots, x_ <\ell>$ степени не выше $ n_<> $ с коэффициентами из $ \mathbb A_<> $. Например, множество линейных полиномов
$$ \left\< a_1x_1+\dots+a_<\ell>x_<\ell>+b \big| (a_1,\dots,a_<\ell>,b) \in \mathbb A^ <\ell+1>\right\> $$ образует линейное пространство. Множество однородных полиномов (форм) степени $ n_<> $ (с присоединением к этому множеству тождественно нулевого полинома) — также линейное пространство.
Изоморфизм
Пусть имеются два линейных пространства разной природы: $ \mathbb V_<> $ с операцией $ +_<> $ и $ \mathbb W_<> $ с операцией $ \boxplus_<> $. Может оказаться так, что эти пространства «очень похожи», и свойства одного получаются простым «переводом» свойств другого.
Говорят, что пространства $ \mathbb V_<> $ и $ \mathbb W_<> $ изоморфны если между множествами их элементов можно установить такое взаимно-однозначное соответствие, что если $ X_<> \leftrightarrow X^ <\prime>$ и $ Y_<> \leftrightarrow Y^ <\prime>$ то $ X+Y \leftrightarrow X_<>^ <\prime>\boxplus Y^ <\prime>$ и $ \lambda X_<> \leftrightarrow \lambda X^ <\prime>$.
При изоморфизме пространств $ \mathbb V_<> $ и $ \mathbb W_<> $ нулевому вектору одного пространства будет соответствовать нулевой вектор другого пространства.
Пример. Пространство $ \mathbb R^
Пример. Пространство $ \mathbb R^
Пример. Пространство квадратичных форм от $ n_<> $ переменных изоморфно пространству симметричных матриц $ n_<> $-го порядка. Изоморфизм устанавливается соответствием, которое мы проиллюстрируем для случая $ n=3_<> $:
Линейная зависимость, базис, координаты
Линейной комбинацией системы векторов $ \
Множество всевозможных линейных комбинаций системы векторов $ \
Теорема 1. Линейная оболочка векторов $ X_1,\dots,X_
Пример. В пространстве $ \mathbb P_
Система векторов $ \< X_<1>,\dots,X_m \> $ называется линейно зависимой (л.з.) если существуют числа $ \alpha_<1>,\dots,\alpha_m $, такие что хотя бы одно из них отлично от нуля и $$ \alpha_1X_1+\dots+\alpha_mX_m=\mathbb O $$ Если же это равенство возможно только при $ \alpha_<1>=0,\dots,\alpha_m=0 $, то система векторов называется линейно независимой (л.н.з.).
Пример. Для полиномов нескольких переменных свойство линейной зависимости является частным проявлением более общего свойства функциональной зависимости. Так, однородные полиномы (формы)
$$ f_1=(x_1+x_2+x_3)^2,\quad f_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3,\quad f_3=x_1^2+x_2^2+x_3^2 $$ являются линейно зависимыми, поскольку $$ f_1-2\,f_2-f_3 \equiv 0 \ . $$ Полиномы $$ \tilde f_1=x_1+x_2+x_3,\quad f_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3,\quad f_3=x_1^2+x_2^2+x_3^2 $$ не являются линейно зависимыми, но являются функционально зависимыми, поскольку $$ \tilde f_1^2-2\,f_2-f_3 \equiv 0 \ . $$ ♦
Теорема 2. а) Если система содержит хотя бы один нулевой вектор, то она л.з.
б) Если система л.н.з., то и любая ее подсистема л.н.з.
в) При $ m>1 $ система $ \
Теорема 3. Если каждый из векторов системы $ \ < X_1,\dots,X_
Доказательство аналогично приведенному ☞ ЗДЕСЬ.
Две системы векторов называются эквивалентными если каждый вектор одной системы линейно выражается через векторы другой и обратно.
Теорема 4. Системы векторов
$$ \ < X_1,\dots,X_
Теорема 5. Если каждая из двух эквивалентных систем
$$ \ < X_1,\dots,X_
Линейно независимая система векторов $ \
При этом не подразумевается конечность системы, т.е. суммирование может распространяться на бесконечное число слагаемых. Так, например, пространство бесконечных строк (или последовательностей) $ \left[a_<1>,a_2,\dots\, \right] $ имеет бесконечный базис, состоящий из векторов $$ [\underbrace<0,\dots,0,1>_j,0,\dots \, ] \quad npu \ j \in \mathbb N \ . $$
В случае, когда базис пространства $ \mathbb V_<> $ конечен, пространство $ \mathbb V_<> $ называется конечномерным, а число векторов базиса тогда называется размерностью пространства $ \mathbb V_<> $ и обозначается 5) : $ \dim \mathbb V_<> $. Также полагают, что размерность тривиального пространства, состоящего из одного только нулевого вектора, равна нулю: $ \dim \ <\mathbb O_<>\>= 0 $.
Пример. Линейное пространство $ m\times n_<> $ матриц имеет размерность $ mn_<> $. Так, для случая $ m_<>=3 ,n=2 $ в качестве базиса можно выбрать следующий набор матриц
$$ \left( \begin
Найти размерности подпространства симметричных и подпространства кососимметричных матриц порядка $ n_<> $.
Пример [1]. Замечательный пример трехмерного линейного пространства дает нам совокупность всех цветов. Под суммой двух цветов будем понимать цвет, образованный их смешением
под умножением цвета на положительное число $ k_<> $ — увеличение в $ k_<> $ раз яркости цвета
Анимация ☞ ЗДЕСЬ (1500 K, gif)
под умножением на $ (-1) $ — взятие дополнительного цвета. При этом оказывается, что совокупность всех цветов выражается линейно через три цвета: красный, зеленый и синий, т.е. образует трехмерное линейное пространство. (Точнее, некоторое тело в трехмерном пространстве, поскольку яркости цветов ограничены верхним порогом раздражения.) Исследование этого трехмерного тела всех цветов является важным орудием цветоведения. ♦
Если $ \dim \mathbb V=d_<> $ и вектора $ X_1,\dots,X_
Теорема 6. Если $ \dim \mathbb V=d>0 $, то любая система из $ d_<> $ линейно независимых векторов пространства образует базис этого пространства.
Доказательство. Пусть $ \
Теорема 7. Любой вектор $ X \in \mathbb V_<> $ может быть разложен по фиксированному базису пространства единственным образом.
Очевидно, $ \dim \mathbb R^
Имеются два способа задания линейных подпространств в $ \mathbb R^
Пример. Найти базис подпространства
Решение. Ищем $$ \operatorname
Ответ. Базис составляют, например, первая, вторая и четвертая строки.
Другим способом задания линейного подпространства в $ \mathbb R^
Теорема 8. Множество решений системы однородных уравнений $ AX=\mathbb O_<> $ образует линейное подпространство пространства $ \mathbb R^
Пример. В пространстве $ \mathbb P_
$$ f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n $$ будут его коэффициенты. Можно выбрать и другой базис, например, $ \ <1, x-c,(x-c)^2,\dots,(x-c)^n \>$ при произвольном числе $ c_<> $. Координатами полинома в этом базисе будут теперь коэффициенты формулы Тейлора: $$ f(x) \equiv f(c)+ \frac
Найти координаты полинома
Теорема 9. Любое векторное пространство $ \mathbb V_<> $ размерности $ d_<> $ изоморфно $ \mathbb R^
Доказательство. Изоморфизм можно установить следующим соответствием. Если $ \
Критерии линейной зависимости
Теорема . Строки
$$ \<(a_<11>,\dots,a_<1n>),\dots, (a_
Теорема . Строки
$$ \<(a_<11>,\dots,a_<1n>),\dots, (a_
$$ \<(a_<11>,\dots,a_<1n>),\dots, (a_
Теорема . Аналитические на интервале $ ]a,b[ $ функции $ u_1(x),\dots,u_n(x) $ линейно зависимы на $ ]a,b[ $ тогда и только тогда, когда их вронскиан
Относительный базис
В настоящем пункте $ \mathbb V_1 $ обозначает линейное подпространство пространства $ \mathbb V_<> $, отличное от тривиального; обозначаем $ d_1=\dim \mathbb V_1 $.
Теорема. Произвольный базис подпространства $ \mathbb V_1 $ можно дополнить до базиса пространства $ \mathbb V_<> $.
Доказательство. Пусть $ \
Говорят, что система векторов $ \
Теорема. Обозначим $ \
Пример. Найти все значения параметра $ <\color
Решение. Базисом подпространства $ \mathbb V_1 $ является произвольная ФСР заданной системы однородных уравнений, например $ \
Ответ. $ <\color
Говорят, что система векторов $ \
Теорема. Обозначим $ \ < Y_1,\dots,Y_
Доказательство. Действительно, любой вектор $ X\in \mathbb V_<> $ выражается через векторы $ X_1,\dots,X_k,Y_1,\dots,Y_
Базис $ \mathbb V_<> $ строится дополнением базиса $ \mathbb V_1 $ векторами $ X_1,\dots,X_k $ линейно независимыми относительно $ \mathbb V_1 $. Поэтому $$<.>_<> \mbox <число векторов относительного базиса >\ = \dim \mathbb V — \dim \mathbb V_1 \ .$$
Это число называется коразмерностью 6) подпространства $ \mathbb V_1 $ в пространстве $ \mathbb V $.
Сумма и пересечение линейных подпространств
Пусть $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $ — подпространства линейного пространства $ \mathbb V_<> $. Множество $$ \mathbb V_1+ \mathbb V_2 = \left\
Понятие пересечения линейных подпространств совпадает с понятием пересечения их как множеств.
Теорема. $ \mathbb V_1+ \mathbb V_2 $ и $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $ являются подпространствами линейного пространства $ \mathbb V_<> $.
Докажите, что $ \mathbb V_1+ \mathbb V_2 $ — это подпространство минимальной размерности, содержащее как $ \mathbb V_1 $, так и $ \mathbb V_2 $.
Теорема. Имеет место формула:
$$ \dim \, \mathbb V_1 + \dim \, \mathbb V_2=\dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2) + \dim \, (\mathbb V_1 + \mathbb V_2) \ . $$
Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.
Можно ли обобщить этот результат на случай трех (и более подпространств)? Cправедлив ли, к примеру, аналог формулы включений-исключений в следующем виде:
$$\dim \, \mathbb V_1 + \dim \, \mathbb V_2 + \dim \, \mathbb V_3 — $$ $$ -\left\ <\dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2) + \dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_3) + \dim \, (\mathbb V_2 \cap \mathbb V_3) \right\>+ $$ $$+ \dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 \cap \mathbb V_3) =\dim \, (\mathbb V_1 + \mathbb V_2 + \mathbb V_3) \ ?$$
Теорема. Имеет место формула:
Пример. Найти базис суммы и размерность пересечения
$$\mathbb V_1=<\mathcal L>\left( \left[ \begin
Решение. Действуя согласно предыдущей теореме, составляем матрицу из всех векторов $$ \left( \begin
Ответ. Базис $ \mathbb V_1 + \mathbb V_2 $ составляют векторы $ X_1,X_2,X_3 $; $ \dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2) = 3+2 — 3 =2 $.
Алгоритм нахождения базиса $ <\mathcal L>(X_1,\dots,X_m) \cap <\mathcal L>(Y_1,\dots,Y_<\ell>) $ проиллюстрируем на примере.
Пример. Найти базис $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $ при
$$ \begin
Решение. 1. Сначала найдем базисы каждого из подпространств: $$\dim \mathbb V_1=2, \ \mathbb V_1=\mathcal L(X_1, X_2) \ ; \ \dim \mathbb V_2=3,\ \mathbb V_2=\mathcal L(Y_1, Y_2, Y_3) \ . $$
2. Произвольный вектор $ Z\in \mathbb R^5 $, принадлежащий $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $, должен раскладываться по базису каждого из подпространств: $$Z=\alpha_1 X_1 + \alpha_2 X_2= \beta_1 Y_1 + \beta_2 Y_2 + \beta_3 Y_3 \ .$$ Для определения неизвестных значений координат составляем систему уравнений $$ \begin
3. Получившиеся значения координат позволяют выразить базис пересечения — либо через базис подпространства $ \mathbb V_1 $ (если использовать полученные значения для $ \alpha_1,\alpha_2 $), либо через базис подпространства $ \mathbb V_2 $ (если использовать $ \beta_1,\beta_2, \beta_3 $). Например, $$ Z_1=-1/3 X_1 + 1/3 X_2 = [0,1,0,1,0]^<^<\top>>,\ $$ $$ Z_2=1/3 X_1 + 2/3 X_2 = [1,1,1,1,1]^<^<\top>> \ . $$
Найти базисы суммы и пересечения подпространств
Решение ☞ ЗДЕСЬ.
Прямая сумма линейных подпространств
Пусть $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $ — подпространства линейного пространства $ \mathbb V_<> $. Говорят, что $ \mathbb V_<> $ раскладывается в прямую сумму подпространств $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $ если любой вектор $ X\in \mathbb V_<> $ может быть представлен в виде $ X=X_1+X_2 $, где $ X_1\in \mathbb V_1,X_2\in \mathbb V_2 $ и такое представление единственно. Этот факт записывают: $ \mathbb V= \mathbb V_1 \oplus \mathbb V_2 $. Вектор $ X_ <1>$ называется проекцией вектора $ X_<> $ на подпространство $ \mathbb V_1 $ параллельно подпространству $ \mathbb V_ <2>$.
Пример. Линейное пространство квадратных матриц порядка $ n_<> $ раскладывается в прямую сумму подпространств: подпространства симметричных матриц и подпространства кососимметричных матриц. В самом деле, для матрицы $ A_
$$A=\frac<1> <2>\left(A+A^ <^\top>\right) + \frac<1> <2>\left(A-A^ <^\top>\right) $$ и в правой части первая скобка дает симметричную матрицу, а вторая — кососимметричную. Покажите, что не существует иного разложения матрицы $ A_<> $ в сумму симметричной и кососимметричной.
Теорема. Пусть $ \mathbb V=\mathbb V_1 + \mathbb V_2 $. Эта сумма будет прямой тогда и только тогда, когда подпространства $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $ имеют тривиальное пересечение:
$$\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2=\ <\mathbb O \>\ .$$
Доказательство. Необходимость. Пусть сумма $ \mathbb V_1 + \mathbb V_2 $ — прямая, но существует вектор $ X\ne \mathbb O $, принадлежащий $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $. Но тогда и вектор $ (-X) $ принадлежит $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $. Для нулевого вектора $ \mathbb O $ получаем два представления в виде суммы проекций на подпространства: $$ \mathbb O = \mathbb O + \mathbb O = X+ (-X) \, . $$ Это противоречит понятию прямой суммы.
Достаточность. Если $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2=\ <\mathbb O \>$, но существует вектор $ X \in \mathbb V_1 + \mathbb V_2 $, имеющий два различных разложения в сумму проекций $$ X=X_1+X_2 =Y_1+ Y_2 \quad npu \quad \
Сумма $ \mathbb V=\mathbb V_1 + \mathbb V_2 $ будет прямой тогда и только тогда, когда базис $ \mathbb V_<> $ может быть получен объединением базисов $ \mathbb V_
Пример [2]. Доказать, что сумма подпространств
$$\mathbb V_1=<\mathcal L>\left( \left[ \begin
Решение. Базисы $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $ составляют соответственно системы $ \
Линейные многообразия
Пусть $ \mathbb V_1 $ — линейное подпространство пространства $ \mathbb V_<> $, а $ X_ <0>$ — произвольный фиксированный вектор из $ \mathbb V_<> $. Множество $$ \mathbb M = X_0+ \mathbb V_1 = \left\
Пример. Множество полиномов вида
$$ f(x)= a_0x^3+a_1x^2+a_2x+1 \in \mathbb R[x] \, , $$ т.е. таких, что $ \deg f \le 3, f(0)=1 $ образует линейное многообразие, порожденное линейным подпространством полиномов $ \ < x(a_0x^2+a_1x+a_2) \mid (a_0,a_1,a_2) \in \mathbb R^3 \>$.
Пересечение многообразий определяется традиционным способом, а сумма многообразий не определяется. Будем называть многообразия, порожденные одним и тем же подпространством $$ \mathbb M = X_0+ \mathbb V_1 \quad u \quad \tilde <\mathbb M>= \tilde X_0+ \mathbb V_1 \ , $$ параллельными многообразиями.
Пример. Множество столбцов пространства $ \mathbb R^
$$ \left\<\begin
$ \
а $ \mathfrak r= \operatorname
Получаем, следовательно, $ (n-<\mathfrak r>) $-мерную плоскость в $ \mathbb R^n $, a в случае $ (n-<\mathfrak r>)=1 $ — прямую $$\mathbb M=X_0+tX_1 \quad npu \ t \in \mathbb R \ ; $$ в последнем случае вектор $ X_ <1>$ называют направляющим вектором этой прямой.
Некоторые задачи на линейные многообразия ☞ ЗДЕСЬ.
Факторпространство
Преобразование координат при замене базиса
Пусть $ \mathbb V_<> $ — линейное пространство размерности $ n_<> $, пусть $$ \
Задача. Вывести соотношения, связывающие координаты произвольного вектора $ X\in \mathbb V_<> $ в старом и новом базисах: $$X=x_1X_1+\dots+x_nX_n=<\mathfrak x>_1<\mathfrak X>_1+\dots+<\mathfrak x>_n<\mathfrak X>_n \ .$$
Предположим, что нам известны координаты векторов нового базиса в старом: $$ \left\< \begin
Доказательство. Cначала покажем справедливость утверждения в частном случае $ \mathbb V=\mathbb R^n $. Вектора нового и старого базисов являются столбцами из $ n $ вещественных чисел, и равенства, задающие элементы матрицы $ C_<> $, можно переписать в матричном виде: $$ \left[<\mathfrak X>_1|\dots|<\mathfrak X>_n\right]=\left[X_1|\dots|X_n\right]\cdot C \ . $$ Здесь $ | $ означает конкатенацию. Поскольку системы $ \
Теперь докажем теорему для случая произвольного пространства. Если $ \det C= 0 $, то столбцы матрицы $ C_<> $ линейно зависимы (см. ☞ ЗДЕСЬ ), т.е. существует линейная комбинация $$\alpha_1 c_
Пример. Найти матрицу перехода
| от базиса | к базису |
|---|---|
| $ \left[1,1,0,0,0\right] $ | $ \left[1,1,1,1,1\right] $ |
| $ \left[1,0,1,0,0\right] $ | $ \left[1,1,1,1,0\right] $ |
| $ \left[1,0,0,1,0\right] $ | $ \left[1,1,1,0,0\right] $ |
| $ \left[1,0,0,0,1\right] $ | $ \left[1,1,0,0,0\right] $ |
| $ \left[1,1,1,1,1\right] $ | $ \left[1,0,0,0,0\right] $ |
Решение. Можно попытаться найти элементы матрицы $ C_<> $ напрямую — устанавливая формулы связи между строками. В нашем конкретном примере это не очень трудно сделать — первый и четвертый столбцы матрицы $ C_<> $ вообще очевидны поскольку $ <\mathfrak X>_1 = X_5,\, <\mathfrak X>_4 = X_1 $. Но мы пойдем по формальному пути и воспользуемся определяющим матричным соотношением, которое мы получили при доказательстве предыдущей теоремы. Поставим координаты базисных векторов по столбцам соответствующих матриц: $$ \left[<\mathfrak X>_1|\dots|<\mathfrak X>_n\right]=\left[X_1|\dots|X_n\right]\cdot C \quad \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \ C= \left[X_1|\dots|X_n\right]^ <-1>\cdot \left[<\mathfrak X>_1|\dots|<\mathfrak X>_n\right] \ . $$ В нашем примере имеем: $$ C= \left( \begin
Теорема. Координаты вектора в старом и новом базисах связаны посредством матрицы перехода $ C_<> $ соотношениями
Практическое значение последнего результата невелико, т.к. нас интересуют именно новые координаты.
Новые координаты выражаются через старые по формуле
$$ \left( \begin
Пусть в некотором «новейшем» базисе $ \< <\mathcal X>_1,\dots,<\mathcal X>_n \> $ пространства $ \mathbb V_<> $ вектор $ X_<> $ имеет координаты $ (\varkappa_1,\dots,\varkappa_n) $. Как они связаны с координатами $ (x_<1>,\dots,x_n) $ в старом базисе $ \
Евклидовы пространства
— как линейные пространства, в которых вводится понятия угла и расстояния между векторами — рассматриваются ☞ ЗДЕСЬ.
Нормированные пространства
— как линейные пространства, в которых вводится понятие расстояния между векторами — рассматриваются ☞ ЗДЕСЬ.
ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ (ВЕКТОРНЫЕ) ПРОСТРАНСТВА
Занимаясь математикой, мы встречались с различными множествами, которые в чем-то похожи друг на друга. Так, при изучении множеств всех свободных векторов, всех матриц одинаковых размеров, всех функций, заданных на действительной прямой, замечаем, что во всех этих множествах определены операции сложения и умножения на число, причем обладают эти операции одинаковыми свойствами. В связи с этим нет необходимости каждое из перечисленных множеств изучать в отдельности. Все похожие множества мы объединяем в одну Категорию и изучаем одновременно на основании общих свойств одинаковых операций. Конечно, каждое из множеств обладает и какими-то особенностями. Например, во множестве свободных векторов определены операции векторного и смешанного произведения, во множестве матриц — транспонирование, а во множестве функций — дифференцирование. При изучении категорий мы отвлекаемся от различий входящих в нее множеств, а изучаем только их общие качества. Итак, сейчас мы приступаем к изучению первой категории в нашем курсе – категории линейных пространств.
§1. Определение линейного пространства и простейшие следствия из аксиом
Будем называть Полем и обозначать буквой Р множество действительных либо множество комплексных чисел.
Пусть V – множество элементов произвольной природы. Говорят, что в V Задана Внутренняя операция, если задан закон, по которому каждой паре элементов X И Y, Принадлежащих V , Ставится в соответствие элемент Z, также принадлежащий V.
Примерами внутренних операций являются: сложение во множествах чисел, матриц, векторов, функций; умножение во множестве чисел, векторное произведение.
Пусть теперь V – множество элементов произвольной природы, Р – поле действительных или комплексных чисел. Говорят, что в V Задана Внешняя операция – умножение на числа из Р – Если задан закон, по которому каждой паре элементов X
V И αР ставится в соответствие элемент 
.
Примерами внешних операций являются: умножение чисел (V= Р =R, Или V = Р = С, Или V = C, P = R), умножение вектора на число, умножение матрицы на число.
В определении линейного пространства участвуют два множества: множество элементов произвольной природы V и поле Р действительных либо комплексных чисел. Чтобы их различать, будем элементы множества V обозначать малыми латинскими буквами со стрелками 
, а элементы поля Р – числа – малыми греческими буквами (α,β…).
Определение. Линейным (векторным) пространством над полем Р называется множество V Элементов произвольной природы, в котором заданы две операции: внутренняя – сложение, и внешняя – умножение на числа из Р , причём эти операции удовлетворяют следующим аксиомам:
1*. 
—Коммутативность сложения;
2*. 
—Ассоциативность сложения;
3*. 
-существование нейтрального элемента);
4*. 
-существование противоположного элемента;
5*. 
;
6*. 
;
7*. 
;
8*. 
.
Если P = R, то линейное пространство называется действительным, если Р = С, то – комплексным.
Упражнение. Может ли действительное линейное пространство состоять только из одного элемента? Только из двух элементов?
Примеры линейных пространств
1. V = V3 – множество свободных векторов, Р = R. Внутренняя операция – сложение, внешняя – умножение вектора на число. Мы видим, что аксиомы линейного пространства просто «списаны» со свойств сложения векторов и умножения вектора на число. Поэтому линейное пространство и имеет второе название – векторное, а элементы произвольного линейного пространства называются векторами.
2. V = R, P = R. Внутренняя операция – сложение, внешняя – умножение чисел. Очевидно, все аксиомы выполняются, поэтому поле действительных чисел является действительным линейным пространством. Точно так же поле комплексных чисел является комплексным линейным пространством.
3. V = C, P = R. Внутренняя операция–сложение комплексных чисел, внешняя – умножение комплексного числа на действительное. Очевидно, и в этом случае аксиомы выполняются. Значит, множество комплексных чисел является как комплексным, так и действительным линейным пространством.
4. 
— .Множество матриц размеров 
с элементами из Р — линейное пространство над полем Р относительно обычных операций сложения матриц и умножения матрицы на число.
5. 
— множество всех решений однородной системы линейных уравнений – линейное пространство относительно обычных операций сложения решений и умножения решения на число.
6. V=F(R) — множество всех функций, определённых на всей действительной прямой – действительное линейное пространство относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число.
7. V = C[A,B] — множество всех функций, непрерывных на отрезке [A,B], – действительное линейное пространство относительно тех же операций.
8. Пусть 
— множество упорядоченных наборов N Действительных чисел, P = R. Введём в 
операции сложения и умножения на число следующим образом: положим
Таким образом, в Эти операции являются соответственно внутренней и внешней. Проверим выполнение аксиом. 
1*. 
;
2*. 
3*. 
4*. 
;
5*. 
Аналогично проверяется выполнение оставшихся трёх аксиом.
Точно так же можно показать, что множество
|
>
Является как комплексным, так и действительным линейным пространством относительно тех же операций.
Чтобы не создалось иллюзии, что все множества, элементы которых можно складывать и умножать на числа, будут линейными пространствами, приведём примеры множеств, которые таковыми не являются.
1. Множество натуральных чисел не является действительным линейным пространством относительно обычных операций, так как операция умножения натурального числа на действительное не является внешней (например, 
).
2. Множество всех разрывных на отрезке [A,B] функций не является действительным линейным пространством относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число, так как операция сложения не является внутренней (при сложении разрывных функций может получиться непрерывная).
3. Пусть 
Введём в 
Внутреннюю и внешнюю операцию следующим образом:
Так как операция сложения введена обычным образом, то она удовлетворяет всем аксиомам для нее.
Проверим выполнение аксиом для операции умножения на число. 
5*. 
6*.
7*. 
8*. 
, если 
.
Итак, введённые здесь внутренняя и внешняя операции удовлетворяют всем аксиомам линейного пространства за исключением одной, последней, про которую студенты часто забывают, считая её очевидной.
Простейшие следствия из аксиом.
Линейное пространство впредь будем обозначать буквой V.
1º.В линейном пространстве существует единственный нейтральный элемент.
►Предположим, что в некотором линейном пространстве есть два
Нейтральных элемента: 
и 
. Тогда
Итак, мы пришли к противоречию.◄
2º.В линейном пространстве, каждый элемент имеет единственный противоположный.
►Предположим, что некоторый элемент 
имеет два различных противоположных — 
и 
, то есть 
. Получаем:
—
Опять пришли к противоречию.◄
3º. 
►
◄
Замечание. При доказательстве следствий можно использовать либо аксиомы, либо уже доказанные следствия.
4º. 
► 
Таким образом, 
— противоположный к 
. Поэтому, на основании 2-го следствия, 
◄
5º. 
►
◄
6º. В линейном пространстве из равенства 
вытекает: либо 
, либо 
.
►а) – утверждение верно.
в) 
Тогда имеем: 
◄
§2. Линейная зависимость и независимость элементов
Линейного пространства
Определение. Система элементов
(1)
Линейного пространства 
над полем Р называется Линейно зависимой, если существуют числа 
из поля Р, не все равные 0, такие, что
. (2)
Система (1) называется Линейно независимой, если равенство (2) выполняется Только в том случае, когда
, (3)
Т. е. когда из равенства (2) вытекает (3).
Примеры линейной зависимости и независимости
1. V = C, P = C; 
. Положим 
. Очевидно, 
, значит, 1 и I линейно зависимы над полем С.
2. V = C, P = R; 
. В этом случае в качестве 
и 
комплексные числа использовать нельзя. Составим равенство (2):
, 
. (4)
В равенстве (4) числа и — соответственно действительная и мнимая части комплексного числа, которое равно 0, поэтому равны 0 и его действительная и мнимая части, т. е. 
. Таким образом, числа 1 и I над полем действительных чисел линейно независимы.
3. 
Так как
То существуют числа 
, среди которых есть отличные от нуля, такие, что равенство (2) выполняется, и т. о., рассматриваемые функции линейно зависимы.
4. В следующих двух примерах приведем два основных метода доказательства линейной независимости функций.
А) Метод частных значений. 
Составляем равенство (2):
(5)
Заметим, что в правой части равенства (2) – нейтральный элемент линейного пространства, значит, в правой части (5) – нейтральный элемент пространства функций, т. е. функция, тождественно равная 0. Равенство (5) следует понимать как равенство функций, оно справедливо для всех 
. Например, получаем:
Таким образом, рассматриваемая система функций линейно независима.
Б) Используем производные. 
Составляем равенство (2):
(6)
Равенство (6) справедливо опять же для любого , т. е. функция
Тождественно равна 0, значит, тождественно равна 0 и любая её производная. Имеем: 
При 
получаем: 
=0, следовательно, эта система функций линейно независима.
5. 
(7)
Составляем линейную комбинацию и приравниваем её нейтральному элементу:
Следовательно, система (7) линейно независима.
6. 
(8)
Как обычно, составляем линейную комбинацию и приравниваем ее нейтральному элементу:
И поэтому, система (7) линейно независима.
Упражнение. Докажите, что для любого натурального 
система функций 
линейно независима.
Простейшие свойства линейной зависимости.
1º.Система, содержащая нейтральный элемент, линейно зависима.
(9)
Содержит нейтральный элемент и пусть, например, 
. Положим
(10)
Среди чисел (10) есть отличные от нуля и
Значит, система (9) линейно зависима. ◄
2º. Система, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.
►Пусть система (9) содержит линейно зависимую подсистему и пусть, например, подсистема
Линейно зависима. Это означает, что существуют числа
(11) не все равные 0, такие, что 
. Положим
(12)
Среди чисел (12) есть отличные от 0, так как таковые есть среди чисел (11), и
.
Таким образом, исходная система линейно зависима. ◄
Следствие. Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.
3º Критерий линейной зависимости. Для того чтобы система векторов была линейно зависимой необходимо и достаточно, чтобы один из векторов можно было представить в виде линейной комбинации остальных.
►Необходимость. Дано: система 
линейно зависима. Значит, существуют числа 
, не все равные 0, такие, что справедливо равенство
. (13)
Пусть, например, 
Тогда из (13) можно выразить 
:
Что и требовалось доказать.
Достаточность. Дано: один из векторов можно представить в виде линейной комбинации остальных, например, 
Положим
(14)
Cреди чисел (14) есть отличные от 0 и 
, значит, исходная система линейно зависима. ◄
4º. Пусть система
(15)
Линейно независима, а система
— (16)
Линейно зависима. Тогда можно представить в виде линейной комбинации элементов системы (15).
►В силу линейной зависимости системы (16) существуют числа 
не все равные 0 такие, что
(17)
Предположим, что 
Значит, среди чисел 
есть отличные от нуля, и из (17) вытекает, что 
что противоречит линейной независимости (15). Таким образом, 
, и из (17) получаем требуемое утверждение.◄
5º. Для того чтобы система из одного элемента была линейно зависимой необходимо и достаточно, чтобы он был нулевым.
►Достаточность вытекает из первого свойства.
Необходимость. Пусть система 
линейно зависима, тогда существует число 
такое, что 
. Значит, на основании 6-ого следствия из аксиом (§1), 
.◄
Следующие два свойства формулируем для пространства свободных векторов.
6º.Для того чтобы два вектора были линейно зависимыми необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарными.
►Доказательство вытекает из третьего свойства и критерия коллинеарности из аналитической геометрии ◄
7º. Для того чтобы три вектора были линейно зависимыми необходимо и достаточно, чтобы они были компланарными.
►Доказательство вытекает из третьего свойства и критерия компланарности. ◄
§3. Базис и координаты в линейном пространстве
Определение. Базисом линейного пространства V Над полем Р называется упорядоченная система
(1)
Элементов этого пространства, удовлетворяющая следующим условиям:
1*.
, такие, что
(2)
2*. Система (1) линейно независима.
Если система (1) удовлетворяет только одному первому условию, то она называется Системой образующих линейного пространства V. Таким образом, базис линейного пространства – это его линейно независимая система образующих.
Числа 
в равенстве (2) называются Координатами вектора 
в базисе (1), а само равенство (2) – разложением вектора по базису (1). Таким образом, координаты вектора в данном базисе – это коэффициенты в разложении этого вектора по базису.
1. Вспомним, что в пространстве свободных векторов мы назвали базисом любую упорядоченную тройку некомпланарных (т. е. линейно независимых) векторов и показали, что всякий вектор можно по этому базису разложить. Таким образом, мы видим, что понятие базиса в произвольном линейном пространстве – это обобщение понятия базиса в пространстве свободных векторов.
2. 
Так как 
, то (
) — линейно независима. Кроме того, 
, а значит, система (
) является и системой образующих и, поэтому, базис.
3. 
.. Таким образом, (1, I) – система образующих в C над R, линейная независимость которой доказана в §2. Значит – это и базис.
4. 
(3)
Следовательно, (3) – система образующих пространства />. В §2 доказано, что эта система линейно независима, значит, она является и базисом линейного пространства />.
5. Базисом в пространстве 
является фундаментальная система решений.
6. 
,
(4)
Очевидно, 
поэтому (4) – система образующих пространства 
. Так как эта система ещё и линейно независима (см. §2), то она является базисом пространства . Этот базис впредь будем называть каноническим.
Свойства координат векторов
1º. Если все координаты вектора в некотором базисе равны нулю, то этот вектор – нулевой.
►Доказательство очевидным образом вытекает из аксиом линейного пространства и следствий к ним: 
. ◄
2º. Все координаты нулевого вектора в любом из базисов равны нулю.
(
) — (5) базис линейного пространства ,
(6)
Разложение нулевого вектора по базису (5). В силу линейной независимости (5) из (6) вытекает, что 
. ◄
3º. Координаты вектора в данном базисе определяются однозначно.
►Пусть некоторый вектор в базисе (5) имеет два разных набора координат: 
и 
. Тогда
(
)=
=[аксиомы 1*,2* и 6* из определения линейного пространства]=
= 
(7)
Равенство (7) – это разложение по базису (5) нулевого вектора, и поэтому, все коэффициенты разложения равны нулю, следовательно, 
, что противоречит условию. ◄
4º. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются.
► Пусть заданы векторы 
своими координатами в базисе (5), и пусть 
Тогда
(8)
Равенство (8) – это разложение вектора 
по базису (5), следовательно, коэффициенты разложения – координаты вектора в базисе (5). В силу единственности координат вектора в данном базисе, получаем: 
◄
5º. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
Свойство доказывается точно так же, как и предыдущее, это вы можете сделать самостоятельно.
Следствие. Координаты линейной комбинации векторов равны таким же (то есть с такими же коэффициентами) линейным комбинациям соответствующих координат слагаемых, то есть, если 
и 
то
Матричный критерий линейной зависимости и независимости
Пусть в линейном пространстве V задан некоторый базис, тогда каждый вектор можно разложить по этому базису.
Координатным столбцом вектора 
в заданном базисе будем называть столбец 
, составленный из координат вектора в этом базисе.
Лемма. Для того чтобы векторы были линейно зависимыми необходимо и достаточно, чтобы их координатные столбцы в некотором базисе были линейно зависимыми.
► Пусть заданы векторы
, (9)
— их координатные столбцы в некотором базисе. Одновременно проводим доказательство и необходимости, и достаточности. Согласно следствию из свойств координат векторов, координатный столбец линейной комбинации векторов равен такой же линейной комбинации координатных столбцов векторов-слагаемых. Имеем:
<(9) линейно зависима>
, не все равные нулю, что 
, не все равные нулю, что 
<столбцы 
линейно зависимы>.◄
Теорема (матричный критерий). Для того чтобы система векторов
Была линейно зависимой необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов в некотором базисе, был меньше количества векторов.
Для того, чтобы система векторов была линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов, был равен их количеству.
Доказательство вытекает из доказанной выше леммы и из теоремы 2 §3 главы 2.
§4.Размерность линейного пространства
Определение. Число N называется Размерностью линейного пространства V, а само пространство V называется N-мерным, если в V существует линейно независимая система из N векторов, а любая система из (N+1)- го вектора линейно зависима. Пространство 
считается 0-мерным.
Следствие. В N-мерном пространстве любая система из M векторов при M>N линейно зависима.
Размерность линейного пространства V сокращенно обозначается 
. Если 
, то пространство будем обозначать 
. Линейные N – мерные пространства называются конечномерными.
Определение. Линейное пространство V называется Бесконечномерным, если 
в V найдется линейно независимая система из N векторов.
Теорема 1. Для того чтобы линейное пространство V было N-мерным необходимо и достаточно, чтобы в нем существовал базис, состоящий из N векторов.
► Достаточность. Дано: в пространстве V существует базис из N векторов
(). (1)
Тогда в V есть линейно независимая система из N векторов (это система (1)). Покажем, что любая система из (N+1)-го вектора в этом пространстве линейно зависима. Выберем одну из них:
(
). (2)
Каждый вектор системы (2) можно разложить по базису (1). Обозначим 
— координатные столбцы векторов системы (2) в базисе (1). Тогда
(так как эта матрица имеет только N строк). По матричному критерию, система (2) линейно зависима и, таким образом, .
Необходимость. Дано: . Согласно определению, в пространстве 
существует линейно независимая система из элементов. Пусть
(
) — (3)
Одна из таких систем. Но 
система
(
) (4)
Линейно зависима. По 4-му свойству линейной зависимости (§2) вектор можно представить в виде линейной комбинации векторов системы (3), т. е.
Таким образом, (3) – система образующих пространства V, а значит, и его базис. ◄
Замечание. При доказательстве необходимости мы одновременно показали, что в N-мерном пространстве Любая линейно независимая система из N векторов является базисом.
Следствие. Любой базис конечномерного линейного пространствф V содержит одинаковое количество векторов.
►Пусть в пространстве наряду с базисом (3) есть еще и некоторый базис
(
), (5)
Состоящий из M векторов (M≠N). Рассмотрим два случая:
А) M>n. Тогда (5) линейно зависима согласно следствию к определению размерности, что противоречит определению базиса.
Б) M<N. Так как (5) – базис пространства , то согласно теореме 1, 
, поэтому система (3) линейно зависима, что противоречит определению базиса. Таким образом, M=N. ◄
Вывод: размерность линейного пространства совпадает с количеством векторов в любом из его базисов.
Используя примеры базисов, приведенные в §3, можно утверждать, что: 
, 
, 
, 
, 
, 
. Примером бесконечномерного пространства может служить пространство всех функций.
Упражнение. Докажите, что 
.
Теорема 2. В N—Мерном линейном пространстве любую линейно независимую систему из M векторов при M<N можно дополнить до базиса.
— (6)
Линейно независимая система пространства . Предположим, что 
система 
линейно зависима. Тогда, на основании свойства 4º §2, вектор можно выразить через векторы системы (6), поэтому (6) — система образующих, а значит, и базис пространства 
, следовательно, 
, что противоречит условию. Таким образом, 
такой, что система
— (7)
Линейно независима. Если M+1=N, то (7) – базис пространства />. В противном случае с системой (7) поступаем так же, как и с системой (6). После конечного числа шагов получаем базис пространства />.◄
§ 5. 
как пример аффинного, евклидова и метрического
Пространства
Определение. Пусть А — множество элементов произвольной природы, V-действительное линейное пространство. А Называется Аффинным Пространством, связанным с линейным пространством V, если задан закон, по которому каждой паре элементов 
, где 
, ставится в соответствие элемент 
, причем выполняются две аксиомы:
1*.
(рис. 1);
2*. 
единственный такой, что 
. Этот вектор обозначается 
. Таким образом, 
(рис. 2).
Элементы аффинного пространства называются точками, а операция в аффинном пространстве называется откладыванием вектора от точки.
 |
 |
Как видим, аксиомы аффинного пространства просто «списаны» со школьного точечного трехмерного пространства.
Простейшие следствия из аксиом
1°. 
U 
. С другой стороны, 
[1*] = 
На основании второй аксиомы, получаем требуемое. t
2°. 
UЕсли 
содержит одну точку, то утверждение очевидно. Если же не одну, то 
T
3°. 
U 
Но и 
. Поэтому, на основании второй аксиомы, получаем: 
, что равносильно доказываемому утверждению. t
Если V — N-мерное пространство, то связанное с ним аффинное пространство тоже называется N-мерным и обозначается 
.
Системой координат в аффинном пространстве называется совокупность точки 
— начала координат, и базиса линейного пространства .
Пусть в пространстве 
задана система координат
. (1)
Тогда каждой точке 
соответствует единственный вектор 
, который называется Радиус-вектором точки М. Координатами точки М в системе координат (1) называются координаты ее радиус-вектора в базисе 
.
Выберем в две произвольные точки М и N. Имеем:
. (2)
Так как координаты точки совпадают с координатами ее радиус-вектора, то из (2) получаем вывод, который звучит так же, как известное школьное утверждение: чтобы найти координаты вектора, следует от координат его конца отнять соответствующие координаты начала.
Важнейшим примером аффинного пространства является пространство 
. Положим
,
.
Для любых 
и 
определим операцию 
. Проверим выполнение аксиом:
1*. 
=
2*.
положим
.
Тогда 
Предположим, что существует вектор 
такой, что 
. Пусть 
. Значит, . Так как 
, то 
и, поэтому, 
. Следовательно, 
— противоречие.
Таким образом, пространство 
с введенной в нем операцией откладывания вектора от точки становится N—Мерным аффинным или точечным пространством. Упорядоченные наборы из Чисел, в зависимости от контекста, рассматриваются либо как векторы, либо как точки, а операция складывания упорядоченных наборов, опять же в зависимости от контекста, рассматривается либо как сложение векторов, либо как откладывание вектора от точки.
В качестве системы координат в выбирают, как правило, следующую:
Эта система координат удобна тем, что в ней координаты точек и векторов совпадают с упорядоченными наборами, изображающими эти точки или векторы.
Введем в еще одну операцию. Скалярным произведением векторов и 
Пространства назовем число
.
Свойства скалярного произведения:
1°. 
2°. 
3°. 
4°. 
причем 
Свойства 1° — 4° вы легко докажете в качестве упражнения, исходя из определения скалярного произведения в .
Пространство с введенной в нем операцией скалярного произведения называется Евклидовым пространством (подробно категорию евклидовых пространств мы будем изучать в шестой главе).
Из свойства 4° Скалярного произведения видно, Что 
. Это позволяет ввести в понятие длины вектора.
Длиной вектора 
называется число 
.
Очевидно, если , то 
, то есть, как и в школьной математике, длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.
Приведем без доказательства еще два свойства скалярного произведения (доказывать их будем в 6-й главе).
Неравенство Коши-Буняковского:
, или 
;
Неравенство треугольника:
или, 
.
Из неравенства Коши-Буняковского вытекает, что 
, что позволяет в ввести понятие угла между векторами.
Углом между ненулевыми векторами и 
пространства называется угол 
такой, что 
Введем еще в понятие расстояния между точками.
Расстоянием между точками М и N в пространстве называется число 
. Если 
, а 
, то
.
Таким образом, как и в школьной математике, расстояние между двумя точками в пространстве Равно корню квадратному из суммы квадратов разностей их соответствующих координат.
Свойства расстояния
1°. 
U
T
2°. 
U
T
3°. 
(неравенство треугольника).
UВытекает из равенства 
и неравенства треугольника для векторов. t
Пространство с введенным таким образом расстоянием между двумя точками называется Метрическим Пространством.
Таким образом, замечательное пространство — это линейное, аффинное (точечное), евклидово и метрическое пространство.
§ 6. Подпространства линейного пространства
Определение. Подмножество W линейного пространства V над P Называется его подпространством, если оно само является линейным пространством относительно операций, заданных в V.
Например, R является подпространством пространства С над R (но не С над С), пространство всех непрерывных функций – подпространство пространства функций, заданных на всей числовой прямой. Любое линейное пространство V Имеет два тривиальных подпространства: V и .
Теорема. Для того чтобы непустое подмножество W линейного пространства V Над P было его подпространством необходимо и достаточно, чтобы W было замкнуто относительно операций, заданных в V, т. е., чтобы выполнялись условия:
1. 
2. 
UНеобходимость. Пусть W – подпространство пространства V, значит W – само линейное пространство относительно тех же операций, поэтому внутренняя и внешняя операции в V являются соответственно внутренней и внешней для W, а значит, условия 1 и 2 выполняются.
Достаточность. Пусть теперь выполняются условия 1 и 2. Тогда операции, заданные в V, для W являются соответственно внутренней и внешней. Остается доказать выполнение аксиом из определения линейного пространства.
Аксиомы 1*,2* и 5* — 8* в W выполняются, так как они выполняются в V (например,
).
Если — нейтральный элемент в V, то, конечно же, 
Но попал ли в W? Так как 
, то 
, и тогда, на основании 2-го условия, 
Таким образом, если W замкнуто относительно внешней операции, то оно обязательно содержит нейтральный элемент пространства V, а значит, аксиома 3* из определения линейного пространства выполняется.
Пусть 
. Тогда 
и 
.Опять вопрос: попал ли 
в W? И опять, на основании второго условия теоремы, 
, а значит, и аксиома 4* из определения линейного пространства также выполняется. t
§ 7. Линейные оболочки
Определение. Линейной оболочкой системы элементов
(1)
Линейного пространства V над P называется множество
Т. е. это множество всевозможных линейных комбинаций элементов этой системы (1).
Примерами могут служить: 
— множество всех векторов, параллельных плоскости XOy, 
,совпадающая с предыдущей, 
— множество многочленов степени не выше двух.
Теорема 1. Линейная оболочка произвольной системы векторов линейного пространства V над P является его подпространством, причем размерность линейной оболочки совпадает с максимальным количеством линейно независимых векторов в этой системе.
► Выберем произвольные векторы 
и произвольное число 
,
,
Тогда 
, а также, 
Таким образом, на основании теоремы §6, 
является подпространством пространства V.
Пусть M – максимальное количество линейно независимых элементов в (1) ( 
и пусть подсистема
— (2)
Линейно независима (если это не так, переставим линейно независимые элементы на первые места). Имеем, во-первых,
.
Во-вторых, так как M – максимальное количество линейно независимых элементов в (1), то, 
система 
линейно зависима, а значит, на основании свойства 4º линейной зависимости (§2),
такие, что 
.
[замена индекса] = =
.
Таким образом, (2) – система образующих в 
, а значит, и базис, поэтому 
.t
Теорема 2. Размерность линейной оболочки строк (столбцов) матрицы А равна ее рангу.
UДоказательство проведем для строк матрицы. Пусть 
, и пусть базисный минор матрицы А расположен в первых R её строках. Обозначим, как и раньше, 
— строки матрицы А. Тогда, по теореме о базисном миноре, система 
линейно независима, и 
такие, что 
Дальше точно так же, как и при доказательстве теоремы 1, показываем, что 
— система образующих в 
, а значит, и базис, и поэтому, 
. Для столбцов доказательство проводится аналогично. t
Следствие. Ранг матрицы совпадает с максимальным числом линейно независимых ее строк (столбцов).
UПусть 
, а максимальное число линейно независимых строк матрицы равно K.Тогда
K = [теорема 1] = 
[теорема 2] = R. t
§ 8. Сумма и пересечение подпространств
Линейного пространства
Определения. Пересечением подпространств 
и 
линейного пространства V над P называется его подмножество
Суммой подпространств и называется подмножество
Сумма подпространств называется Прямой и обозначается 
если 
.
Теорема 1. Сумма и пересечение подпространств линейного пространства также являются его подпространствами.
►Пусть и — подпространства линейного пространства V над P. Тогда
Таким образом, выполняются условия теоремы § 6, значит, 
— подпространство пространства V.
Докажем теперь, что сумма подпространств – подпространство. Действительно,
Итак, в этом случае условия теоремы § 6 также выполняются, и поэтому, 
— также подпространство пространства V. T
Теорема 2. Размерность прямой суммы подпространств равна сумме их размерностей.
►Пусть и — подпространства линейного пространства V над P, , 
и пусть
— (1)
Базис , а
— (2)
Базис 
. Покажем, что
— (3)
Базис 
.
Действительно, 
(так как 
, а 
); 
. Кроме того,
,
И, таким образом, (3)-система образующих в .
Линейную независимость (3) докажем на основании определения.
. (4)
Вектор в левой части (4) принадлежит пространству , а в правой – пространству . Так как сумма прямая, то , поэтому
На основании линейной независимости (1) и (2), получаем: 
, откуда и вытекает линейная независимость (3). Таким образом, (3) – линейно независимая система образующих пространства , а значит, и его базис, и поэтому,
.t
§ 9. Преобразования базисов и координат
Будем и в дальнейшем номера базисных векторов обозначать нижними индексами, а номера координат – верхними. Если задана совокупность чисел, снабженная двумя индексами, то договоримся располагать их в матрицу следующим образом: если оба индекса верхние или оба нижние, то первый будем считаеть номером строки, а второй – номером столбца, если один верхний, а один нижний, то номером строки будем считать верхний индекс. Кроме того, примем соглашение Эйнштейна: если в некотором произведении один и тот же индекс встречается дважды – снизу и сверху – то по нему проводится суммирование, и ни один индекс в произведении не должен встречаться более двух раз. При такой договоренности знак суммирования 
В записи суммы опускается, а область изменения индекса суммирования понимается из контекста, либо указывается дополнительно. Так, например, запись 
заменяется просто 
На запись 
Если 
и 
квадратные матрицы
N-го порядка, 
то 
запишется так: 
Если же 
то 
Таким образом, в произведении элементы матриц-сомножителей располагаются по правилу цепочки: номер строки элемента каждой матрицы совпадает с номером столбца элемента матрицы предыдущей. Часто приходится по произведению элементов восстанавливать, произведению каких матриц оно принадлежит. Для этого элементы в произведении располагаем опять же по правилу цепочки. Так, например, 
Элемент произведения ACB, а 
— элемент 
Определение матрицы перехода
Пусть в линейном пространстве заданы два базиса:
(1)
(2)
(принадлежность вектора второму базису отмечается штрихом, причем удобно штрих ставить не на вектор, а на индекс, т. е., например, 
— пятый вектор второго базиса). Тогда каждый из векторов второго базиса можно разложить по первому. В этом случае все координаты будем обозначать одной и той же ключевой буквой T с двумя индексами, причем нижний индекс будет обозначать номер разлагаемого вектора, а верхний — номер координаты. Таким образом,
(3)
Учитывая нашу договоренность, систему равенств (3) можно сокращенно записать одним равенством:
(4)
(оцените красоту записи!)
Введем следующие обозначения:
(подчеркиваем, что это матрицы-строки),
.
Тогда 
=[располагаем по правилу цепочки] = 
, откуда вытекает, что
. (5)
Матрицей перехода от базиса (1) к базису (2) называется матрица Т=
, столбцами которой являются координатные столбцы векторов второго базиса в первом базисе, т. е. матрица, удовлетворяющая системе равенств (3) или (4), либо одному матричному равенству (5).
Свойства матрицы перехода
1º. Матрица перехода от одного базиса к другому определяется однозначно.
►Вытекает из того, что она состоит из координатных столбцов векторов одного базиса в другом.◄
2º. Матрица перехода всегда невырождена.
►На основании матричного критерия линейной независимости.◄
3º. Если Т – невырожденная квадратная матрица N-го порядка и
— (6)
Некоторый базис пространства />, то в />существует базис
(7)
Такой, что Т – матрица перехода от (6) к (7).
►Пусть 
Положим (то есть 
— вектор, чей координатный столбец в базисе (6) совпадает с I-м столбцом матрицы Т). Тогда (7) – линейно независимая система на основании матричного критерия, а значит, в является базисом. Из определения матрицы перехода вытекает, что Т – матрица перехода от (6) к (7).◄
4º. Матрица перехода от базиса к нему самому является единичной.
►Доказательство вытекает из равенства 
.◄
5º. Если Т-матрица перехода от базиса (6) к базису (7),а 
— матрица перехода от (7) к базису
, (8)
То матрицей перехода от (6) к (8) является матрица 
►Действительно, 
, 
, и поэтому, 
, и утверждение вытекает из определения матрицы перехода.◄
6º. Если Т-матрица перехода от (6) к (7), то матрицей перехода от (7) к (6) является 
►(5) 
, и утверждение опять вытекает из определения матрицы перехода.◄
Замечание. По аналогии с равенством (4) естественно записать равенство 
, и поэтому, элементы матрицы перехода от (7) к (6) естественно обозначать 
. Учитывая, что эта матрица есть не что иное, как 
получаем: 
Так как 
и 
то 
и 
Упражнение. Вычислить 
Изменение координат вектора при изменении базиса
Пусть в линейном пространстве по-прежнему заданы два базиса (6) и (7). Выберем в произвольный вектор . Его можно разложить как по одному базису, так и по другому: 
и 
. Тогда
. (9)
Равенство (9) — это разложение вектора по базису (1), и поэтому, в силу единственности координат вектора в данном базисе, получаем
. (10)
Обозначим 
координатные столбцы вектора в базисах (1) и (2) соответственно (
, 
). Тогда (10) равносильно равенству 
, из которого вытекает, что
. (11)
Формулы (10) и (11) показывают, как изменяются координаты вектора при изменении базиса. Равенство (11) можно доказать и так:
.
Таким образом, 
– координатный столбец вектора в базисе (6), и поэтому он и совпадает с 
.
Линейные пространства: определение и примеры
Линейным (векторным) пространством называется множество и и , называемый произведением вектора 1. 2. (ассоциативность сложения);
3. существует такой элемент , называемый нулевым вектором, что 4. для каждого вектора , называемый противоположным вектору ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. аксиомами линейного пространства . Знак равенства, поставленный между векторами, означает, что в левой и правой частях равенства представлен один и тот же элемент множества линейным пространством над полем действительных (вещественных) чисел , или, короче, вещественным линейным пространством . Если в определении вместо поля линейное пространство над полем комплексных чисел , или, короче, комплексное линейное пространство . В качестве числового поля можно выбрать и поле рациональных чисел, при этом получим линейное пространство над полем рациональных чисел. Далее, если не оговорено противное, будут рассматриваться вещественные линейные пространства. В некоторых случаях для краткости будем говорить о пространстве, опуская слово линейное, так как все пространства, рассматриваемые ниже — линейные.
1. Аксиомы 1-4 показывают, что линейное пространство является коммутативной группой относительно операции сложения.
2. Аксиомы 5 и 6 определяют дистрибутивность операции умножения вектора на число по отношению к операции сложения векторов (аксиома 5) или к операции сложения чисел (аксиома 6). Аксиома 7, иногда называемая законом ассоциативности умножения на число, выражает связь двух разных операций: умножения вектора на число и умножения чисел. Свойство, определяемое аксиомой 8, называется унитарностью операции умножения вектора на число.
3. Линейное пространство — это непустое множество, так как обязательно содержит нулевой вектор.
4. Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями над векторами.
5. Разностью векторов и с противоположным вектором и обозначается: .
6. Два ненулевых вектора и . Понятие коллинеарности распространяется на любое конечное число векторов. Нулевой вектор
Следствия аксиом линейного пространства
1. В линейном пространстве существует единственный нулевой вектор.
2. В линейном пространстве для любого вектора .
3. Произведение произвольного вектора пространства на число нуль равно нулевому вектору, т.е. для любого числа .
6. В выражениях вида (произведение вектора на конечное число множителей) можно расставлять скобки в любом порядке, либо вообще не указывать.
Докажем, например, первые два свойства. Единственность нулевого вектора. Если , левые части которых равны по аксиоме 1. Следовательно, равны и правые части, т.е. и , то по аксиомам 2, 3,4 получаем их равенство:
Остальные свойства доказываются аналогично.
Примеры линейных пространств
1. Обозначим — множество, содержащее один нулевой вектор, с операциями . Для указанных операций аксиомы 1-8 выполняются. Следовательно, множество является линейным пространством над любым числовым полем. Это линейное пространство называется нулевым.
2. Обозначим — множества векторов (направленных отрезков) на прямой, на плоскости, в пространстве соответственно с обычными операциями сложения векторов и умножения векторов на число. Выполнение аксиом 1-8 линейного пространства следует из курса элементарной геометрии. Следовательно, множества являются вещественными линейными пространствами. Вместо свободных векторов можно рассмотреть соответствующие множества радиус-векторов. Например, множество векторов на плоскости, имеющих общее начало, т.е. отложенных от одной фиксированной точки плоскости, является вещественным линейным пространством. Множество радиус-векторов единичной длины не образует линейное пространство, так как для любого из этих векторов сумма — множество матриц-столбцов размеров с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Аксиомы 1-8 линейного пространства для этого множества выполняются. Нулевым вектором в этом множестве служит нулевой столбец . Следовательно, множество является вещественным линейным пространством. Аналогично, множество столбцов размеров с комплексными элементами является комплексным линейным пространством. Множество матриц-столбцов с неотрицательными действительными элементами, напротив, не является линейным пространством, так как не содержит противоположных векторов.
4. Обозначим — множество решений однородной системы линейных алгебраических уравнений с и неизвестными (где с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Заметим, что эти операции действительно определены на множестве . Из свойства 1 решений однородной системы (см. разд. 5.5) следует, что сумма двух решений однородной системы и произведение ее решения на число также являются решениями однородной системы, т.е. принадлежат множеству . Аксиомы линейного пространства для столбцов выполняются (см. пункт 3 в примерах линейных пространств). Поэтому множество решений однородной системы является вещественным линейным пространством.
Множество решений неоднородной системы , напротив, не является линейным пространством, хотя бы потому, что не содержит нулевого элемента ( — множество матриц размеров является линейным пространством.
6. Обозначим — множество многочленов одной переменной с комплексными коэффициентами. Операции сложения много членов и умножения многочлена на число, рассматриваемое как многочлен нулевой степени, определены и удовлетворяют аксиомам 1-8 (в частности, нулевым вектором является многочлен, тождественно равный нулю). Поэтому множество является линейным пространством над полем комплексных чисел. Множество многочленов с действительными коэффициентами также является линейным пространством (но, разумеется, над полем действительных чисел). Множество многочленов степени не выше, чем , с действительными коэффициентами также является вещественным линейным пространством. Заметим, что операция сложения много членов определена на этом множестве, так как степень суммы многочленов не превышает степеней слагаемых.
Множество многочленов степени не является линейным пространством, так как сумма таких многочленов может оказаться многочленом меньшей степени, не принадлежащим рассматриваемому множеству. Множество всех многочленов степени не выше, чем л, с положительными коэффициентами также не является линейным пространством, поскольку при умножении такого многочлена на отрицательное число получим многочлен, не принадлежащий этому множеству.
7. Обозначим — множество действительных функций, определенных и непрерывных на функций и произведение функции на действительное число для всех
Эти операции действительно определены на , так как сумма непрерывных функций и произведение непрерывной функции на число являются непрерывными функциями, т.е. элементами . Проверим выполнение аксиом линейного пространства. Из коммутативности сложения действительных чисел следует справедливость равенства для любого , т.е. аксиома 1 выполняется. Аксиома 2 следует аналогично из ассоциативности сложения. Нулевым вектором служит функция , тождественно равная нулю, которая, разумеется, является непрерывной. Для любой функции выполняется равенство , т.е. справедлива аксиома 3. Противоположным вектором для вектора будет функция . Тогда (аксиома 4 выполняется). Аксиомы 5, 6 следуют из дистрибутивности операций сложения и умножения действительных чисел, а аксиома 7 — из ассоциативности умножения чисел. Последняя аксиома выполняется, так как умножение на единицу не изменяет функцию: для любого . Таким образом, рассматриваемое множество с введенными операциями является вещественным линейным пространством. Аналогично доказывается, что — множества функций, имеющих непрерывные производные первого, второго .и т.д. порядков соответственно, также являются линейными пространствами.
Обозначим — множество тригонометрических двучленов (часто ты ) с действительными коэффициентами, т.е. множество функций вида , где . Сумма таких двучленов и про изведение двучлена на действительное число являются тригонометрическим двучленом. Аксиомы линейного пространства для рассматриваемого множества выполняются (так как ). Поэтому множество с обычными для функций операциями сложения и умножения на число является вещественным линейным пространством. Нулевым элементом служит двучлен , тождественно равный нулю.
Множество действительных функций, определенных и монотонных на — множество действительных функций, определенных на множестве , с операциями:
Оно является вещественным линейным пространтвом (доказательство такое же, как в предыдущем примере). При этом множество может быть выбрано произвольно. В частности, если , то — упорядоченный набор чисел , где Такой набор можно считать матрицей-столбцом размеров , т.е. множество (см. пункт 3 примеров линейных пространств). Если — множество натуральных чисел), то получаем линейное пространство . В частности, множество сходящихся числовых последовательностей также образует линейное пространство, так как сумма двух сходящихся последовательностей сходится, и при умножении всех членов сходящейся последовательности на число получаем сходящуюся последовательность. Напротив, множество расходящихся последовательностей не является линейным пространством, так как, например, сумма расходящихся последовательностей может иметь предел.
9. Обозначим — множество положительных действительных чисел, в котором сумма , другими словами, сумма элементов понимается как произведение чисел, а умножение элемента на число — как возведение в степень. Обе операции действительно определены на множестве , так как произведение положительных чисел есть положительное число и любая действительная степень положительного числа есть положительное число. Проверим справедливость аксиом. Равенства
показывают, что аксиомы 1, 2 выполняются. Нулевым вектором данного множества является единица, так как , который определен, так как . В самом деле, . Проверим выполнение аксиом 5, 6,7,8:
Все аксиомы выполняются. Следовательно, рассматриваемое множество является вещественным линейным пространством.
10. Пусть , принимающих действительные значения и удовлетворяющих условиям:
Линейные операции над линейными функциями задаются также, как в пункте 8 примеров линейных пространств. Сумма и произведение определяются равенствами:
Выполнение аксиом линейного пространства подтверждается также, как в пункте 8. Поэтому множество линейных функций, определенных на линейном пространстве переменных, рассматриваемых как множество скалярных функций векторного аргумента, является линейным пространством, сопряженным к пространству .