2 корня из 2 это сколько
Перейти к содержимому

2 корня из 2 это сколько

  • автор:

Калькулятор корней

Калькулятор корней поможет извлечь любой корень из числа.

alt=»Калькулятор корней онлайн» width=»300″ height=»94″ />Чтобы извлечь корень введите два числа — основание (из чего извлекается корень) и степень. Калькулятор корней в режиме онлайн извлечет корень. Степень может быть как положительной, так и отрицательной. Число, из которого извлекается корень, должно быть больше нуля.

К примеру, чтобы извлечь квадратный корень из числа 289 мы вводим значения как на картинке ниже и нажимаем кнопку Посчитать. Результат увидим тут же. Помимо этого наш калькулятор может извлекать корни из дробных чисел (дробей), а также извлекать корень дробной степени.

Чтобы извлечь корень любой степень просто введите степень вместо двойки в примере. Также на сайте есть калькулятор степеней, который позволит возвести число в степень.

Квадратный корень из 2

Квадратный корень из числа 2 — положительное вещественное число, которое при умножении само на себя даёт число 2. Обозначение: \sqrt<2>.» width=»» height=»» /> Приведём значение корня из 2 с 65 знаками после запятой:</p> <p>1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 99…</p> <p>Геометрически корень из 2 можно представить как длину диагонали квадрата со стороной 1 (это следует из теоремы Пифагора). Вероятно, это было первое известное в истории математики иррациональное число (то есть число, которое нельзя точно представить в виде дроби).</p> <p><img src=

Хорошим и часто используемым приближением к \sqrt<2>» width=»» height=»» /> является дробь <img src=<70>» width=»» height=»» />. Несмотря на то, что числитель и знаменатель дроби лишь двузначные целые, оно отличается от реального значения меньше, чем на 1/10000.

Иррациональные числа
γ — ζ(3) — √ 2  — √ 3  — √ 5  — φ — α — e — π — δ
Система счисления Оценка числа √2
Двоичная 1.0110101000001001111…
Десятичная 1.4142135623730950488…
Шестнадцатеричная 1.6A09E667F3BCC908B2F…
Непрерывная дробь 1 + \cfrac<1><2 + \cfrac<1><2 + \cfrac<1><2 + \cfrac<1><2 + \ddots>>>>» width=»» height=»» /></td> </tr> </table> <table > <tr> <h3>Содержание</h3> <h3>История</h3> <p><img src=

Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800—1600 до н. э.) даёт приближённое значение \sqrt<2>» width=»» height=»» /> в четырёх шестидесятеричных цифрах, что составляет 8 десятичных цифр:</p> <p><img src= <60>+ \frac<51> <60^2>+ \frac<10> <60^3>= 1.41421\overline<296>.» width=»» height=»» />

Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, Шульба-сутры (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:

1 + \frac<1> <3>+ \frac<1> <3 \cdot 4>— \frac<1> <3 \cdot4 \cdot 34>= \frac<577> <408>\approx 1.414215686.» width=»» height=»» /></p> <p>Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является иррациональным. Мало что известно с определённостью о времени и обстоятельствах этого выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается Гиппасу из Метапонта.</p> <h3>Алгоритмы вычисления</h3> <p>Существует множество алгоритмов для вычисления значения квадратного корня из двух. В результате алгоритма получается приблизительное значение <img src=» width=»» height=»» /> в виде обыкновенной или десятичной дроби. Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных корней. Он состоит в следующем:

a_<n+1>= \frac<a_n + \frac<2><a_n>><2>=\frac<a_n><2>+\frac<1><a_n>. » width=»» height=»» /></p> <p>Чем больше повторений в алгоритме (то есть, чем больше «n»), тем лучше приближение квадратного корня из двух. Каждое повторение приблизительно удваивает количество правильных цифр. Приведём несколько первых приближений:</p> <ul> <li>3/2 = <b>1</b>.5</li> <li>17/12 = <b>1.41</b>6…</li> <li>577/408 = <b>1.41421</b>5…</li> <li>665857/470832 = <b>1.41421356237</b>46…</li> </ul> <p><img loading=

В 1997 году Ясумаса Канада вычислил значение √2 до 137,438,953,444 десятичных знаков после запятой. В феврале 2007 года рекорд был побит: Шигеру Кондо вычислил 200 миллиардов десятичных знаков после запятой в течение 13 дней и 14 часов, используя процессор 3.6 GHz с 16 ГБ ОЗУ. Среди математических констант только было вычислено более точно.

Свойства квадратного корня из двух

Половина √2 приблизительно равна 0.70710 67811 86548; эта величина даёт в геометрии и тригонометрии координаты единичного вектора,образующего угол 45° с координатными осями:

\frac<\sqrt<2>> <2>= \sqrt<\frac<1><2>> = \frac<1><\sqrt<2>> = \cos(45^\circ) = \sin(45^\circ).» width=»» height=»» /></p> <p>Одно из интересных свойств √2 состоит в следующем:</p> <p> <img src=— 1>> = \sqrt <2>+ 1″ width=»» height=»» />.Потому что (\sqrt<2>+1)(\sqrt<2>-1)=2-1=1.» width=»» height=»» /></p> <p>Это является результатом свойства серебряного сечения.</p> <p>Другое интересное свойство √2:</p> <p><img src=>> = 2.\, » width=»» height=»» />

Квадратный корень из двух может быть выражен в мнимых единицах i используя только квадратные корни и арифметические операции:

\frac<\sqrt<i>+i \sqrt<i>><i>» width=»» height=»» /> и <img src=-i \sqrt<-i>><-i>.» width=»» height=»» />

Квадратный корень из 2 является единственным числом, отличным от 1, чья бесконечная тетрация равна его квадрату.

\sqrt<2>^ <\sqrt<2>^ <\sqrt<2>^ <\ \cdot^ <\cdot^ \cdot>>>> = 2″ width=»» height=»» /></p> <p>Квадратный корень из двух может быть также использован для приближения <i>π</i>:</p> <p><img src=>>> \to \pi\text< as >m \to \infty\, » width=»» height=»» />

С точки зрения высшей алгебры, \sqrt<2>» width=»» height=»» /> является корнем многочлена <img loading=и поэтому является целым алгебраическим числом. Множество чисел вида a+b\sqrt<2>» width=»» height=»» />, где <img src=

a, b» width=»» height=»» /> — рациональные числа, образует алгебраическое поле. Оно обозначается \mathbb<Q>[\sqrt<2>]» width=»» height=»» /> и является подполем поля вещественных чисел.</p> <h3>Доказательство иррациональности</h3> <p>Применим доказательство от противного: допустим, <img src=» width=»» height=»» /> рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби \frac<m><n>» width=»» height=»» />, где <img loading=и n— целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

\sqrt<2>= \frac<m> <n>\Rightarrow 2 = \frac<m^2> <n^2>\Rightarrow m^2 = 2n^2″ width=»» height=»» />.</p> <p>Отсюда следует, что <img loading=чётно, значит, чётно и m. Пусть m=2r, где rцелое. Тогда

(2r)^2=2n^2 \Rightarrow n^2=2r^2

Следовательно, n^2чётно, значит, чётно и n. Мы получили, что mи nчётны, что противоречит несократимости дроби \frac<m><n>» width=»» height=»» />. Значит, исходное предположение было неверным, и <img src=» width=»» height=»» /> — иррациональное число.

Непрерывная дробь

Квадратный корень из двух может быть представлен в виде непрерывной дроби:

 \!\ \sqrt<2>= 1 + \cfrac<1><2 + \cfrac<1><2 + \cfrac<1><2 + \cfrac<1><2 + \ddots>>>>. » width=»» height=»» /></p> <p>Подходящие дроби данной непрерывной дроби дают приближённые значения, быстро сходящиеся к точному квадратному корню из двух. Способ их вычисления прост: если обозначить предыдущую подходящую дробь <img src=» width=»» height=»» />, то последующая имеет вид \frac <m+2 n><m+n>» width=»» height=»» />. Скорость сходимости здесь меньше, чем у метода Ньютона, но вычисления гораздо проще. Выпишем несколько первых приближений:</p> <p><img src=<2>; \ \frac <7><5>; \ \frac <17><12>; \ \frac <41><29>; \ \frac <99><70>; \ \frac <239><169>; \ \frac <577><408>; \ \frac <1393><985>; \ \frac <3363> <2378>\dots » width=»» height=»» />

Квадрат последней приведенной дроби равен (округлённо) 2,000000177.

Размер бумаги

Квадратный корень из двух является пропорцией формата бумаги ISO 216. Соотношение сторон таково, что при разрезании листа пополам параллельно его короткой стороне получатся два листа той же пропорции.

Вычислить квадратный корень из числа

Квадратный корень из числа

Необходимо произвести сложные расчеты, а электронного вычислительного устройства под рукой не оказалось? Воспользуйтесь онлайн программой — калькулятором корней. Она поможет:

  • найти квадратные или кубические корни из заданных чисел;
  • выполнить математическое действие с дробными степенями.
Число знаков после запятой:

Что такое квадратный корень

Корень n степени натурального числа a — число, n степень которого равна a (подкоренное число). Обозначается корень символом √. Его называют радикалом.

Каждое математическое действие имеет противодействие: сложение→вычитание, умножение→деление, возведение в степень→извлечение корня.

Квадратным корнем из числа a будет число, квадрат которого равен a. Из этого следует ответ на вопрос, как вычислить корень из числа? Нужно подобрать число, которое во второй степени будет равно значению под корнем.

Обычно 2 не пишут над знаком корня. Поскольку это самая маленькая степень, а соответственно если нет числа, то подразумевается показатель 2. Решаем: чтобы вычислить корень квадратный из 16, нужно найти число, при возведении которого во вторую степень получиться 16.

Проводим расчеты вручную

Вычисления методом разложения на простые множители выполняется двумя способами, в зависимости от того, какое подкоренное число:

1.Целое, которое можно разложить на квадратные множители и получить точный ответ.

Квадратные числа — числа, из которых можно извлечь корень без остатка. А множители — числа, которые при перемножении дают исходное число.

25, 36, 49 — квадратные числа, поскольку:


Получается, что квадратные множители — множители, которые являются квадратными числами.

Возьмем 784 и извлечем из него корень.

2.Неделимое. Его нельзя разложить на квадратные множители.

Такие примеры встречаются чаще, чем с целыми числами. Их решение не будет точным, другими словами целым. Оно будет дробным и приблизительным. Упростить задачу поможет разложение подкоренного числа на квадратный множитель и число, из которого извлечь квадратный корень нельзя.

2,7 x 2,7 = 7,2. Не подходит, так как 7,2>7, берем меньшее 2,6 x 2,6 = 6,76. Оставляем, ведь 6,76

Как вычислить корень из сложного числа? Тоже методом оценивая значения корня.

При делении в столбик получается максимально точный ответ при извлечении корня.

— целую часть справа налево;

Извлеките из этого числа корень — √n. Запишите полученный результат сверху справа, а квадрат этого числа — снизу справа.

А верхнее число справа удвойте и запишите справа выражение 4_х_=_.

Как думаете сколько времени вы потратите на такие расчеты? Сложно, долго, запутанно. Тогда почему бы не упростить себе задачу? Воспользуйтесь нашей программой, которая поможет произвести быстрые и точные расчеты.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.