Как приравнять к нулю

Задача B15: Решение сложных задач и производная частного

Сегодня мы продолжаем изучать задачи на наибольшее и наименьшее значение из ЕГЭ по математике. Теперь перед нами довольно серьезная задача, в которой придется использовать формулу производной частного. Итак:

Задача B15. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0; 1]:

Нахождение наименьшего значения функции на отрезке: универсальный алгоритм

В первую очередь вспомним: как вообще решаются задачи такого типа, в которых требуется найти наименьшее или наибольшее значение функции? Решение таких задач состоит из нескольких этапов:

1. В первую очередь, нам предстоит производную: f’;
2. Затем мы приравниваем производную к нулю и находим корни. Эти точки являются кандидатами в точки максимума и минимума, т. е. кандидатами в экстремумы: f’ = 0;
3. Затем из всех найденных корней мы выбираем те, которые лежат у нас на отрезке. В нашем случае речь идет об отрезке [0; 1]. Следовательно, нам нужно найти такие x_<1>, x_<2>, которые, с одной стороны, являются корнями уравнения f’ = 0 (т. е. являются нулями производной), а с другой — лежат на отрезке [0; 1]: x_<1>, x_ <2>[0; 1]
4. На этом шаге допускается больше всего ошибок: мы подставляем в исходную функцию сначала концы отрезка — f(0), f(1) — а затем в эту же функцию подставляем нули производной — находим значения f(x_<1>), f(x_<2>).

Практика показывает, что, как правило, мы получаем только один корень. В этом корне как раз и возникает ответ ко всей задаче, т. е. наименьшее или наибольшее значение функции, но бывают исключения, поэтому концы отрезка тоже нужно подставлять.

Помните: далеко не всегда наибольшее или наименьшее значение функции достигается в точках максимума или минимума. Вполне возможно, что наибольшее или наименьшее значение возникнет на концах отрезка.

Решение задачи B15 по алгоритму

Давайте применим этот четырехступенчатый алгоритм к нашей функции:

Шаг 1: Считаем производную функции

Поскольку перед нами дробь, то сейчас нужно будет считать производную дроби. Напомню, что производная частного считается по следующей формуле:

Применяем это правило для нашей функции. Считаем производную:

Разбираемся с числителем. Первая мысль, которая возникает — раскрыть все скобки и привести слагаемые. Но это не самый оптимальный вариант, потому что есть более красивый и быстрый путь. Давайте заметим: первая скобка — (−1 + 2х), а последняя скобка — (1 − 2х), т. е. эти скобки противоположны друг другу. С помощью минуса мы можем поменять знаки. Смотрите:

Теперь мы видим, что в первом и во втором слагаемом есть общий множитель, а именно — (−1 + 2х). Давайте вынесем этот общий множитель за скобку:

Готово! Производная частного найдена.

Шаг 2: Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение

Мы получили довольно простую конструкцию, которая является нашей производной. Переходим ко второму шагу: приравниваем эту конструкцию к нулю и считаем корни:

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Множитель «2» в этом случае не может быть равен нулю, поэтому:

−1 + 2 x = 0;
x = 1/2.

Разумеется, при таком х знаменатель будет отличен от нуля, потому что при подстановке у нас получится 5/4, что явно не является нулем. Следовательно, x = 1/2 является единственным корнем (когда производная равна нулю).

Шаг 3: Отбор корней на отрезке

Переходим к третьему шагу: отбираем корни, лежащие на отрезке [0; 1]. В нашем случае корень 1/2 действительно принадлежит этому отрезку:

Следовательно, мы смело можем переходить к четвертому шагу и подставлять все три числа, а именно — корень 1/2 и концы отрезка 0 и 1 — в исходную функцию:

Шаг 4: Подстановка значений переменной в исходную функцию

Давайте подставлять. Начнем с самого сложного — числа x = 1/2. Считаем:

Теперь подставляем x = 0:

Наконец подставляем х = 1, т. е. правый конец отрезка:

У нас получилось то же самое число.

Вычисление наибольшего значения функции на отрезке

Итого у нас получилось три значения функции, т. е. три кандидата на ответ. На самом деле их два, потому что два последних совпадают. Получаем два числа: y = 0,6 и y = 1.

Давайте вернемся к исходному условию задачи, посмотрим, что от нас требуется. А от нас требуется найти наименьшее значение функции. Т. е. из двух полученных чисел — 0,6 и 1 — нужно выбрать наименьшее. Очевидно, что ответом будет y = 0,6. Все, задача решена.

Важное замечание о наибольшем и наименьшем значении функции

Единственный момент, на который я бы хотел обратить ваше внимание, заключается в следующем. Давайте еще раз вернемся к нашему алгоритму:

1. Найти производную: f’;
2. Решить уравнение: f’ = 0;
3. Отобрать корни на отрезке: x_<1>, x_ <2>∈ [0; 1];
4. Вычислить значение функции в оставшихся нулях производной и на концах отрезка: f(0); f(1); f(x_<1>); f(x_<2>).

На четвертом пункте мы считаем значение функции не только в нулях производной, но еще и на концах отрезка. У многих учеников возникнет вопрос: зачем вообще считать значение функции на концах отрезка, если и так ясно, что наибольшее или наименьшее значение принимается в нулях производной?

Хочу вас предупредить: это очень частое и ошибочное заблуждение! Потому что при наличии любых ограничений отнюдь не всегда наибольшее или наименьшее значение функции достигается в точке максимума или минимума.

Рассмотрим простой пример. Взгляните на такую функцию:

Ну и где достигается наибольшее и наименьшее значение этой функции, а где — точки максимума и минимума? Точка минимума очевидна — назовем ее x ₀. В ней убывание функции сменяется возрастанием. И напротив, точка x ₁ является точкой максимума, потому что в ней возрастание функции сменяется убыванием.

Однако максимальное значение функции достигается отнюдь не в точке x = x ₁, а на конце отрезка — именно в точке x = b функция поднимается на максимальную высоту. И наоборот: наименьшее значение достигается именно в точке x = a , а никак не в точке минимума x = x ₀. Поэтому помните: наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке совсем необязательно достигается в точках максимума и минимума. Это значение также может достигаться на концах отрезка.

Далеко не всегда наибольшее или наименьшее значение функции достигается в точке экстремума! Очень часто это происходит на концах отрезка.

Применительно к задачам из ЕГЭ по математике можно сказать следующее: такие графики функций, когда наибольшее значение оказывается на концах отрезка, в настоящих задачах из ЕГЭ встречаются крайне редко. Однако они все-таки существуют, в том числе в настоящем ЕГЭ, а не только в пробниках. Поэтому будет очень обидно, если, зная, как решается задача, вы, тем не менее, допустите в ней ошибку — просто потому, что не проверите концы отрезка.

Удачи вам в подготовке к ЕГЭ по математике, оставайтесь с нами, решайте задачи, смотрите видеоуроки — и никакие (даже самые сложные!) задачи по математике вам будут не страшны. А у меня на сегодня все.:)

Решение уравнений методом разложения на множители

Пример. Решите уравнение \(x^2+5x=0\).
Решение:

Вынесем за скобку икс.

Разобьем уравнение на два простейших.

В первом корень уравнения уже понятен, во втором надо перенести \(5\) в правую сторону.

Решение методом разложения на множители основывается на простой идее:

В результате умножения ноль можно получить, только если один из множителей равен нулю.

Попробуйте придумать два числа, которые при умножении дают ноль. Вы убедитесь, что хотя бы одно из них обязательно должно быть нулем.

Этот метод решения уравнений один из самых популярных, поэтому освоить его очень важно для тех, кто планирует иметь четверки и пятерки. А для освоения этого метода, конечно, надо уметь раскладывать на множители как Бог: знать все формулы сокращенного умножения, легко выносить множители за скобки, уметь применять метод группировки и т.д. Подробнее о всех способах разложения на множители смотри здесь .

Пример(задание из ОГЭ). Решите уравнение \(x^3+4x^2-4x-16=0\).
Решение:

Перед нами кубическое уравнение.
Применим метод группировки: из первой пары слагаемых вынесем \(x^2\), а из второй – минус четверку.

Вынесем за скобку \(x+4\).

Расщепим уравнения на три.

Применение метода разложения на множители для решения уравнений не ограничивается 7-9 классами. Зачастую задач в 10-11 класса также основываются на этом методе.

Пример(задание из ЕГЭ). Решите уравнение \(15^ <\cos⁡x>=3^ <\cos⁡x>\cdot 5^<\sin⁡x>\).
Решение:

Это показательно — тригонометрическое уравнение.
Обратим внимание, что \(15\) можно представить как \(3\cdot 5\). Вряд ли это простое совпадение. Используя свойства степеней разложим \(15\) на множители.

Перенесем выражение из правой части в левую.

Решаем методом расщепления.

В какую степень надо возвести тройку, чтоб она стала нулем? Ни в какую, положительное число в любой степени останется положительным числом. Поэтому у первого уравнения нет решения.
Во втором уравнении перенесем \(5^<\sin⁡x>\) вправо.

Имеем показательное уравнение . Решаем его как обычно — «убираем» основания степеней.

Делим уравнение на \(\sin⁡x\). Это можно сделать т.к. \(\sin⁡x=0\) не будет решением уравнения. Значит синус икс – не ноль, и поэтому на него можно делить.

Как приравнять к нулю?

Решите уравнение по плану :Примените формулу куба разностиСократите дробьПриведите выражения к общему знаменателюПриведите подобные члены в числителеПриравняйте к нулю числитель и знаменательЗапишите ?

Решите уравнение по плану :

Примените формулу куба разности

Приведите выражения к общему знаменателю

Приведите подобные члены в числителе

Приравняйте к нулю числитель и знаменатель

Исследовать функцию с помощью производной : у = 2х + 1 Как приравнять производную к нулю?

Исследовать функцию с помощью производной : у = 2х + 1 Как приравнять производную к нулю?

Простое задание, помогите пожалуйста?

Простое задание, помогите пожалуйста!

) Найдите наименьшее значение функции y = 6sinx — 9x + 5 на отрезке от — 3пи / 2 до нуля сначала нужно найти производную, приравнять её к нулю, а как дальше!

Найти наименьшее значение функции y = 4(x + 9) ^ 2 * e ^ (4x + 1) на отрезке [ — 9?

Найти наименьшее значение функции y = 4(x + 9) ^ 2 * e ^ (4x + 1) на отрезке [ — 9.

25] помогите найти производную и приравнять к нулю.

Найти промежутки монотонности функции ; Понятно, что нужно найти производную и приравнять ее к 0, она получилась так : Как это решить ума не приложу?

Найти промежутки монотонности функции ; Понятно, что нужно найти производную и приравнять ее к 0, она получилась так : Как это решить ума не приложу.

Приравнять к нулю и посчитать?

Приравнять к нулю и посчитать.

Вот я вывела подобную?

Вот я вывела подобную.

Ее еще надо приравнять в нулю и я что — то не понимаю как это сделать, помогите пожалуста!

Ну я имею ввиду что нужно не только приравнять, но и решить.

У = 3x — 4 / x — 2?

1) найдите D(y) 2) исследовать на чётность 3) Найти производную 4) найти xmax и xmin ( график нарисовать нужно) 5) найти критические точки 6) Найти стационарные точки 7) приравнять к нулю.

Помогите решить?

Найти производную и далее приравнять к нулю.

Y = (х — 11) ^ 2 * е ^ x — 4.

Найти производную функции y = 4 / x — x и приравнять ее к нулю?

Найти производную функции y = 4 / x — x и приравнять ее к нулю.

На этой странице вы найдете ответ на вопрос Как приравнять к нулю?. Вопрос соответствует категории Алгебра и уровню подготовки учащихся 10 — 11 классов классов. Если ответ полностью не удовлетворяет критериям поиска, ниже можно ознакомиться с вариантами ответов других посетителей страницы или обсудить с ними интересующую тему. Здесь также можно воспользоваться «умным поиском», который покажет аналогичные вопросы в этой категории. Если ни один из предложенных ответов не подходит, попробуйте самостоятельно сформулировать вопрос иначе, нажав кнопку вверху страницы.

3x + 3x = 3x² — 8y + 6y = — 2y 3x² — 2y + 4 = 0 формула — B² — 4ac 6² + 4 * 8 * 4 = 36 + 128 = 164.

2 * 3 ^ 2x + 3 * 3 ^ x * 5 ^ x — 2 * 5 ^ 2x = 0 2 + 3 — 2 = 3 ^ 2x * 5 ^ 2x = 3 ^ x * 5 ^ x = 0 3 = 15 ^ 4x ^ 2 = 15x ^ 2 x ^ 2 = 15 / 15 / 3 x ^ 2 = 1.

Если разница двух элементов равна 0, то значит они равны друг другу .

А) 3 + 7 * 10 ^ — 2 + 9 * 10 ^ — 3 б) 6 * 10 ^ — 5 + 2 * 10 ^ — 6 + 1 * 10 ^ — 8 в) 5 * 10 ^ 4 + 9 * 10 + 4 + 5 * 10 ^ — 1 + 8 * 10 ^ — 2 г) 7 * 10 + 7 * 10 ^ — 4 + 7 * 10 ^ — 6 д) 7 * 10 ^ 4 + 8 * 10 ^ 3 + 3 + 9 * 10 ^ — 2 е) 8 * 10 ^ 3 + 4 * 10 ^ 2..