Как построить векторную диаграмму токов и напряжений
Векторные диаграммы — метод графического расчета напряжений и токов в цепях переменного тока, в которых переменные напряжения и токи символически (условно) изображаются с помощью векторов.
В основе метода лежит тот факт, что всякую величину, меняющуюся по синусоидальному закону (смотрите — синусоидальные колебания), можно определить как проекцию на какое-то выбранное направление вектора, вращающегося вокруг своей начальной точки с угловой скоростью, равной угловой частоте колебаний изображаемой переменной величины.
Поэтому всякое переменное напряжение (или переменный ток), меняющееся по синусоидальному закону, можно изображать с помощью такого вектора, вращающегося с угловой скоростью, равной угловой частоте изображаемого тока, причем длина вектора в определенном масштабе изображает амплитуду напряжения, а угол — начальную фазу этого напряжения.
Если рассмотреть электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных источника переменного тока, резистора, индуктивности и конденсатора, где U – мгновенное значение переменного напряжения, а i – это ток в текущий момент времени, причем U изменяется по синусоидальному (косинусоидальному) закону, то для тока можно записать:
Согласно закону сохранения заряда, в любой момент времени ток в цепи имеет одно и то же значение. Следовательно на каждом элементе будет падать напряжение: UR– на активном сопротивлении, UC – на конденсаторе, и UL – на индуктивности. Согласно второму правилу Кирхгофа, напряжение источника будет равно сумме падений напряжений на элементах цепи, и мы имеем право записать:
Заметим, что согласно закону Ома: I = U/R, и тогда U = I*R. Для активного сопротивления значение R определяется исключительно свойствами проводника, оно не зависит ни от тока, ни от момента времени, следовательно ток совпадает по фазе с напряжением, и можно записать:
А вот конденсатор в цепи переменного тока обладает реактивным емкостным сопротивлением, и напряжение на конденсаторе все время отстает по фазе от тока на Пи /2 , значит пишем:
Катушка, обладающая индуктивностью, в цепи переменного тока выступает реактивным индуктивным сопротивлением, и напряжение на катушке в любой момент времени опережает по фазе ток на Пи/ 2 , следовательно, для катушки запишем:
Можно записать теперь сумму падений напряжений, но в общем виде для приложенного к цепи напряжения можно записать:
Видно, что здесь имеет место некий сдвиг фаз, связанный с реактивной составляющей общего сопротивления цепи при протекании по ней переменного тока.
Поскольку в цепях переменного тока и ток и напряжение изменяются по закону косинуса, причем мгновенные значения отличаются между собой лишь фазой, то физики придумали в математических расчетах рассматривать токи и напряжения в цепях переменного тока как векторы, поскольку тригонометрические функции можно описать через векторы. Итак, запишем напряжения в виде векторов:
Используя метод векторных диаграмм, можно вывести, например, закон Ома для данной последовательной цепи в условиях протекания по ней переменного тока.
Согласно закону сохранения электрического заряда, в любой момент времени ток во всех частях данной цепи одинаков, так отложим же векторы токов, построим векторную диаграмму токов:
Пусть в направлении оси Х будет отложен ток Im – амплитудное значение тока в цепи. Напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с током, значит эти векторы будут сонаправленными, отложим их из одной точки.
Напряжение на конденсаторе отстает на Пи/2 от тока, следовательно откладываем его под прямым углом вниз, перпендикулярно вектору напряжения на активном сопротивлении.
Напряжение на катушке опережает на Пи /2 ток, следовательно откладываем его под прямым углом вверх, перпендикулярно вектору напряжения на активном сопротивлении. Допустим, что для нашего примера UL>UC.
Поскольку мы имеем дело с векторным уравнением, сложим векторы напряжений на реактивных элементах, и получим разницу. Она будет для нашего примера (мы приняли что UL>UC) направлена вверх.
Прибавим теперь вектор напряжения на активном сопротивлении, и получим, по правилу векторного сложения, вектор суммарного напряжения. Так как брали максимальные значения, то и получим вектор амплитудного значения общего напряжения.
Так как ток менялся по закону косинуса, то напряжение тоже меняется по закону косинуса, но со сдвигом фаз. Между током и напряжением есть постоянный сдвиг фаз.
Запишем закон Ома для общего сопротивления Z (импеданса):
Из векторных изображений по Теореме Пифагора можем записать:
После элементарных преобразований получим выражение для полного сопротивления Z цепи переменного тока, состоящей из R, C и L:
Тогда получим выражение для закона Ома для цепи переменного тока:
Заметим, что наибольшее значение тока получатся в цепи при резонансе в условиях, когда:
Косинус фи из наших геометрических построений получается:
Если Вам понравилась эта статья, поделитесь ссылкой на неё в социальных сетях. Это сильно поможет развитию нашего сайта!
Не пропустите обновления, подпишитесь на наши соцсети:
Построение векторных диаграмм (готовое решение)
_ Много было стенаний ТС — где бы программульку найти, что бы диаграммы строила?
Интересно, поискал и в заправду — нет! Вернее есть что-то, да все не то и делают не так.
Но вот для ТОЭ, для замкнутого контура или участка цепи — нет.
_ И не то чтобы она очень нужна — построить на бумаге не сложно. Но иной раз слагаемых
столько, что весь лист исчеркан и фиг разберешься. А ну как ошибся раз — так стирать да перерисовывать.
И вот результат — вытертый лист бумаги на котором "забор" из новых стрелок и следы старых.
_ Решил набросать в Excel’e что нибудь попроще. Попробовал — получилось.
Программа VektorD не "крутая", но способная. Есть особенности, о чем ниже.
_ Оговорюсь — VektorD не панацея от всех бед, а помощник. Но если Вы не понимаете
что есть диаграмма и как она строится она Вам бесполезна.
_ 1. Интерфейс.
_ Заполняемые поля — "Контур 1". Сюда Вы заносите действительную и мнимую часть каждого вектора диаграммы.
Можно, нажав "Форма записи", ввести и как mod*exp(Fi).
Заносите последовательно так, как бы Вы в "рукопашную" строили диаграмму. Классика — каждую составляющую
падения напряжения на элементах цепи при обходе контура. Естественно, все они должны быть посчитаны.
Т.е. это одно из уравнений по второму закону Кирхгофа.
_ "ЗО" и "ЗП" — кнопки установки меток для замыкающих векторов.
Например, Вам надо на диаграмме отобразить итоговый (промежуточный) вектор полного падения на R + jxL.
Клик в 5-м столбце — появится "ЗП1" (замыкащий промежуточный, 1 — начало). Клик в другом месте — "ЗП2"
(замыкащий промежуточный, 2 — конец). Очередность ЗП1,2 определяет направление вектора.
Нажмете еще раз — "ЗП3,4" и т.д.
_ Аналогично с "ЗО" — замыкающий общий. Это или ЭДС или просто падение напряжения на участке.
_ Построить — жмем и wuala, диаграмма готова. Далее Вы можете средствами Excel добавить надписи векторов,
названия и пояснительные тексты. Мне честно было лень писать для этого код.
Но поле для обозначения составляющих диаграммы есть — не ленитесь и заполняйте (колонка №2), а то потом запутаетесь.
_ Крест — очистить все поля. Удаляется все.
_ 2. Работа.
_ Если вектора набросали как "Бог на душу положит" — диаграмма будет такая же.
_ Не спеша, вдумчиво заполняйте поля "Контур 1". Не пропускайте поля — это ошибка.
Еще одна ошибка — заносить итоговый вектор ЭДС (или их сумму по контуру) как есть. В итоге на диаграмме
замкнутой ломаной Вы не получите. Перенесите ЭДС в правую часть уравнения и она или ее результат будет с минусом.
_ 3. Ограничения:
— контур (уравнение) — один. Если будет интерес, то модернизирую для нескольких;
— величины от единиц до сотен. Если очень маленькие — измените масштаб, например умножить
на 1000 и наоборот.
_ 4. Советы:
— сохраняйте результат до нажатия кнопки "Очистить". Ошиблись? Закройте без сохранения и откройте вновь;
— сделайте копию файла VektorD.
_ 5. Пример.
_ Вот так должна выглядеть диаграмма ТС из — Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений
Замечания и предложения приму с благодарностью ("косяки" не исключены).
С уважением, OldFedor.
Построение векторных диаграмм
Наверняка при решении задач по электротехнике многие сталкивались с некоторыми сложностями в построении векторных диаграмм. Начнем с определения векторной диаграммы.
Векторная диаграмма — это изображение синусоидально изменяющихся величин в виде векторов на плоскости.
Векторные диаграммы применяют потому, что сложение и вычитание синусоидальных величин, неизбежные при расчете цепей переменного тока, наиболее просто выполняются в векторной форме. Кроме того векторные диаграммы отличаются простотой и наглядностью.
Построение векторной диаграммы выполняется в прямоугольной плоскости. Чтобы построить диаграмму нужно провести вектор длиною равный амплитудному значению искомой величины, под углом сдвига относительно другой величины. Возможно, вы не сразу поймете смысл сказанного, для этого нужно изучить пример.
В качестве примера рассмотрим построение векторной диаграммы для цепи, состоящей из последовательно подключенных конденсатора, резистора и катушки. Напряжение на катушке UL=15 В, напряжение на конденсаторе UC=20 В, напряжение на резисторе UR=10 В, ток в цепи I=3 А. Требуется найти общее напряжение.
Катушка носит индуктивный характер, а значит, в ней напряжение опережает ток по фазе на 90°.
Конденсатор носит емкостной характер, значит, ток в нем опережает по фазе напряжение на 90°.
Резистор обладает только активным сопротивлением, и напряжение в нем совпадает по фазе с током.
Итак, для начала отложим вектор тока в масштабе. Масштаб для тока у нас будет 1 А/см.
Теперь отложим вектор напряжения на катушке, масштаб для напряжения возьмем 5 В/см, получается, что нужно отложить шесть клеток вверх, так как напряжение в катушке опережает ток. Для наглядности обозначим синим цветом.
Далее мы будем откладывать вектор активного сопротивления, так как напряжение в одной фазе с током, то мы его откладываем из конца вектора UL параллельно вектору тока I. Обозначим его красным цветом.
Следующим шагом отложим вектор напряжения на конденсаторе, так как оно запаздывает на 90°, мы его отложим вертикально вниз, из конца вектора U R . Обозначим желтым цветом.
И последним этапом мы отложим вектор общего напряжения, из начала координат в конец вектора UC и обозначим его зеленым цветом.
Общее напряжение получилось равным 2,23 В, причем характер цепи емкостной, так как напряжение отстает от тока.
Аналогичным образом выполняется построение векторной диаграммы токов.