В какой пятиугольник можно вписать окружность

Можно ли вписать окружность в пятиугольник ?

Рассмотрим все пятиугольники, последовательные стороны которых равны 2, 3, 4, 5 и 6.

Есть ли среди них такой, что в него можно вписать окружность?

Похоже, что нельзя. Прилагаю рисунок. Пятиугольник делится радиусами на 5 четырехугольников.
Я постарался нарисовать так, чтобы стороны были каждая больше предыдущей.
Выделенные жирные линии равны между собой, причем на всех 4-угольниках.
Получается: сторона 2 см делится на куски а и 2 — а, сторона 3 см — на а и 3 — а,
сторона 4 см — на 3 — а и 4 — (3 — а) = 1 + а, сторона 5 см — на 1 + а и 5 — (1 + а) = 4 — а,
сторона 6 см — на 4 — а и 6 — (4 — а) = 2 + а.
Получается, что 2 — а = 2 + а, а это невозможно, если а > 0, то есть решений нет.

Правильный пятиугольник

Правильный пятиугольник (или пентагон от греч. πενταγωνον) — геометрическая фигура, правильный многоугольник с пятью сторонами.

Свойства

У правильного пятиугольника угол равен

Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по любой из формул:

Высота правильного пятиугольника:

Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов.
Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению, то есть числу 1 + 5 2 >><2>>> .

Поэтому радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности, высоту и площадь правильного пятиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

Сторона:

Радиус вписанной окружности:

Радиус описанной окружности:

Диагональ:

Площадь:

Правильным пятиугольником невозможно заполнить плоскость без промежутков (см. также Паркет)
Отношение площадей правильного пятиугольника и другого правильного пятиугольника, образованного пересечением диагоналей исходного (середина пятиугольной звезды)

Построение

Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» около 300 года до н. э.

Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности:

Построение правильного пятиугольника

Альтернативный метод построения правильного многоугольника с помощью линейки и циркуля

Получение с помощью полоски бумаги

Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги.

В природе

Исследования формирования водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100—140 K показали, что сначала на поверхности возникают цепочки молекул шириной около 1 нм не гексагональной, а пентагональной структуры. Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как эта мушмула германская. Пентасимметрией обладают иглокожие (например морские звёзды) и некоторые растения. См. также Закономерности в природе.

Пятиугольный узел на полоске бумаги

Иглокожие, например морские звёзды, обладают пентасимметрией

Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как мушмула германская

Правила для многоугольников которые можно вписать в окружность и описать окружность вокруг них

Для треугольника всегда возможны и вписанная окружность и описанная окружность.

Для четырехугольника окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон одинаковы. Из всех параллелограммов только в ромб и квадрат можно вписать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.

Вокруг четырехугольника окружность можно описать только если сумма противоположных углов равна 180°. Из всех параллелограммов только около прямоугольника и квадрата можно описать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.

Вокруг трапеции возможно описать окружность или в трапецию можно вписать окружность если трапеция равнобокая.

Центр описанной окружности

Теорема. Центр описанной около треугольника окружности является точкой пересечениясерединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Центр описанной около многоугольника окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого многоугольника.

Центр Вписанная окружность

Определение. Вписанная в выпуклый многоугольник окружность — это окружность, которая касается всех сторон этого многоугольника (то есть каждая из сторон многоугольника является для окружностикасательной).

Центр вписанной окружности лежит внутри многоугольника.

Многоугольник, в который вписана окружность, называется описанным.

В выпуклый многоугольник можно вписать окружность, если биссектрисы всех его внутренних углов пересекаются в одной точке.

Центр вписанной в многоугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.

Центр вписанной окружности равноудален от сторон многоугольника. Расстояние от центра до любой стороны равно радиусу вписанной окружности По свойству касательных, проведённых из одной точки, любая вершина описанного многоугольника равноудалена от точек касания, лежащих на сторонах, выходящих из этой вершины.

В любой треугольник можно вписать окружность. Центр вписанной в треугольник окружности называется инцентром.

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. В частности, в трапецию можно вписать окружность, если сумма её оснований равна сумме боковых сторон.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Около любого правильного многоугольника можно также описать окружность. Центр вписанной и описанной окружностей лежат в центре правильного многоугольника.

Для любого описанного многоугольника радиус вписанной окружности может быть найден по формуле

где S — площадь многоугольника, p — его полупериметр.

Правильный n-угольник — формулы

Формулы длины стороны правильного n-угольника

1. Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности:

a = 2r · tg	180°
n

a = 2r · tg	π
n

2. Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности:

a = 2 R · sin	180°
n

a = 2 R · sin	π
n

Формула радиуса вписанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны:

r = a : (2tg	180°	)
n

r = a : (2tg	π	)
n

Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны:

R = a : (2sin	180°	)
n

R = a : (2sin	π	)
n

Правильный треугольник

Формулы правильного треугольника:

1. Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности: a = 2r √3

2. Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности: a = R√3

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного треугольника через длину стороны:

r =

a√3

4. Формула радиуса описанной окружности правильного треугольника через длину стороны:

R =

a√3

5. Формула площади правильного треугольника через длину стороны:

S =

a 2 √3

6. Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности: S = r 2 3√3

7. Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности:

S =

R 2 3√3

8. Угол между сторонами правильного треугольника: α = 60°

Правильный четырехугольнику — квадрат.

Формулы правильного четырехугольника:

1. Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности: a = 2r

2. Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности: a = R√2

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:

4. Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:

R =

a√2

5. Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны: S = a 2

6. Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности: S = 4 r 2

7. Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности: S = 2 R 2

8. Угол между сторонами правильного четырехугольника: α = 90°

Формулы правильного шестиугольника:

1. Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:

a =

2√3

2. Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности: a = R

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:

r =

a√3

4. Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны: R = a

5. Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны:

S =

a 2 3√3

6. Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности: S = r 2 2√3

7. Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:

S =

R 2 3√3

8. Угол между сторонами правильного шестиугольника: α = 120°

Значение числа (произносится «пи») — математическая константа, равная отношению

длины окружности к длине её диаметра, оно выражается бесконечной десятичной дробью.

Обозначается буквой греческого алфавита «пи». Чему равно число пи? В простых случаях хватает знать первые 3 знака (3,14).

53. Найдем длину дуги окружности радиуса R, отвечающей центральному углу в n°

Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в 1 радиан.

Градусная мера угла в 1 радиан равна:

Так как дуга длиной πR (полуокружность), стягивает центральный угол в 180°, то дуга длиной R, стягивает угол в π раз меньший, т.е.

Так как π = 3,14, то 1 рад = 57,3°

Если угол содержит a радиан, то его градусная мера равна

Обычно при обозначении меры угла в радианах наименование «рад» опускают.

Например, 360° = 2π рад, пишут 360° = 2π

В таблице указаны наиболее часто встречающиеся углы в градусной и радианной мере.

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.