Задачка про треугольники
Треугольник остроугольный, если квадрат большей стороны меньше суммы квадратов двух других сторон (теорема косинусов) .
Треугольник неостроугольный, если квадрат большей стороны не меньше суммы квадратов двух других сторон.
Предположим, остроугольных нет среди наших треугольников.
Пусть a1 <= a2 <= a3 <= a4 <=a5.
Тогда из a4, а3, а2 составляется неостроугольный треугольник
а4^2 >= a3^2+a2^2
из a3, а2, а1 составляется неостроугольный треугольник
а3^2 >= a1^2+a2^2
из a3, а4, а5 составляется неостроугольный треугольник
а5^2 >= a3^2+a4^2
Получаем
a5^2 >= a3^2+(a3^2+a2^2)=2a3^2+a2^2 >=2(a1^2+a2^2)+a2^2=2a1^2+3a2^2
a5^2 >= 2a1^2+3a2^2 = (a1^2+a2^2)+a1^2+2a2^2 >= 2a1*a2+ a1^2+2a2^2 > 2a1*a2+ a1^2+a2^2=
=(a1+a2)^2
То есть a5 > a1+a2 и из отрезков a5, a1, a2 нельзя составить треугольник (не выполняется неравенство треугольника)
Предположение о том, что среди наших треугольников нет остроугольных, привело к противоречию.