Как диагонализировать матрицу

3.7. Диагонализация матрицы линейного оператора

Пусть линейный оператор . Рассмотрим в произвольный базис . Пусть в этом базисе линейному оператору соответствует матрица . Существует ли такой базис в пространстве , в котором матрица линейного оператора была бы диагональной?

Очевидно, если такой базис существует, то по Свойству 1 (п. 3.6) диагонализация матрицы произойдет в результате преобразование подобия.

Имеет место следующая

Теорема. Если в существует базис из собственных векторов линейного оператора то матрица линейного оператора будет диагональной в этом базисе.

Выясним, при каких условиях существует базис из собственных векторов линейного оператора.

Пусть – собственные значения линейного оператора кратностей , причём . Если для каждого существует собственных векторов – решений ФСР соответствующей однородной СЛАУ, то существует базис из собственных векторов, а значит, матрицу линейного оператора можно привести к диагональному виду. В частности, если , т. е. спектр линейного оператора простой, то базис из собственных векторов существует. Однако, если среди корней характеристического уравнения найдётся хотя бы одна пара комплексно-сопряжённых, то в вещественном линейном пространстве не существует базиса из собственных векторов.

Покажем, например, что, если спектр простой, то матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов будет диагональной.

Рассмотрим квадратную матрицу , в столбцах которой стоят координаты собственных векторов , соответствующих собственным значениям . Это означает, что матрица является матрицей перехода к базису из собственных векторов. Очевидно, в этом случае , т. е. матрица – невырожденная, и для неё существует обратная – Из определения собственных векторов линейного оператора следует, что

(16)

Где – векторы-столбцы, соответствующие собственным векторам линейного оператора . Равенство (16) можно записать в более компактной форме:

(17)

Где – диагональная матрица, у которой на главной диагонали расположены собственные числа т. е.

Умножим обе части равенства (17) слева на матрицу :

или (18)

Это означает, что матрица линейного оператора при переходе к базису из собственных векторов станет диагональной в результате преобразования подобия (18).

Пример 14. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного в некотором базисе матрицей . Построить, если это возможно, базис из собственных векторов линейного оператора и найти матрицу линейного оператора в этом базисе. Выполнить проверку.

Решение. Составим характеристическое уравнение:

Найдём собственные векторы линейного оператора:

;

Т. е.

Собственные значения линейного оператора различны, значит, собственные векторы линейно независимы, т. е. образуют базис. В этом базисе матрица линейного оператора будет диагональной:

.

Матрица перехода к базису из собственных векторов .

Проверим правильность проведенных вычислений. По формуле (7) Найдём :

.

Ответ: .

Пример 15. Линейный оператор в некотором базисе задан матрицей Существует ли базис из собственных векторов линейного оператора ?

Решение. Составим характеристическое уравнение:

Собственные значения линейного оператора Найдём соответствующие им собственные векторы: Т. е. . Все остальные собственные векторы имеют вид . Это означает, что базис из собственных векторов не существует.

Пример 16. Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора , заданного в некотором базисе матрицей . Можно ли привести матрицу к диагональному виду?

Решение. Составим характеристическое уравнение:

Т. е.

Или

Собственные значения линейного оператора Найдём собственные векторы:

Эта система эквивалентна следующей:

Т. е. ФСР этой системы состоит из одного решения, например, Собственным значениям и соответствует собственный вектор . Другие собственные векторы, соответствующие собственным значениям и , могут быть получены из умножением на произвольное вещественное число. Например, .

Так как , то значит,

линейно зависимы, значит, совокупность собственных векторов также линейно зависима, т. е. собственные векторы линейного оператора не образуют базис в . Поэтому матрица не может быть приведена к диагональному виду.

Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду

Как следует из теоремы 13.1, матрица линейного оператора зависит от базиса пространства. Как подобрать этот базис, чтобы матрица линейного оператора в нем имела наиболее простой вид? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теоремa 14.1. Для того чтобы матрица линейного оператора A: R n ®R n в некотором базисе была диагональной, необходимо и достаточно, чтобы этот базис состоял из собственных векторов линейного оператора A.

Доказательство. Необходимость. Пусть матрица линейного оператора A в некотором базисе е l , е 2 . е n диагональная, т. е.

Тогда, очевидно, справедливы равенства Aе j = Lе j = l_jе j , j = 1, 2. n, из которых следует, что l_j – собственные значения, а е j – соответствующие им собственные векторы оператора A.

Достаточность. Предположим, что базис пространства состоит из собственных векторов x 1 , x 2 ,…, x n , а l₁, l₂,…, l_n – соответствующие им собственные значения оператора A. Тогда Ax j = l_jx j , j = 1, 2. n. Отсюда следует, что L = = diag (l₁, l₂,…, l_n) – матрица линейного оператора A в базисе x 1 , x 2 ,…, x n .¨

Определение 14.1. Если существует базис пространства R n , состоящий из собственных векторов x 1 , x 2 ,…, x n линейного оператора A: R n ®R n с матрицей А в некотором базисе пространства R n , и Т – матрица перехода от этого базиса к базису x 1 , x 2 ,…, x n , то справедливо равенство

где L – диагональная матрица с собственными значениями, соответствующими собственным векторам оператора A, на главной диагонали. В этом случае матрица А линейного оператора A называется диагонализируемой.

Пример 1. Привести к диагональному виду матрицу

Решение. Для этой матрицы в примере 1 из §12.2 найдены собственные векторы x 1 = (–1, 1, 1), x 2 = (11, 1, –14)и x 3 = (1, 1, 1), соответствующие собственным значениям l₁ = 1, l₂ = – 2 и l₃ = 3. Поскольку все собственные значения попарно различны, векторы x 1 , x 2 , x 3 образуют базис пространства R 3 согласно теореме 12.1. Значит, согласно определению 14.1 матрица А диагонализируема.

Составим матрицу перехода Т к базису x 1 , x 2 , x 3 , столбцами которой будут координаты данных базисных векторов.

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Диагонализация матриц с размерностью менее ста не слишком сложна при использовании существующих ЭВМ и занимает относительно немного времени. Однако для матриц больших порядков эта задача осложняется: во-первых, диагонализация матриц больших порядков требует применения ЭВМ с большей оперативной памятью и более высоким быстродействием; во-вторых, что особенно важно в квантовохимических расчетах с самосогласованием по матрице плотности, точность вычисления собственных векторов и собственных значений должна быть высокой, что приводит к дополнительному увеличению времени расчета.  [1]

Диагонализация матрицы Т дает спектр собственных значений задачи.  [2]

Однако и диагонализация матрицы состояний , и математическая децентрализация часто не дают прак — — ических результатов, а лишь подтверждают ( используя юстаточно сложные приемы), что структура с иерархической организацией и автономными управляемыми параметрами является более предпочтительной для анализа и особенно синтеза управляющих систем реального времени. Между тем в практике создания АСУ ТП имеются от — 1етливые технические аналоги упомянутым математиче-жим приемам. При необходимости могут быть выявлены ( сравнительно небольшие и, главное относительно медленные) взаимные влияния отдельных параметров и управляющих воздействий и внесена необходимая коррекция в алгоритм управления.  [3]

Отвергнуть в процедуре диагонализации матрицы А все плоские вращения, кроме якобиевых — это все равно, что выходить на боксерский ринг с одной рукой, привязанной за спину.  [4]

Таким образом, на основании диагонализации матрицы ( G) ( V) — ( G), которая является симметричной, с порядком т, равным числу групп, причем, как правило, тр, можно вычислить собственные значения ( А.  [5]

Для уровней энергии, полученных диагонализацией матрицы Н, ниже будет использовано обозначение JP, 8P0, 8РП 8Р2 ( ср.  [6]

Таким образом, вся задача состоит в диагонализации матрицы А или А.  [7]

Читатели могут найти подробные сведения о процедуре диагонализации матрицы в (3.8) в учебниках по линейной алгебре или классической механике.  [8]

Матрица скалярных произведений — ( формально) ковариант-ная матрица; диагонализация ковариантной матрицы дает главные множители. Для системы в трехмерном пространстве их будет ровно три.  [9]

Поэтому процесс нахождения собственных значений данной динамической матрицы называют обычно диагонализацией матрицы . Аналогично процедуру решения вариационных уравнений (2.90) и (2.91) часто называют отысканием собственных значений и собственных векторов соответствующей матрицы, ибо корни ai уравнения (2.90), очевидно, являются компонентами одного собственного вектора матрицы [ Нц ] [ ср.  [10]

Наиболее прямой метод решения задачи первого приближения теории возмущений состоит в диагонализации матрицы суммарной энергии ( суммы электростатической и энергии взаимодействия спина с орбитой) для данной конфигурации схемы нулевого приближения. Этот процесс практически невыполним для всех конфигураций, за исключением простейших случаев, ввиду высокого порядка получающихся вековых уравнений. Общее решение возможно в большем числе случаев, если воспользоваться схемой SUM, но, чтобы осуществить эту возможность, необходимо, за исключением специальных случаев, проделать преобразование к этой схеме. Ввиду сложности этой задачи и невозможности получения общего решения для сложных конфигураций желательно получить результаты элементарного, хотя бы и приближенно, характера. В предшествующих трех главах мы рассматривали тот важный случай, когда взаимодействие спина с орбитой мало в сравнении с электростатическим; в этой главе будет интересно рассмотреть менее важный случай, в котором электростатическое взаимодействие слабо в сравнении с взаимодействием спина с орбитой.  [11]

Доказательство существенно использует следующую лемму, вытекающую из описанного в § 1 метода диагонализации матрицы .  [12]

В предыдущем разделе показано, что нахождение переходной матрицы может быть упрощено использованием диагонализации матрицы А. Эта диагонализация невозможна, если n х n — матрица А не имеет п линейно независимых собственных векторов. В этом случае, однако, можно привести матрицу А к так называемой канонической форме Жордана, которая является квазидиагональной и из которой можно получить переходную матрицу.  [13]

Пользуясь соотношениями (1.6.4) (1.6.6) система уравнений (1.6.1) и граничные условия (1.6.2), (1.6.3) преобразуются к несвязанной форме посредством диагонализации матриц многокомпонентной диффузией, что позволяет уже применять к полученной системе уравнений (1.6.5) известные методы решения. Затем при помощи обратного матричного преобразования (1.6.6) находятся распределения компонентов многокомпонентной смеси в фазах.  [14]

Это позволяет сократить без дополнительных приближений порядок решаемых в методе ХФР вековых уравнений и одновременно увеличить точность вычислений благодаря переходу к диагонализации матриц меньшего порядка .  [15]