Как посчитать интеграл в maple

Дифференцирование, интегрирование, вычисление пределов, сумм, рядов функций и математических выражений в системе Maple

уметь применять указанные команды для решения математических задач.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Дифференцирование выражений

Команды diff ( ) и Diff ( ) предназначены для вычисления обыкновенных и частных производных аналитического выражения по одной или нескольким переменным. Вторая команда является отложенной командой, которая не вычисляет производную от выражения, а просто отображает математическую запись взятия производной. Результат действия отложенной команды можно присвоить переменной Maple, а в дальнейшем при помощи команды value ( ) вычислить результат этой отложенной команды. Отложенная форма команды удобна, когда необходимо видеть, какие операции были сделаны для получе-ния нужного выражения. Кроме этой команды еще целый ряд команд имеют отложенную форму, информацию о которых можно получить в Справке.

Синтаксис команды дифференцирования следующий:

diff (выражение, переменная_1, переменная_2, . переменная_n);

diff (выражение, [переменная_1, переменная_2, . переменная_n]);

В результате выполнения любой из приведенных команд будет вычислена частная производная n-гo порядка от заданного первым параметром выражения по заданным n переменным.

При вычислении производных высокого порядка можно использовать оператор последовательности $, который позволяет проще и нагляднее задать производную. Например, для вычисления третьей производной функции f (х) по переменной х можно использовать команду diff (f (х) , х, х, х), в которой три раза указано дифференцирование по переменной х, или применить в команде дифференцирования оператор последовательности х$3, что упрощает и делает более наглядным задание третьей производной: diff (f (х) , х$3).

Пример 1. Вычисление производных.

Последние три команды показывают использование отложенной формы команды дифференцирования.

2. Интегрирование выражений

Команда int( ) имеет отложенную форму Int( ) и осуществляет интегрирование выражений по заданной переменной. Эта команда вычисляет неопределенный интеграл от выражения (при этом, правда, в ответе не будет никакой постоянной интегрирования) используя следующий синтаксис:

int (выражение, переменная);

Определенный интеграл вычисляется при следующем синтаксисе команды:

int (выражение, переменная = a..b);

где a и b являются пределами интегрирования, причем эти пределы могут быть и аналитическими выражениями.

Пример 2. Интегрирование функций.

Для символьного вычисления определенного интеграла существуют две опции, управляющие обработкой разрывов подынтегральной функции. Эти опции задаются третьим параметром в командах int( ) и Int( ).

По умолчанию команда интегрирования проверяет выражение на не-прерывность в области интегрирования и вычисляет интеграл как сумму от-дельных определенных интегралов на промежутках непрерывности функции. Опция `continuous` отключает этот режим и вычисляет интеграл как разность значений первообразной подынтегральной функции в точке начала и конца промежутка интегрирования. Еще одна опция `CauchyPrincipalValue` вычисляет несобственные интегралы первого и второго рода в смысле главного значения Коши.

Если Maple не находит замкнутую форму выражения для определенно-го интеграла, то команда интегрирования возвращает вызов самой себя (в области вывода печатается математическая запись вычисления интеграла, как при обращении к отложенной команде интегрирования). В таких случаях можно вычислить значение определенного интеграла численным способом с помощью команды evalf ( ). Синтаксис при этом следующий:

evalf( int (f,x=a. .b) ) ;

evalf ( Int (f,x=a. .b) ) ;

evalf (Int (f ,x=a. .b), digits, flag);

Параметр digits позволяет задать число значащих цифр при вычислени-ях приближенного значения интеграла (по умолчанию это число равно числу значащих цифр, определенных значением системной константы Digits).

При численном интегрировании по умолчанию используется квадра-турная формула Кленшо-Куртиса (Clenshaw-Curtis). Если в подынтегральном выражении встречается сингулярность, то применяется специальная методи-ка символьного анализа для ее разрешения. Для задач с неустранимыми сингулярностями используется адаптивный метод двойных экспоненциаль-ных квадратур. Параметр flag позволяет явно задать метод численного интегрирования. Он может принимать значения, представленные в табл. 1.

Таблица 1. Значения параметра flag при численном интегрировании.

Применяется только квадратура Кленшо-Куртиса без вызова процедуры обработки сингулярности

Применяется адаптивный метод двойных экспоненциальных квадратур

Применяется метод квадратурной формулы Ньютона-Котеса, являющийся методом фиксированного порядка, и не эффективен для высоких точностей (Digits > 15)

Пример 3 помогает освоиться с использованием вышеприведенной методики.

Пример 3. Численное интегрирование функций.

Первый интеграл примера 3 вычисляется в аналитическом виде, но представляется через значение специальной функции интегральный косинус. Для получения ответа в виде десятичного числа применяется алгоритм чис-ленного интегрирования. Здесь же показано использование отложенной формы команды интегрирования для более удобного представления ответа.

Численное интегрирование даже функций, внешний вид которых представляется не достаточно сложным, может потребовать значительного времени. Если будет казаться, что Maple завис (а такое случается), то надо следить за изменением времени в правой части строки состояния. Если оно изменяется, то просто следует дождаться завершения интегрирования.

В системе Maple имеется набор команд для полного исследования функций: limit ( ) — для отыскания предела функции, sum ( ) — для нахождения всевозможных конечных сумм, series ( ) — для разложения функций в ряды Тейлора, Маклорена и Лорана, extrema ( ) — для исследования экстремумов функций как одной, так многих переменных, minimize ( ) и maximize ( ) — для поиска минимума и максимума функции на заданном промежутке. Описание всех этих и других команд можно, естественно, найти в Справке Maple.

Для нахождения предела выражения или функции в Maple используется команда limit (параметр 1, параметр 2). Первый параметр — выражение, второй параметр — имя переменной, приравненное значению переменной в точке предела. Необязательный третий параметр — направление предела. Если направление не задано, вычисляется стандартный двусторонний предел. Если предел не существует, в качестве ответа возвращается сообщение «undefined». Если Maple не способен вычислить предел (однако он может существовать), возвращается невыполненная команда.

В большом количестве случаев выражение, которое не имеет двустороннего предела, имеет односторонний предел:

В команде limit ( ) может присутствовать также необязательная опция complex или real в качестве третьего параметра аргумента. Эта опция определяет, в комплексной или действительной области вычисляется предел.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Найти производную:

2. Найти интеграл:

3. Найти следующие пределы:

. 1.1; 2.1; 3.1; . 1.9; 2.9; 3.9;

. 1.2; 2.2; 3.2; . 1.10; 2.10; 3.10;

. 1.3; 2.3; 3.3; . 1.11; 2.11; 3.11;

. 1.4; 2.4; 3.4; . 1.12; 2.12; 3.12;

. 1.5; 2.5; 3.5; . 1.13; 2.13; 3.13;

. 1.6; 2.6; 3.6; . 1.1; 2.2; 3.3;

. 1.7; 2.7; 3.7; . 1.13; 2.12; 3.11.

1. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple. Математический пакет для всех. — М.: Мир, 1997. — 208 с.

2. Дьяконов В.П. Математическая система Maple V. — М.: Издательство “Солон”,1998.

3. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. — 176 с.

4. Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. — СПб.:БХВ — Петербург, 2001.- 528 с.

5. Манзон Б.М. Maple V Power Edition — М.: Информационно-издательский дом “Филинъ”,1998г.

Интегрирование

такие же, как и в команде прямого исполнения int. Команда Int выдает на экран интеграл в аналитическом виде математической формулы.

Для вычисления определенного интеграла в командах int и Int добавляются пределы интегрирования, например,

Если в команде интегрирования добавить опцию continuous:

int(f, x, continuous), то Maple будет игнорировать любые возможные разрывы подынтегральной функции в диапазоне интегрирования. Это позволяет вычислять несобственные интегралы от неограниченных функций. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования вычисляются, если в параметрах команды int указывать, например, x=0..+infinity.

Численное интегрирование выполняется командой

evalf(int(f, x=x1..x2), e), где e — точность вычислений (число знаков после запятой).

Как посчитать интеграл в maple

Библиографическая ссылка на статью:
Рабчук А.В., Самигуллина Р.Г. Лабораторные работы и индивидуальные задания в среде Maple (часть 1 — производные и интегралы) // Современная педагогика. 2015. № 11 [Электронный ресурс]. URL: https://pedagogika.snauka.ru/2015/11/5084 (дата обращения: 24.01.2022).

Для начала дадим некоторые основные процедуры и функции:
Restart — начинать с каждой новой задачи. ^ — возведение в степень, / – деление, * – умножить, <shift+enter>- переход на другую строку без вычислений,< enter>- переход на другую строку с вычислением, := – оператор присваивания, floor(x)- целая часть х, Рlot (%) – печать графика последней функции , если (%%)-предпоследней и т.д. Другие варианты, более сложные, покажем далее; sqrt(X) — , sec(X) –секанс, sin(X)-синус, exp(x) -e , csc(X)- косеканс, cos(X)-косинус, ln(x) – натуральный логарифм, tan(X)-тангенс, log[d](X)-логарифм по основанию d, log10x – десятичный логарифм, arctan(x)-арктангенс , arctcot(x)-арккотангенс, cot(X) –котангенс.
Лабораторная работа N 1.
Вычисление производных.
Оператор diff (), -параметры процедуры: функция от которой берут производную, и переменная по которой берут производную.
ПРИМЕР1 . diff (sin(x),x); < enter> ответ: cos(x)
Plot (%);< enter> график косинуса
ПРИМЕР2. Найти производную
Y= (xsina+cosa) (xcosa-sina),
Можно сначала определить функцию следующим образом
Y:=x->(x*sin(a)+cos(a)*(x*cos(a)-sin(a)) ; < enter>
diff(Y(x),x) ); < enter>
Plot (%) ;< enter>
ПРИМЕР 3. y=[x] cos(10 x)
Y: =x->floor(x)*cos(10*pi*x); < enter>
diff( Y(x),x ); < enter>
Plot (%) ;< enter>
Можно использовать оператор D.
D (SIN); ОТВЕТ COS или D (sin(x)); ответ cos(x).
ПРИМЕР 4.

Y=
Производная от кусочно-гладкой функции с помощью процедуры
PIECEWISE ( …) в ней последний интервал не указывается
Y: =X-> PIECEWISE(X<1, 1-X, X<=2, (1-X)*(2-X),-2+X); < enter>
F: =X->diff(Y(X),X) ; < enter>
F(X); < enter>
plot ([Y(X),F(X)]) ;< enter> графики функции и производной.

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
1. 11. ;
2. 12. ;
3. 13. ;
4. 14. ;
5. 15. ;
6. ; 16. ;
7. ; 17. ;
8. ; 18. ;
9. ; 19. ;
10. ; 20. .

21.	26.
22.	27.
23.	28.
24.	29.
25.	30.

Лабораторная работа N 2.

Процедура двумерной графики
Для двумерной графики используются процедуры plot(), если функции заданы явно или параметрически и implicitplot() — для неявно заданных функций . В таблице (Табл.1) даны некоторые параметры, которые могут использоваться для построения графиков.

Табл.1 Параметры процедуры plot()

Параметр	Описание
title	Заголовок рисунка – строка символов, переход на новую строку обозначается n
titlefont	ШРИФТ заголовка. Тип- TIMES,COURIER, HELVETICA,SYMBOL. Стиль – ROMAN –прямой, BOLD – жирный, ITALIC-курсив. Размер шрифта в пунктах, пункт=1/72 дюйма.
thickness	Толщина линии. По умолчанию 10 пунктов.
labers	Надпись на осях. Это список из двух строк. Первая – надпись для оси абсцисс, вторая – для оси ординат.
color	Цвет линии графика. Black- Черный, blue- синий, navy-темно-синий, coral-красный , cyan-голубой, green-зеленый, gray-серый,
linestyle	Стиль линии. От1 до 4, что одно и то же из названий: SOLID- Сплошная, DOT-пунктир, DASH- штрихованная, DASHDOT-штрихпунктир.
legend	Легенда графика.Если графиков много , тогда задается список – строки легенды этих графиков
simbol	Тип символа для отображения графика. BOX- Квадрат, CROSS- крест, CIRCLE- круг, POINT-точка, DIAMOND- ромб.

Пример 1 . Найти производную и построить графики функции и ее производной

y:=x – >piecewise(abs(x)<1,x^2*exp(-x^2),1>abs(x),1/exp(1));
f:=diff(y(x),x);
plot([y(x),f],x=-2 . .2,color[GREEN,NAVY], linestyle=[SOLID,DASHDOT],title=”кусочно-гладкая функция”,
titlefont=[COURIER,BOLD,15],legend=[“y(x)”,”производная”]);

Пример 2 . Найти производную и построить график функции и ее производной, если функция задана параметрически x=2cos2t, y=5sin2t,
x:=2*cos(t);
y:=5*sin(t);
f:=diff(y,t)/diff(x,t);
plot([x,y,t=0 . . 2*pi],[x,f,t=0. .2*pi],-2 . .2,-8 . .+8,
color=[RED,BLUE],style=[POINT,LINE],symbol=DIAMOND,
title=”параметрическая функция n и ее производная”,
titlefont=[COURIER,BOLD,15]);
Списки в операторе plot в [ ] содержат три элемента: две переменные, зависящие от t и область изменения t . Наличие трех элементов уже говорит о параметрической зависимости.
Пример 3 . Нарисовать график функции
implicitplot(x^2/16+y^2/9=1, x=-4. .4, y=-3. .3, thickness=2,
title=”неявно заданная функция”,
titlefont=[COURIER,BOLD,15] );

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

N – НОМЕР ПО СПИСКУ.
1. Кардиоида или
2.Циклоида или
3.Эвольвента круга
4.Астроида или .
5.Четырехлепестковая роза , или .
6. Улитка Паскаля
или
7. Строфоида или
8.Циссоида
9. Лемниската или
10.Овал Кассини

Лабораторная работа N 3.
Вычисление производных от функций заданных неявно.
Для вычисления производных от функций заданных неявно предусмотрена процедура implicitdiff () . Первый параметр – заданное выражение, второй – функция, от которой берется производная, третий – переменная по которой производная берется.
Пример 1 . Найти производную
implicitdiff(x^2+2*x*y-y^2=2*x,y,x) ;
===============================================на экране

Можно построить график с помощью процедуры implicitplot () . Но иногда нужно подключить процедуру plots с помощью команды with().

with(plots);
implicitplot ( x^2+2*x*y-y^2=2*x,x=-5. .5,y=-5. .5 );
Пример 2 . Найти производную функции в точке
x=2, y=4.
Зададим уравнение
F:=x^2/a^2+y^2/b^2=1;
Далее вычисляем производную
FX:= implicitdiff(F,y,x);
Присваиваем переменным заданные значения
x:=2;
y:=4;
%%%- выполнение пред-предпоследней команды (третья снизу)
‘производная в точке’=%%%;
===============================================на экране
производная в точке =

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
ЗАДАНИЕ 1. Вычислить программно и проверить аналитически
1. , 2.
3. 4.
5. 6.
7. , 8.
9. 10.
ЗАДАНИЕ 2. Найти производную функций в заданной точке и проверить аналитически.
1. , 2.
3. 4.
5. 6.
7. , 8.
9. 10.

Лабораторная работа N4.
Интегралы.
Int(…)- неактивная форма для вывода информации в символьном виде;
int(…) – активная форма для вычисления интеграла.
ПРИМЕР 1. Вычисление может быть таким – в операторах описан интеграл и переменная интегрирования.
Int(exp(alpha*x)*(cos(b*x),x)=int(exp(alpha*x)*cos(b*x),x); < enter>
Ответ. =
Определенный интеграл вычисляется так
ПРИМЕР 2.
Int(x^2*cos(x),x=0..2*pi)=int(x^2*cos(x),x=0..2*pi); < enter>
Ответ . =4
ПРИМЕР 3.
Int(x*ln(x)/((1+x^2)^2),x=0..infinity)=int(x*ln(x)/((1+x^2)^2),x=0..infinity);
< enter>
Ответ. =0
ПРИМЕР 4. Найти интеграл и построить графики функции и интеграла

f:=x- >piecewise(x<0,1,x<=1,x+1,2*x);
f(x); проверка записи
F: =x->int(f(x),x);
F(x); проверка записи
Печать графиков
plot ([f(x),F(x)], x=-1. .2,
color=[RED,NAVY], linestyle=[DOT,SOLID],
thickness=2, title=”кусочно-гладкая функция n и ее интеграл”,
titlefont=[TIMES,BOLD,15],legend=[“функция”,”интеграл”]);

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
1. 10. 19.
2 11. 20.
3. dx 12.
4. 13.
5. 14.
6. 15.
7. 16.
8. 17.
9. 18.