В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Формула полной вероятности
Пусть совокупность событий H1,H2,…,Hn — образуют полную группу событий, а также их объединение даёт достоверное событие и они попарно несовместные. В случае наступления каждого из событий Hi, событие А может настать с некоторой условной вероятностью PHi·(A)
События Hi называют гипотезами.
Запишем формулу полной вероятности:
или эту формулу можно представить в следующем виде:
Пример 1
В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.
Решение
А — «мишень поражена»
H1 : «выстрел из винтовки с оптическим прицелом»
H2 : «выстрел из винтовки без оптического прицела»
Р(H1)=3/5=0.6, Р(H2) =2/5=0.4
РH1(А)=0.95, РH2(А)=0.7
Итак, по формуле полной вероятности находим вероятность
Пример 2
В вычислительной лаборатории имеются шесть клавишных автоматов и четыре полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95; для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент производит расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.
Решение
А — «до конца расчета машина не выйдет из строя»
H1 — «клавишный автомат не выйдет из строя»
H2 — «полуавтомат не выйдет из строя»
Из условия задачи получаем
Условные вероятности равны
РH1(А)=0.95, РH2(А)=0.8
Воспользуемся формулу полной вероятности, имеем:
=0,6·0,95+0,4·0,8=0,89
Пример 3
Экзамен сдают студенты трех групп. В первой группе 7, во второй 6 и в третьей 8 студентов. Студент из первой группы сдаст экзамен с вероятностью 0.9, из второй группы с вероятностью 0.8 и из третьей группы с вероятностью 0.7. С какой вероятностью сдаст экзамен случайно вызванный студент?
Решение
Cобитые А — «случайно вызванный студент сдаст экзамен»
Н1: студент из 1-ой группы
Н2: студент из 2-ой группы
Н3: студент из 3-ей группы
По формуле полной вероятности получаем:
=7/21·0.9+6/21·0.8+8/21·0.7=0.795
Пример 4
В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.
Решение
A— «наудачу извлечённый из двух выбранных шаров — белый шар»
H1: «шар извлечен из первой урны»
H2: «шар извлечен из второй урны»
По условию задачи, следует, что из каждой урны извлекается одинаковое количество шаров, тогда получаем вероятности
Найдем условные вероятности того, что из первой урны
и второй урны извлечен белый шар
Применяя формулу полной вероятности, найдем вероятность того, что взят белый шар
=1/2·4/5+1/2·1/5=1/2
3867
Формула полной вероятности и формулы Байеса
Рассмотрим зависимое событие , которое может произойти лишь в результате осуществления одной из несовместных гипотез , которые образуют полную группу. Пусть известны их вероятности и соответствующие условные вероятности . Тогда вероятность наступления события равна:
Эта формула получила название формулы полной вероятности. В учебниках она формулируется теоремой, доказательство которой элементарно: согласно алгебре событий, (произошло событие ипосле него наступило событие или произошло событие и после него наступило событие илипроизошло событие и после него наступило событие или …. или произошло событие и после него наступило событие ). Поскольку гипотезы несовместны, а событие – зависимо, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий (первый шаг) и теореме умножения вероятностей зависимых событий (второй шаг):
Имеются три одинаковые урны. В первой урне находятся 4 белых и 7 черных шаров, во второй – только белые и в третьей – только черные шары. Наудачу выбирается одна урна и из неё наугад извлекается шар. Какова вероятность того, что этот шар чёрный?
Решение: рассмотрим событие – из наугад выбранной урны будет извлечён чёрный шар. Данное событие может произойти в результате осуществления одной из следующих гипотез:
– будет выбрана 1-ая урна;
– будет выбрана 2-ая урна;
– будет выбрана 3-я урна.
Так как урна выбирается наугад, то выбор любой из трёх урн равновозможен, следовательно:
Обратите внимание, что перечисленные гипотезы образуют полную группу событий, то есть по условию чёрный шар может появиться только из этих урн, а например, не прилететь с бильярдного стола. Проведём простую промежуточную проверку:
, ОК, едем дальше:
В первой урне 4 белых + 7 черных = 11 шаров, по классическому определению:
– вероятность извлечения чёрного шара при условии, что будет выбрана 1-ая урна.
Во второй урне только белые шары, поэтому в случае её выбора появления чёрного шара становится невозможным: .
И, наконец, в третьей урне одни чёрные шары, а значит, соответствующая условная вероятность извлечения чёрного шара составит (событие достоверно).
По формуле полной вероятности:
– вероятность того, что из наугад выбранной урны будет извлечен чёрный шар.
Ответ:
В тире имеются 5 различных по точности боя винтовок. Вероятности попадания в мишень для данного стрелка соответственно равны и 0,4. Чему равна вероятность попадания в мишень, если стрелок делает один выстрел из случайно выбранной винтовки?
В пирамиде 5 винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок производит один выстрел из наудачу взятой винтовки.
Решение: в этой задаче количество винтовок точно такое же, как и в предыдущей, но вот гипотезы всего две:
– стрелок выберет винтовку с оптическим прицелом;
– стрелок выберет винтовку без оптического прицела.
По классическому определению вероятности: .
Контроль:
Рассмотрим событие: – стрелок поразит мишень из наугад взятой винтовки.
По условию: .
По формуле полной вероятности:
Ответ: 0,85
На практике вполне допустим укороченный способ оформления задачи, который вам тоже хорошо знаком:
Решение: по классическому определению: – вероятности выбора винтовки с оптическим и без оптического прицела соответственно.
По условию, – вероятности попадания в мишень из соответствующих типов винтовок.
По формуле полной вероятности:
– вероятность того, что стрелок поразит мишень из наугад выбранной винтовки.
Ответ: 0,85
Следующая задача для самостоятельного решения:
Двигатель работает в трёх режимах: нормальном, форсированном и на холостом ходу. В режиме холостого хода вероятность его выхода из строя равна 0,05, при нормальном режиме работы – 0,1, а при форсированном – 0,7. 70% времени двигатель работает в нормальном режиме, а 20% – в форсированном. Какова вероятность выхода из строя двигателя во время работы?