Докажите, что функция f(x) = 5 — 2х — x ^ 2 — 4x ^ 3 убывает на множестве действительных чисел?
Докажите, что функция f(x) = 5 — 2х — x ^ 2 — 4x ^ 3 убывает на множестве действительных чисел.
Пожалуйста, очень срочно.
f'(x) = — 2 — 2x — 12x ^ 2
убывает, если производная меньше нуля — 2 — 2x — 12x ^ 2< ; 0
D< ; 0 нет корней, а т.
К. парабола ветви вниз, значит она расположена ниже ОХ, значит неравенство верно при всех действ.
Помогите срочно 20 баллов1) Докажите, что функция y = — возврастает на промежутке (0 ; + ∞)?
Помогите срочно 20 баллов
1) Докажите, что функция y = — возврастает на промежутке (0 ; + ∞).
2) Докажите, что функция у = убывает на промежутке (0 ; + ∞).
Докажите , что функция у = 4 — 2х \ 5 убывает?
Докажите , что функция у = 4 — 2х \ 5 убывает.
Доказать что функция f(x) = — 4, 3x — cos ^ 2x + sin ^ 2x убывает на множестве действительных чисел?
Доказать что функция f(x) = — 4, 3x — cos ^ 2x + sin ^ 2x убывает на множестве действительных чисел.
Докажите, что функция f(x) на множестве действительных чисел возрастает : а)f(x) = 3x + cos x — sin х б) f(x) = 1?
Докажите, что функция f(x) на множестве действительных чисел возрастает : а)f(x) = 3x + cos x — sin х б) f(x) = 1.
5x + sin x Пожалуйста!
Понятие действительного числа?
Понятие действительного числа.
• Какой буквой обозначают множество действительных чисел?
• Какой буквой обозначают множество действительных чисел?
Пожалуйста * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ) Д?
Пожалуйста * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ) Докажите, что на множестве действительных чисел функция у(х) является возрастающей, а функция g(x) — убывающей б) g(x) = — 4 — 2 / 3 x ^ 3 Г) g(x) = ctg 5x — 3 C)f(x) = x⁵ — 1.
5 f(x) = 5x — cos2x.
Используя свойства числовых неравенств, докажите, что функция y = — x ^ 5 — x + 3 убывает?
Используя свойства числовых неравенств, докажите, что функция y = — x ^ 5 — x + 3 убывает.
Докажите, что на множестве действительных чисел функция f(x) является возрастающей : Не имеет смысла?
Докажите, что на множестве действительных чисел функция f(x) является возрастающей : Не имеет смысла?
Ведь sinx ограничена в [ — 1 ; 1].
Множество действительных чисел?
Множество действительных чисел.
Перед вами страница с вопросом Докажите, что функция f(x) = 5 — 2х — x ^ 2 — 4x ^ 3 убывает на множестве действительных чисел?, который относится к категории Алгебра. Уровень сложности соответствует учебной программе для учащихся 10 — 11 классов. Здесь вы найдете не только правильный ответ, но и сможете ознакомиться с вариантами пользователей, а также обсудить тему и выбрать подходящую версию. Если среди найденных ответов не окажется варианта, полностью раскрывающего тему, воспользуйтесь «умным поиском», который откроет все похожие ответы, или создайте собственный вопрос, нажав кнопку в верхней части страницы.
Возрастание и убывание функции
В начале прочитаем определение возрастания функции.
Запомните! 
Функция « y(x) » называется возрастающей на некотором промежутке, если
для любых « x1 » и « x2 » принадлежащих данному промежутку, таких, что « x2 > x1 » выполняется неравенство
« y( x2 ) > y( x1 ) ».
Определение сложно понять без наглядного примера. Поэтому сразу перейдём к разбору задачи на возрастание функции.
По-другому можно сказать, что, если каждому бóльшему значению « x » соответствует бóльшее значение « y », значит, функция « y(x) » возрастает.
Давайте разберем определение возрастания функции на конкретном примере.
Разбор примера
Возрастающей или убывающей является функция « y = 9x − 4 » ?
Построим график функции
« y = 9x − 4 ». Так как функция
« y = 9x − 4 » линейная, ее график — прямая.
Используем правила построения графика линейной функции. Нам достаточно найти две точки, чтобы построить ее график.
Область определения функции
« y = 9x − 4 » — все действительные числа, поэтому можно подставить любое число вместо « x » и вычислить « y » по формуле функции
« y = 9x − 4 ». Например, возьмем
« x = 0 ».
Для второй точки возьмем « x = 1 ».
Отметим две полученные
точки « (0; −4) » и « (1; 5) » на координатной плоскости и проведем через них прямую.
Докажем, что функция « y = 9x − 4 » возрастает на всей своей области определения двумя способами: по ее графику и аналитически (по ее формуле).
Как определить по графику, что функция возрастает
По определению возрастания функции мы знаем, что если « x » увеличивается,
то « y » тоже должен увеличиваться.
На рисунке ниже видно, что график функции « y = 9x − 4 » «идет в гору». Другими словами, при увеличении « x » ↑ растет значение « y » ↑ .
В этом можно убедиться, если взять две любые точки на графике. Например, точки, по которым мы построили график функции. Назовем эти точки:
« (·)A » и « (·)B ».
У второй точки « (·)B » координаты:
x2 = 1 ; y2 = 5
На примере точек « (·)A » и « (·)B » видно, что при увеличении
« x ↑ ( x2 > x1 ) » растет
« y ↑ ( y2 > y1 ) ». Поэтому график зрительно «идет в гору».
Как по формуле доказать, что функция возрастает
Вернёмся к нашей функции
« y = 9x − 4 ».
По графику мы поняли, что
функция « y = 9x − 4 » возрастает, так как ее график «идет в гору». Но как доказать по формуле, что функция возрастает на всей своей области определения?
Запомните!
Функция возрастает на всей области определения, когда при
« x2 > x1 »
выполняется условие
« y( x2 ) > y( x1 ) ».
Формулировка выше не самая простая для понимания. Давайте разберем ее на практике.
По определению возрастания функции нам нужно доказать, что при « x2 > x1 » увеличивается значение функции
« y( x2 ) > y( x1 ) ».
Но как нам найти значения функции
« y( x1 ) » и « y( x2 ) »?
Для нахождения « y( x1 ) » и « y( x2 ) » достаточно подставить « x1 » и « x2 » в исходную формулу « y = 9x − 4 ».
Теперь запишем обязательное условие возрастания функции.
Подставим в неравенство
« y( x2 ) > y( x1 ) » полученные формулы
« y( x1 ) = 9x1 − 4 » и
« y( x2 ) = 9x2 − 4 » .
Разделим левую и правую часть на « 9 ».
9(x2 − x1) > 0 | : 9
| 9 (x2 − x1) |
| 9 |
>
| 0 |
| 9 |
При делении нуля на любое число получается ноль.
Мы доказали, что выполняется исходное условие возрастания функции « x2 > x1 ». Отсюда следует, что функция
« y = 9x − 4 » возрастает на всей области определения.
В завершении вместо ответа следует написать фразу:
«Что и требовалось доказать».
Посмотрим другой пример, где требуется доказать, что функция возрастает.
Разбор примера
Доказать, что функция возрастает на всей области определения: y = 13x − 1
По аналогии с предыдущим примером составим неравенства, которые доказывают, что функция возрастает.
Вместо « y( x1 ) » и « y( x2 ) » запишем формулу функции « y = 13x − 1 » и упростим полученное неравенство.
13x2 − 1 > 13x1 − 1
13x2 − 13x1 > 1 − 1
13(x2 − x1) > 0 |: 13
| 13 (x2 − x1) |
| 13 |
>
| 0 |
| 13 |
x2 − x1 > 0
x2 > x1
Что и требовалось доказать.
Что такое убывание функции
Запомните!
Функция « y(x) » называется убывающей на некотором промежутке, если для любых
« x1 » и « x2 » принадлежащих данному промежутку, таких,
что « x2 > x1 » выполняется неравенство « y( x2 ) ».
Как по графику понять, что функция убывает
Разбор примера
Доказать, что функция убывает на всей области определения: y = 1 − 3x
По определению убывания функции мы знаем, что,
если « x » ↑ растет, то « y » ↓ должен уменьшаться.
Построим график функции
« y = 1 − 3x ». Ее график — прямая, поэтому нам будет достаточно двух точек.
Область определения функции
« y = 1 − 3x » — все действительные числа, поэтому можно поставить любое число вместо « x » и вычислить « у » по формуле функции
« y = 1 − 3x ». Например, возьмем
« x = 0 » и « x = 1 ».
Построим график функции
« y = 1 − 3x » по полученным точкам
« (·)A » и « (·)B ».
На графике функции видно, что зрительно график «спускается с горы», то есть функция убывает. Другими словами, при увеличении « x » ↑ уменьшается
значение « y » ↓ .
Как по формуле доказать, что функция убывает
Вернёмся к нашей функции
« y = 1 − 3x ».
По ее графику мы поняли, что функция убывает, так как график «спускается с горы». Но как доказать по формуле, что функция « y = 1 − 3x » убывает на всей области определения?
Запомните!
Чтобы доказать, что функция убывает требуется доказать, что при любых « x2 > x1 » выполняется
« y( x2 ) y( x1 ) ».
Давайте разберем на примере функции
« y = 1 − 3x ». Докажем, что она убывает на всей своей области определения.
Что и требовалось доказать.
Как по графику функции определить
возрастание и убывание
Потренируемся только по графику функции определять промежутки возрастания и убывания функции.
Разбор примера
На рисунке ниже изображён график функции, определенной на множестве действительных чисел. Используя график, найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции.
Отметим с помощью штриховых линий промежутки, где график функции убывает («спускается с горы») и где он возрастает («идет в гору»).
Запишем через знаки неравенств, какие значения принимает « x » на полученных промежутках. Обратите внимание, что во всех случаях при указании промежутков, мы указываем, что их концы входят в промежуток, то есть используем знаки нестрогого неравенства.
Остаётся записать полученные промежутки возрастания и убывания функции в ответ.
- функция убывает при
x ≤ −2; 0 ≤ x ≤ 3,5 - функция возрастает при
−2 ≤ x ≤ 0 ; x ≥ 3,5
Более грамотно будет записать ответ с помощью специальных математических символов.
- функция убывает на промежутках x ∈ (−∞ ; −2] ∪ [0; 3,5]
- функция возрастает на промежутках x ∈ [−2 ; 0] ∪ [3,5 ; +∞]
При каких значениях
« m » функция является убывающей или возрастающей
Ещё один тип заданий, в которых требуется определить,
при каких « m » ( « а, b » или других буквах) функция убывает или возрастает.
Разбор примера
При каких значениях « m » функция
« y = mx − m − 3 + 2x » является убывающей?
Обратимся снова к определению убывания функции. Вспомним, как записать условия убывания функции с точки зрения формул.
Запишем эти условия, используя формулу функции « y = mx − m − 3 + 2x », заданную в задаче. Вместо « x » подставим « x1 » и « x2 ».
Упростим полученное неравенство. Перенесем из правой части все члены неравенства в левую часть с противоположными знаками.
Упростим полученное выражение. Некоторые члены неравенства взаимоуничтожатся.
Преобразуем исходное условие убывания функции « x2 > x1 ». Перенесем все в левую часть.
По условию убывания функции
« x2 − x1 > 0 », значит, чтобы
произведение « ( x2 − x1) (m + 2) » было меньше нуля, требуется, чтобы множитель « (m + 2) » был меньше нуля. Так как по правилу знаков: плюс на минус даёт минус.
Функция . убывает/возрастает на R
— убывающей на R, если при этом: f(x2) < f(x1);
— возрастающей на R, если при этом: f(x2) > f(x1).
Иначе говоря, нужно взять разность f(x2) — f(x1) и посмотреть знак этой разности. Если он отрицателен, функция убывает на R, а если положителен, то возрастает на R. Если ноль, то не убывает и не возрастает (к примеру, немонотонная).
Но это должно выполняться для любых х1 и х2 из области R (области действительных чисел), таких, что x2 > x1. Как только для какой-то пары таких чисел нарушается условие убывания функции, нельзя сказать, что функция убывает на R. С возрастанием — то же самое. Функция может при этом убывать / возрастать на каком-то другом промежутке, отличном от R, но на самом R убывать/возрастать не будет.
Ещё можно определить убывание и возрастание по знаку производной функции. Для этого нужно найти f ‘ (x), и решить к примеру неравенство f ‘ (x) < 0. Ответ составит промежуток, на котором функция убывает, при этом граничные точки, которые не попали в решение неравенства, нужно присоединить к этому промежутку, если только значения функции в этих точках существуют. Если промежуток состоит из нескольких изолированных промежутков, то было бы ошибкой считать, что функция убывает на объединении этих промежутков. Правильно сказать, что она убывает на каждом из этих промежутков.
То же самое — с возрастанием. Только неравенство при этом будет f ‘(x) > 0/
Иначе говоря, если знак производной на непрерывном промежутке отрицателен или положителен, функция убывает или, соответственно, возрастает на этом промежутке (с учётом присоединения к промежутку тех граничных точек, значение функции в которых существует). В частности, если этот промежуток — множество всех действительных чисел, то функция убывает/ возрастает на R.
Пример: f(x) = x^3. Докажем двумя разными способами, что эта функция возрастает на R.
Пусть х1 и х2 — любые действительные числа, такие, что х2 > х1. Составим разность f(x2) — f(x1) = x2^3 — x1^3. Разложим эту разность по формуле разности кубов: x2^3 — x1^3 = (x2 — x1)*(x1^2 + x1*x2 + x2^2).
По условию х2 > x1, значит первая скобка положительна. Вторая скобка положительна при любых х1 и х2. Докажем это так: x1^2 + x1*x2 + x2^2 = x1^2 + 2×1*x2 + x2^2 — x1*x2 (прибавили и отняли x1*x2) = (x1 + x2)^2 — x1*x2. Если произведение x1*x2 неотрицательно, то выражение x1^2 + x1*x2 + x2^2 тоже положительно, поскольку все слагаемые неотрицательны, причём x1 не равно х2 по условию, а если произведение x1*x2 отрицательно, то разность (x1 + x2)^2 — x1*x2 положительна (квадрат всегда неотрицателен, из него вычитаем отрицательное число). Итак, разность x2^3 — x1^3 положительна при всех х, таких, что x2 > x1, что и означает, что функция возрастает.
Второй способ. Найдём производную функции, либо по правилам нахождения производной, либо по таблице производных. Если f(x) = x^3, то f ‘ (x) = 3x^2. Видно, что f ‘ (x) >=0 при всех х из промежутка R, причём f ‘ (x) = 0 только при х = 0. Это значит, что функция возрастает на каждом из промежутков x < 0 и x > 0, а поскольку значение функции в граничной точке х = 0 существует, то эта точка присоединяется к промежутку возрастания. В этом случае можно объединить промежутки возрастания, поскольку это объединение даёт непрерывный промежуток R. Поэтому функция f(x) = x^3 возрастает на R.
Пусть х1 и х2 — любые действительные числа (из множества R), удовлетворяющие единственному условию х2 > х1
Тогда функция y = f(x) называется:
— убывающей на R, если при этом: f(x2) < f(x1);
— возрастающей на R, если при этом: f(x2) > f(x1).
Иначе говоря, нужно взять разность f(x2) — f(x1) и посмотреть знак этой разности. Если он отрицателен, функция убывает на R, а если положителен, то возрастает на R. Если ноль, то не убывает и не возрастает (к примеру, немонотонная).
Но это должно выполняться для любых х1 и х2 из области R (области действительных чисел), таких, что x2 > x1. Как только для какой-то пары таких чисел нарушается условие убывания функции, нельзя сказать, что функция убывает на R. С возрастанием — то же самое. Функция может при этом убывать / возрастать на каком-то другом промежутке, отличном от R, но на самом R убывать/возрастать не будет.
Ещё можно определить убывание и возрастание по знаку производной функции. Для этого нужно найти f ‘ (x), и решить к примеру неравенство f ‘ (x) < 0. Ответ составит промежуток, на котором функция убывает, при этом граничные точки, которые не попали в решение неравенства, нужно присоединить к этому промежутку, если только значения функции в этих точках существуют. Если промежуток состоит из нескольких изолированных промежутков, то было бы ошибкой считать, что функция убывает на объединении этих промежутков. Правильно сказать, что она убывает на каждом из этих промежутков.
То же самое — с возрастанием. Только неравенство при этом будет f ‘(x) > 0/
Иначе говоря, если знак производной на непрерывном промежутке отрицателен или положителен, функция убывает или, соответственно, возрастает на этом промежутке (с учётом присоединения к промежутку тех граничных точек, значение функции в которых существует). В частности, если этот промежуток — множество всех действительных чисел, то функция убывает/ возрастает на R.
Пример: f(x) = x^3. Докажем двумя разными способами, что эта функция возрастает на R.
Пусть х1 и х2 — любые действительные числа, такие, что х2 > х1. Составим разность f(x2) — f(x1) = x2^3 — x1^3. Разложим эту разность по формуле разности кубов: x2^3 — x1^3 = (x2 — x1)*(x1^2 + x1*x2 + x2^2).
По условию х2 > x1, значит первая скобка положительна. Вторая скобка положительна при любых х1 и х2. Докажем это так: x1^2 + x1*x2 + x2^2 = x1^2 + 2×1*x2 + x2^2 — x1*x2 (прибавили и отняли x1*x2) = (x1 + x2)^2 — x1*x2. Если произведение x1*x2 неотрицательно, то выражение x1^2 + x1*x2 + x2^2 тоже положительно, поскольку все слагаемые неотрицательны, причём x1 не равно х2 по условию, а если произведение x1*x2 отрицательно, то разность (x1 + x2)^2 — x1*x2 положительна (квадрат всегда неотрицателен, из него вычитаем отрицательное число). Итак, разность x2^3 — x1^3 положительна при всех х, таких, что x2 > x1, что и означает, что функция возрастает.
Второй способ. Найдём производную функции, либо по правилам нахождения производной, либо по таблице производных. Если f(x) = x^3, то f ‘ (x) = 3x^2. Видно, что f ‘ (x) >=0 при всех х из промежутка R, причём f ‘ (x) = 0 только при х = 0. Это значит, что функция возрастает на каждом из промежутков x < 0 и x > 0, а поскольку значение функции в граничной точке х = 0 существует, то эта точка присоединяется к промежутку возрастания. В этом случае можно объединить промежутки возрастания, поскольку это объединение даёт непрерывный промежуток R. Поэтому функция f(x) = x^3 возрастает на R.
Пусть х1 и х2 — любые действительные числа (из множества R), удовлетворяющие единственному условию х2 > х1
Тогда функция y = f(x) называется:
— убывающей на R, если при этом: f(x2) < f(x1);
— возрастающей на R, если при этом: f(x2) > f(x1).
Иначе говоря, нужно взять разность f(x2) — f(x1) и посмотреть знак этой разности. Если он отрицателен, функция убывает на R, а если положителен, то возрастает на R. Если ноль, то не убывает и не возрастает (к примеру, немонотонная).
Но это должно выполняться для любых х1 и х2 из области R (области действительных чисел), таких, что x2 > x1. Как только для какой-то пары таких чисел нарушается условие убывания функции, нельзя сказать, что функция убывает на R. С возрастанием — то же самое. Функция может при этом убывать / возрастать на каком-то другом промежутке, отличном от R, но на самом R убывать/возрастать не будет.
Ещё можно определить убывание и возрастание по знаку производной функции. Для этого нужно найти f ‘ (x), и решить к примеру неравенство f ‘ (x) < 0. Ответ составит промежуток, на котором функция убывает, при этом граничные точки, которые не попали в решение неравенства, нужно присоединить к этому промежутку, если только значения функции в этих точках существуют. Если промежуток состоит из нескольких изолированных промежутков, то было бы ошибкой считать, что функция убывает на объединении этих промежутков. Правильно сказать, что она убывает на каждом из этих промежутков.
То же самое — с возрастанием. Только неравенство при этом будет f ‘(x) > 0/
Иначе говоря, если знак производной на непрерывном промежутке отрицателен или положителен, функция убывает или, соответственно, возрастает на этом промежутке (с учётом присоединения к промежутку тех граничных точек, значение функции в которых существует). В частности, если этот промежуток — множество всех действительных чисел, то функция убывает/ возрастает на R.
Пример: f(x) = x^3. Докажем двумя разными способами, что эта функция возрастает на R.
Пусть х1 и х2 — любые действительные числа, такие, что х2 > х1. Составим разность f(x2) — f(x1) = x2^3 — x1^3. Разложим эту разность по формуле разности кубов: x2^3 — x1^3 = (x2 — x1)*(x1^2 + x1*x2 + x2^2).
По условию х2 > x1, значит первая скобка положительна. Вторая скобка положительна при любых х1 и х2. Докажем это так: x1^2 + x1*x2 + x2^2 = x1^2 + 2×1*x2 + x2^2 — x1*x2 (прибавили и отняли x1*x2) = (x1 + x2)^2 — x1*x2. Если произведение x1*x2 неотрицательно, то выражение x1^2 + x1*x2 + x2^2 тоже положительно, поскольку все слагаемые неотрицательны, причём x1 не равно х2 по условию, а если произведение x1*x2 отрицательно, то разность (x1 + x2)^2 — x1*x2 положительна (квадрат всегда неотрицателен, из него вычитаем отрицательное число). Итак, разность x2^3 — x1^3 положительна при всех х, таких, что x2 > x1, что и означает, что функция возрастает.
Второй способ. Найдём производную функции, либо по правилам нахождения производной, либо по таблице производных. Если f(x) = x^3, то f ‘ (x) = 3x^2. Видно, что f ‘ (x) >=0 при всех х из промежутка R, причём f ‘ (x) = 0 только при х = 0. Это значит, что функция возрастает на каждом из промежутков x < 0 и x > 0, а поскольку значение функции в граничной точке х = 0 существует, то эта точка присоединяется к промежутку возрастания. В этом случае можно объединить промежутки возрастания, поскольку это объединение даёт непрерывный промежуток R. Поэтому функция f(x) = x^3 возрастает на R.