В урну содержащую 2 шара опущен белый шар после чего из нее наудачу извлечен 1 шар

В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Задача 28715 90. В урну, содержащую п шаров, опущен.

90. В урну, содержащую п шаров, опущен белый шар, после чего наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

Решение

Задача на формулу полной вероятности.

Рассмотрим следующие гипотезы
( связаны с первоначальным составом урны):
Н_(0) — ''в урне нет белых шаров''
H_(1) — '' в урне один белый шар''
.
H_(n)-''в урне n белых шаров''

Всего (n+1) гипотеза.
Гипотезы составляют полную группу несовместных событий, сумма вероятностей этих событий равна 1.
Все гипотезы равновероятны, значит
p(H_(0))=p(H_(1))=. p(H_(n))=1/(n+1)

Cобытие А — ''из урны извлечен белый шар''
Событие A/H_(0) — ''из урны извлечён белый шар, при условии, что в урне не было белых шаров, но в нее добавили один белый, значит там (n+1) шар и среди них один белый шар''
p(A/H_(0))=1/(n+1)

A/H_(1) — ''в урне был один белый шар, после того как в нее добавили один белый, там стало два белых шара. Из урны, содержащей (n+1) шар, среди который два белых, извлекли белый''
p(A/H_(1))=2/(n+1)

.
A/H_(n) — в урне n белых шаров, после того как нее добавили еще один белый, там (n+1) белых шаров. Из нее извлекли белый шар''
р(А/Н_(n))=(n+1)/(n+1)=1

По формуле полной вероятности
p(A)=p(A/H_(0))*p(H_(0)) + p(A/H_(1))*p(H_(1)) + . +
+p(A/H_(n))*p(H_(n))=

Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Пусть B₁, B₂,…, B_n – попарно несовместные события (гипотезы) и А – событие, которое может произойти только совместно с одним из них.

Пусть, кроме того, нам известны Р(B_i) и Р(А/B_i) (i = 1, 2, …, n).

В этих условиях справедливы формулы:

Формула (1) называется формулой полной вероятности. По ней вычисляется вероятность события А (полная вероятность).

Формула (2) называется формулой Байеса. Она позволяет произвести пересчет вероятностей гипотез, если событие А произошло.

При составлении примеров удобно считать, что гипотезы образуют полную группу.

Задача 1. В корзине яблоки с четырех деревьев одного сорта. С первого – 15% всех яблок, со второго – 35%, с третьего – 20%, с четвертого – 30%. Созревшие яблоки составляют соответственно 99%, 97%, 98%, 95%.

а) Какова вероятность того, что наугад взятое яблоко окажется спелым (событие А).

б) При условии, что наугад взятое яблоко оказалось спелым, вычислить вероятность того, что оно с первого дерева.

Решение. а) Имеем 4 гипотезы:

B₁ – наугад взятое яблоко снято с 1-го дерева;

B₂ – наугад взятое яблоко снято с 2-го дерева;

B₃ – наугад взятое яблоко снято с 3-го дерева;

B₄ – наугад взятое яблоко снято с 4-го дерева.

Их вероятности по условию: Р(B₁) = 0,15; Р(B₂) = 0,35; Р(B₃) = 0,2; Р(B₄) = 0,3.

Условные вероятности события А:

Р(А/B₁) = 0,99; Р(А/B₂) = 0,97; Р(А/B₃) = 0,98; Р(А/B₄) = 0,95.

Вероятность того, что наудачу взятое яблоко окажется спелым, находится по формуле полной вероятности:

б) Формула Байеса для нашего случая имеет вид:

Задача 2. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

Решение. Обозначим через А событие – извлечен белый шар. Возможны следующие предположения (гипотезы) о первоначальном составе шаров: B₁ – белых шаров нет, В₂ – один белый шар, В₃ – два белых шара.

Поскольку всего имеется три гипотезы, и сумма вероятностей гипотез равна 1 (так как они образуют полную группу событий), то вероятность каждой из гипотез равна 1/3,т.е.

P(B₁) = P(B₂) = P(B₃) = 1/3.

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне не было белых шаров, Р(А/B₁)=1/3. Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне был один белый шар, Р(А/B₂)=2/3. Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне было два белых шара Р(А/B₃)=3/3=1.

Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности:

Задача 3. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

Решение. Обозначим через А событие – деталь отличного качества. Можно сделать два предположения: B₁ – деталь произведена первым автоматом, причем (поскольку первый автомат производит вдвое больше деталей, чем второй) Р(А/B₁) = 2/3; B₂ – деталь произведена вторым автоматом, причем P(B₂) = 1/3.

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом, Р(А/B₁)=0,6.

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена вторым автоматом, Р(А/B₁)=0,84.

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна

Р(А)=Р(B₁)∙Р(А/B₁)+Р(B₂)∙Р(А/B₂)=2/3·0,6+1/3·0,84 = 0,68.

Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Бейеса равна

Задача 4. Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равны 20, 15, 10. Из выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Детали возвращают в партию и вторично из этой же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.

Решение. Обозначим через А событие – в каждом из двух испытаний (с возвращением) была извлечена стандартная деталь. Можно сделать три предположения (гипотезы): B₁ – детали извлекаются из первой партии, В₂– детали извлекаются из второй партии, В₃ – детали извлекаются из третьей партии.

Детали извлекались наудачу из взятой партии, поэтому вероятности гипотез одинаковы: P(B₁) = P(B₂) = P(B₃) = 1/3.

Найдем условную вероятность Р(А/B₁), т.е. вероятность того, что из первой партии будут последовательно извлечены две стандартные детали. Это событие достоверно, т.к. в первой партии все детали стандартны, поэтому Р(А/B₁) = 1.

Найдем условную вероятность Р(А/B₂), т.е. вероятность того, что из второй партии будут последовательно извлечены (с возвращением) две стандартные детали: Р(А/B₂)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.

Найдем условную вероятность Р(А/B₃), т.е. вероятность того, что из третьей партии будут последовательно извлечены (с возвращением) две стандартные детали: Р(А/B₃) = 10/20 · 10/20 = 1/4.

Искомая вероятность того, что обе извлеченные стандартные детали взяты из третьей партии, по формуле Бейеса равна