0 в степени 0 почему равен 1
Перейти к содержимому

0 в степени 0 почему равен 1

  • автор:

0 в степени 0 — чему равен? Почему? Как объяснить?

И вот если подставишь в задаче параметр, который приводит к виду 0 в степени 0, то нужно преобразовать так, что этой неопределённости не стало, а появилось конкретное выражение.Преобразуется, а потом решается с помощью теории пределов.

На многих форумах по математике говорят, что в одних учебниках пишется. что 0 в степени 0 равно 0, а в других равно 1.И не всегда со знанием элементарной математики возможно это постичь-это высшая математика.

Так вот 0 в степени 0 считается неопределённостью, но более редкого вида.

Когда-то решала эти пределы запросто.А с-час почитала форум про этот 0^(0) всё повторять нужно.

В общем встретится такое выражение рассматривать в частности нужно.

Российские книжные издания признают ноль в степени ноль как неопределенность, то есть то, что как бы не имеет смысла. В зарубежной литературе приводятся примеры, это ноль в нулевой степени это единица, так как мы имеем дело с натуральным числом. И любое из них, если возвести в ноль дают единицу. И все же большинство ученых стараются воздерживаться от такого возведения по причине неопределенности результата.

Математика, в классическом виде, имеет немало неразрешимых проблем, апорий, парадоксов. Например такие как проблема нуля и бесконечности. В таких случаях учёные приходят к условному соглашению, что бы избежать разногласия в учебных пособиях для среднего образования.

Тем не менее, в научном мире нет единства, в данном случае, – в вопросе чему равно: ноль в степени ноль. Среди одних учёных, есть соглашение считать 0^0=1, среди других – результат 0^0 называют "неопределённостью".

Давайте, ради курьёза, решим задачу:

Было ноль долларов ($0), то есть совсем не было денег. Это число – ноль – возведём в нулевую степень. Столько получится долларов?

Три ответа получатся:

  • 0^0=1 – один доллар из их нуля (похоже на магию)
  • 0^0= неопределённость.
  • 0^0=0, как было ноль так и осталось.

На мой взгляд, третий вариант самый правильный.

Попробуем рассмотреть такой вариант:

Мы знаем, что любое число, кроме ноля, деленное на себя, равно 1 . Поэтому верным будет: 2/2=1.

Теперь, используя правило экспоненты, попробуем переписать левую часть этого уравнения: 2 ^1-1=1, для наглядности:

Т.о., получается, что 2^0=1

Это верно для любого числа, кроме ноля.

Но что относительно 0^0=?

Здесь все становится сложно. Вышеупомянутый метод начинает тормозить, поскольку, как известно, делить на ноль нельзя.

Однако ничто не мешает нам составить такое уравнение: 2/0=х, или 2=х*0

Какое значение верно для х?

Никакие, поскольку любое число, равное нулю, равно нулю, и никогда не может равняться 2. Поэтому мы говорим, что деление на ноль не определено . Возможного решения нет.

Теперь давайте посмотрим пример, когда 0/0=х. Перепишем его аналогично: 0=х*0.

Здесь мы сталкиваемся с совершенно другой ситуацией. Решение для x может быть ЛЮБЫМ реальным числом!

Поэтому 0^0 не определен.

Ноль в степени ноль считается неопределенностью. Связано это с тем, что если мы приближаемся к нолю со стороны основания (показатель считаем равным нолю), то получаем единицу. А если мы основание положим равным нолю, а показатель начнем приближать к нолю, то само выражение будет стремиться к нолю. То есть имеем именно неопределенность.

В русскоязычной научной и учебной литературе это выражение считается неопределенностью. Хотя есть точка зрения некоторых иностранных математиков в некоторых работах считать неопределенность ноль в степени ноль равной единице. Но это все равно в некотором смысле считается условностью и признается не всеми математиками. Большинство математиков во всем мире считает это выражение неопределенностью.

Better Explained: Как понять ноль в нулевой степени?

В школе нас учат, что степень — это многократное умножение. Это прекрасно, но становится совсем непонятным, когда мы встречаем 3 1,5 или 0 0 .

Как мы можем повторить ноль нулевое количество раз и получить единицу? Всё дело в том, что наш подход к степени числа как к многократному умножению неверен. Нам нужно сменить парадигму. Давайте посмотрим, как мы привыкли воспринимать арифметические действия, и что они на самом деле из себя представляют.

Сложение

Как мы привыкли думать: это повторяющийся счёт

Как на самом деле: перемещение

Умножение

Как мы привыкли думать: это многократное сложение

Как на самом деле: масштабирование

Степень

Как мы привыкли думать: многократное умножение

Как на самом деле: рост с течением времени

Смотрим на арифметику как на преобразование

Отойдём на шаг назад. Как мы изучаем арифметику? Нас учат, что числа — это некое количество единиц; сложение — это прибавление одного количества единиц к другому количеству единиц (3+4 = 7), а умножение — это многократное сложение (2*3 = 2+2+2 = 6).

Многократное сложение прекрасно работает с круглыми числами, но что вы скажете про сложение чисел вроде -1 или 2²?

Очевидно, что эта модель восприятия неполноценна. Числа — это не просто единицы чего-то; гораздо лучше представлять их как некие точки с определённым положением на линии. Положение может быть отрицательным (-1), либо между другими числами (2²), либо в другом измерении (i).

Таким образом арифметика предстаёт перед нами как способ преобразовывать число. Сложение становится перемещением (+3 — это перемещение на 3 единицы вправо); умножение становится масштабированием (*3 — это увеличить число в три раза).

А что же такое тогда степень числа?

Познакомьтесь с Экпандотроном™

Это Экспандотрон 3000. Он выглядит как достаточно потрёпанная микроволновка, но вместо подогрева пищи она занимается ростом чисел. Просто положите число внутрь и проделайте несколько простых операций.

  • Начните с 1
  • Установите желаемый показатель «Роста» за одну секунду (2х, 3х, 10,3х и т.д.)
  • Установите желаемый показатель «Времени» в секундах
  • Нажмите кнопку START

Вуаля! После звукового сигнала достаём наше новенькое готовое число. Например, мы хотим изменить 1 на 9. Что нам нужно сделать?

  • Поместите 1 в Экспандотрон
  • Установите «Рост» на 3х, а «Время» на 2 секунды
  • Нажмите кнопку START

Что мы видим? Мы видим, как число начинает преобразовываться: 1; 1,1; 1,2. По окончании первой секунды оно уже выглядит как 3 и продолжает меняться: 3,1; 3,5; 4,0; 6,0; 7,5. И по окончании второй секунды оно превратилось в 9.

В математическом представлении Экспандотрон (или показательная функция) делает для нас следующее:

Например, 3 2 = 9/1. Основанием является то количество раз, в которое нам нужно вырастить число (х3), а степенью — количество времени (2). Формула типа 2 n означает «Используйте свой Экспандотрон на мощности х2 в течение n секунд».

Работу Экспандотрона мы всегда начинаем с 1, чтобы посмотреть, как он меняет одну единицу. Если мы хотим посмотреть, что случится с 3 в Экспандотроне, мы просто масштабируем конечный результат. Например:

Начните с 1 и умножьте на двойку в третьей степени: 1*2 3 = 1 * 2 * 2 * 2 = 8

Начните с 3 и умножьте на двойку в третьей степени: 3*2 3 = 3 * 2 * 2 * 2 = 24

Каждый раз, когда вы видите простую степень, вы начинаете с 1.

Идём к пониманию масштабирующего множителя

При умножении мы можем просто указать конечный масштабирующий множитель. Хотите число в 8 раз больше? Умножаем на 8. Готово.

Степени более капризны в обращении. Вот как они работают:

Вы: Хочу вырастить вот это число.

Экспандотрон: Ок, давай его сюда.

Вы: И насколько большим оно станет?

Экспандотрон: Пффф, без понятия. Давай посмотрим.

Вы: Посмотрим? Я думал, ты зна.

Экспандотрон: Тихо! Оно растёт! Растёт!

Вы: .

Экспандотрон: Готово! Это шедевр!

Вы: Я могу идти?

Экспандотрон не прямолинеен. Вы смотрите на него, но не знаете, что он сделает. Что значит 3 10 ? Степень числа вместо простого масштабирования заставляет нас почувствовать всеми органами процесс роста.

Это может звучать раздражающе неопределённо, но знаете, что? Большинство явлений природы заканчиваются неизвестно чем!

Как думаете, бактерия действительно планирует делиться каждые 14 часов? Нет, она просто питается забытым вами в холодильнике хлебом и растёт так быстро, как только может. Чтобы предсказать поведение этой бактерии, мы можем лишь использовать значения темпа её роста и длительности роста — и только потом мы получим конечное значение.

Иными словами, степень числа — это такой способ сказать «Начинаем с таких условий, изменяем их и смотрим, к чему мы придём». Этим и занимается наш Экспандотрон.

Идём к пониманию дробных степеней

Может ли Экспандотрон помочь нам осознать степени ещё глубже? Ну, к примеру, что означает 2 1,5 ?

Очень легко запутаться, если мы думаем о двойке в полуторной степени привычным способом — как о многократном умножении. Но в Экспандотроне всё просто: 1,5 — это всего лишь проведённое в нём время.

  • 2 1 — это одна секунда в машине (двукратный рост)
  • 2 2 — это две секунды в машине (четырёхкратный рост)

2 1,5 означает 1,5 секунды в машине, значит, этот рост окажется где-то между двукратным и четырёхкратным.

Умножение степеней

Что если мы захотим прогнать два цикла роста один за другим? Ну, например, мы используем машину в течение 2 секунд, а потом ещё 3 секунды на той же мощности:

Представьте самую обычную микроволновку. Разве это не будет самый обычный цикл длительностью в 5 секунд? Будет. Здесь происходит то же самое — раз уже мощность (основание) остаётся одинаковой, мы просто складываем время:

Квадратные корни

Продолжим. Предположим, мы выбрали мощность а и устанавливаем рост в течение 3 секунд:

Неплохо. Как будет выглядеть рост в течение половины этого времени? Логично, что 1,5 секунды.

А если мы проделаем то же самое два раза?

частичный рост * частичный рост = полный рост

Смотрим на это уравнение и видим, что «частичный рост» — это квадратный корень из значения полного роста. А если мы разделим время на три части?

частичный рост * частичный рост * частичный рост = полный рост

А вот и кубический корень! Это даёт нам интуитивное понимание того, почему деление степеней даёт нам корни: мы разбиваем время на равные доли.

Отрицательные степени

А как быть с отрицательными степенями? Отрицательные степени для нас будут значить обратный отсчёт во времени. Если движение вперёд во времени приводит нас к росту, движение назад, скорее всего, выльется в уменьшение числа.

Это значит следующее: «Секунду назад у нас была половина от текущего количества (1/2 1 ). Любой график экспоненциального роста строится именно так.

Выберите точку на шкале времени, например, 3,5 секунды (2 3,5 = 11,3). Через секунду мы удвоим наше количество (2 4,5 = 22,5). А секунду назад у нас была всего лишь половина от текущего количества (2 2,5 = 5,65).

Приходим к нулевой степени

Теперь самое интересное: что означает 3 0 ? А всё очень просто. Мы устанавливаем нашу микроволновку на мощность х3 и используем её в течение. 0 секунд. Это значит, что мы её просто не запускаем!

Значит, масштабирующий множитель равен единице, значит, никаких изменений с нашим числом не происходит. Новое число будет равняться исходному числу, то есть (вы же помните, что исходное число у нас единица?) единице. Масштабирования не происходит.

Приходим к нулевому основанию

А что мы делаем с 0 x ? Что ж, наша мощность в этом случае будет х0, а значит, после секунды времени Экспандотрон превращает число в ноль. Раз мы уже аннулировали число, совершенно неважно, сколько времени оно пробудет в машине — оно так и останется нулём.

Приходим к нулевому основанию в нулевой степени

Вот он, великий и ужасный 0 0 . И снова нас спасает Экспандотрон.

0 в степени 0 означает рост х0 в течение 0 секунд. Хоть мы и планировали аннулировать число, мы так и не запустили машину. Новое число равно исходному числу (то есть в наш Экспандотрон мы положили единицу), масштабирующий множитель тоже равен единице.

Конечно, Экспандотрона на самом деле не существует (а жаль!). Конечно, числа на самом деле не выстраиваются в линейку — они всего лишь один из множества способов взглянуть на мир.

Что даёт нам Экспандотрон? Он помогает нам не запинаться о кажущиеся препятствия вроде 2 1,5 или 0 0 . Как только мы начинаем понимать основные принципы роста, постепенно мы начнём дружить и с формулой Эйлера.

Почему 0 в степени 0 равно 1?

Ноль в степени ноль является неопределенным выражением.
Это выражение может быть равно чему угодно в зависимости от скорости направления предельного перехода к нулю.

Однако, некоторые авторы предлагают принять соглашение о том, что 0^0=1. В пользу подобного варианта приводятся несколько доводов. Например, разложение в ряд экспоненты и другие.

Дискуссия по поводу определения продолжается, по крайней мере, с начала XIX века и ДО СИХ ПОР. В начале 19-го века математики считали, что 0^0=1, но в 1821 году Коши причислил 0^0 к неопределённостям, таким, как, например, 0/0.

Сайт MathWorld считает, что 0^0 считается неопределённым, несмотря на то, что соглашение 0^0=1 позволяет в некоторых случаях упростить запись некоторых формул. В России Большая российская энциклопедия, Большая советская энциклопедия, Математический энциклопедический словарь, Справочник по элементарной математике Выгодского, школьные учебники и другие источники однозначно характеризуют 0^0 как выражение, не имеющее смысла (неопределённость).

Интересно, что в компьютерных языках программирования, при использовании функции возведения в целую степень, 0^0 всегда дает результат равный 1. Но такой же результат будет не только для нуля, но и для NaN и для бесконечность. То есть, это чисто так устроена функция возведения в целую степень.
А вот функция возведения в нецелую степень уже дает результат NaN, то есть неопределенность.
А в тех языках программирования, где нет разделения функции возведения в степень на функцию для целого и вещественного показателя, там всё по разному. Например, в C++ выдает единицу.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.