Азот сколько степеней свободы

Азот сколько степеней свободы

• 

2. Степени свободы

Молекулы могут участвовать в разных типах движения: поступательном (любые молекулы), вращательном (двух – и многоатомные), колебательном (двух – и многоатомные).

это число независимых параметров (координат), необходимых для однозначного описания положения тела в пространстве.

Для описания положения в пространстве одноатомной молекулы потребуется всего три координаты, что соответствует тому, что она обладает тремя степенями свободы (см. рис. 1).

Для описания положения в пространстве двухатомной молекулы потребуется учесть способность центра масс этой молекулы двигаться в трёх направлениях (три поступательные степени свободы) и способность вращаться вокруг двух осей, проходящих через центр масс (две вращательные степени свободы). Третья ось, проходящая и через центры атомов двухатомных молекул, не изменяет положения атомов, и потому не рассматривается (на рис. 2 пунктирные оси и фигурные оси).

У трёхатомных или многоатомных молекул их было бы три.

И последнее возможное движение — это колебания атомов относительно центра масс молекулы. Такое движение приводит к изменению расстояния d d . (на рис. 2 показано для одного атома).

Этот тип движения атомов в молекуле «даёт о себе знать» только при температурах выше некоторой характерной температуры (для большинства молекул она составляет примерно `1000` К). При более высокой температуре есть смысл рассматривать эту одну колебательную степень свободы, а при более низкой — считать, что данная степень свободы отсутствует.

Таким образом, для описания положения в пространстве двухатомной молекулы требуется 6 величин:

1) три координаты центра масс (поступательные степени свободы),

2) два угла (вращательные степени свободы) и

В итоге имеем	i = 6 i = 6 при высокой температуре ( T > 1000   К ) (T>1000\;\mathrm К) и
i = 5 i = 5 при низкой температуре ( T < 1000   К ) (T<1000\;\mathrm К) .

Число степеней свободы, подсчитываемое для расчёта энергии, отличается от выше описанного в части колебательного движения.

Число степеней свободы молекулы. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы.

В механике введилось понятие числа степеней свободы: это число независимых переменных (координат), которые полностью определяют положение системы в пространстве. В некоторых задачах молекулу одноатомного газа (рис. 1, а) рассматривают как материальную точку, которой задают три степени свободы поступательного движения. При этом не учитывается энергия вращательного движения.

В механике молекула двухатомного газа в первом приближении считается совокупностью двух материальных точек, которые жестко связанны недеформируемой связью (рис. 1, б). Данная система кроме трех степеней свободы поступательного движения имеет еще две степени свободы вращательного движения. Вращение вокруг третьей оси, проходящей через оба атома, лишено смысла. Значит, у двухатомного газа пять степеней свободы (i = 5). У трехатомной (рис. 1, в) и многоатомной нелинейной молекулы шесть степеней свободы: три поступательных и три вращательных. Естественно считать, что жесткой связи между атомами не существует. Поэтому необходимо учитывать для реальных молекул также степени свободы колебательного движения.

Рис.1

При любом числе степеней свободы данной молекулы три степени свободы всегда поступательные. Ни одна из поступательных степеней свободы не имеет преимущества перед другими, значит на каждую из них приходится в среднем одинаковая энергия, равная 1/3 значения <ε0> (энергия поступательного движения молекул):

В статистической физике выводится закон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул: для статистической системы, которая находится в состоянии термодинамического равновесия, на каждую поступательную и вращательную степени свободы приходится в среднем кинетическая энергия, равная kT/2, а на каждую колебательную степень свободы — в среднем энергия, равная kT. Колебательная степень обладает вдвое большей энергией, т.к. на нее приходится как кинетическая энергия (как в случае поступательного и вращательного движений), так и потенциальная, причем средние значения потенциальной и кинетической и энергии одинаковы. Значит, средняя энергия молекулы

где i — сумма числа поступательных, числа вращательных в удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы: i=iпост+iвращ+2iколеб

В классической теории рассматривают молекулы с жесткой связью между атомами; для них i совпадает с числом степеней свободы молекулы.

Так как в идеальном газе взаимная потенциальная энергия взаимодействия молекул равна нулю (молекулы между собой не взаимодействуют), то внутренняя энергия для одного моля газа, будет равна сумме кинетических энергий NA молекул:

(1)

Внутренняя энергия для произвольной массы m газа.

где М — молярная масса, ν — количество вещества.

Число степеней свободы тела — это сколько координат надо знать, чтобы отнгозначно описать его движение. Например, для материальной точки (имеющей нулевой размер) достаточно знать три параметра — по осям коголрдинат.
В молекулярно-кинетической теории газов, помимо трех поступательных степеней свободы, есть и вращательные, число которых зависит от строения молекулы газа. Например, для кислорода или азота (молекула из двух атомов) надо рассматривать вращение вокруг двух осей (потому что вокруг третьей — это вдоль молекулы, и там нет изменения положения никакого). Для более сложных, например, аммиак, появляются все три дополнительные вращательные степени свободы. Поэтому и энергия молекул должна считаться как, например, 5/2 kT для кислорода или 3kT для аммиака, потому как полное число степеней свободы 5 и 6, соответственно. А вот гелий или неон — одноатомные газы, и для них только 3/2kT, посколку нет вращательных степеней свободы.

Сте́пени свобо́ды — характеристики движения механической системы. Число степеней свободы определяет минимальное количество независимых переменных (обобщённых координат), необходимых для полного описания движения механической системы.

Внутренняя энергияU — энергия хаотического (теплового) движения микрочастиц системы (молекул, атомов, электронов, ядер и т.д.) и энергия взаимодействия этих частиц. К внутренней энергии не относится кинетическая энергия движения системы как целого и потенциальная энергия системы во внешних полях.Внутренняя энергия -однозначная функция термодинамического состояния системы, т.е. в каждом состоянии система обладает вполне определенной (единственной) энергией. Внутренняя энергия не зависит от того, как система пришла в данное состояние: при переходе из состояния (1) в состояние (2) изменение внутренней энергии DU определяется только разностью значений внутренней энергии этих состояний DU = U₁ — U₂ и не зависит от пути перехода.

Число степеней свободы системыi — это число независимых переменных (координат), полностью определяющих положение системы в пространстве:

— Одноатомная молекула идеального газа имеет три степени свободы поступательного движения, т.е. i=3.

— Двухатомная молекула идеального газа имеет три степени поступательного движения и две степени свободы вращательного движения, т.е. i=5.

— Трехатомная молекула (и вообще нелинейная многоатомная молекула) идеального газа имеет три степени поступательного движения и три степени вращательного движения, т.е. i=6.

— Для реальных молекул следует учитывать также степени свободы колебательного движения.

— Независимо от числа степеней свободы молекул три степени свободы всегда поступательные; ни одна из поступательных степеней свободы не имеет преимущества перед остальными.

Закон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул:

для системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, на каждую поступательную и вращательную степени свободы приходится в среднем кинетическая энергия, равная kT/2, а на каждую колебательную степень — в среднем энергия, равная kT (на колебательную степень свободы приходится не только кинетическая энергия, но и потенциальная, причем средние значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы). Таким образом, средняя энергия молекулыЕ> = ikT/2, где i — сумма числа поступательных i_пост, числа вращательных i_вращ и удвоенного числа колебательных i_колеб степеней свободы молекулы i = i_пост + i_вращ + 2i_колеб. Для идеального газа i совпадает с числом степеней свободы молекулы.

Внутренняя энергия 1 моль идеального газа равна сумме кинетических энергий N_A молекул

и изменение внутренней энергии 1 моль идеального газа dU_m =(iR/2)dT (1b)

(молекулы между собой не взаимодействуют и поэтому взаимная потенциальная энергия молекул газа равна нулю).

Внутренняя энергия произвольной массы m идеального газа U = (m/M)(iRT/2)=n(iRT/2), где М — молярная масса (масса одного моля), n = m/M — количество вещества.

Энергия молекул

Количество независимых переменных, которыми определяется состояние системы, называют числом степеней свободы. Для полной характеристики энергетического состояния движения материальной точки в момент времени t требуется задать три компоненты скорости для того, чтобы определить кинетическую энергию и три координаты, чтобы определить потенциальную энергию, получается всего необходимо шесть переменных. В случае динамического рассмотрения движения материальной точки эти переменные являются зависимыми. Статистическая система, которая состоит из n точек, имеет 6n степеней свободы. Из них 3n степеней свободы — носители кинетической энергии и 3n — носители потенциальной энергии, если система находится в поле внешних сил или частицы взаимодействуют между собой.

Степени свободы

Степени свободы делят на: поступательные, вращательные и колебательные. Три степени свободы материальной точки — поступательные. Система из n материальных точек, между которыми нет жестких связей имеет 3 n степени свободы. Каждая жесткая связь уменьшает число степеней свободы на единицу. Рассмотрим молекулу, состоящую из двух атомов, если считать, что между атомами существует одна жесткая связь, то такая молекула имеет пять степеней свободы, три поступательные и две вращательные. Если связь квазиупругая, то степеней свободы будет шесть, причем из них три поступательные, две вращательные и одна колебательная. Трехатомной нелинейной молекуле с жесткой связью между атомами нужно приписать шесть степеней свободы — три поступательные, три вращательные. Поступательные степен свободы не имеют преимуществ друг перед другом.

Средняя энергия молекулы

Согласно закону равномерного распределения энергии по степеням свободы на каждую степень свободы в среднем приходится одинаковая кинетическая энергия равная $\left\langle <\varepsilon >_i\right\rangle =\frac<1><2>kT$. В таком случае можно сказать, что средняя энергия молекулы $\left\langle <\varepsilon >\right\rangle$ равна:

где $i=m_+m_+2m_$- сумма числа поступательных, вращательных и удвоенного количества колебательных степеней свободы, $k$ — постоянная Больцмана, T- термодинамическая температура. Возникновение коэффициента 2 при подсчёте энергии колебаний объясняется просто: При колебаниях частица имеет как кинетическую, так и потенциальную энергии. Если колебания гармонические, то эти энергии в среднем равны друг другу. Соответственно, $\left\langle <\varepsilon >_\right\rangle =kT$.

Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы является приближенным, так как получен на основе классической механики и нарушается, если существенными становятся квантовые эффекты.

Готовые работы на аналогичную тему

Необходимо отметить, что поступательно могут двигаться только молекулы газов.

Из(1) следует, что одноатомные молекулы имеют среднюю кинетическую энергию:

Полную энергию i частицы можно представить:

где $U_i\left(x_i,y_i,z_i\right)$- потенциальная энергия сложной частицы во внешних полях, $<\xi >_$- отклонение от положения равновесия частицы при колебаниях, $<\eta >_$- скорость колебательных движений частицы, первый индекс обозначает номер сложной частицы, второй определяет номер частицы внутри сложной, $v_i$ — скорость центра масс сложной частицы, $m_i$- масс частицы, $J_1,J_2,J_3$- моменты инерции вращения частицы, $w_1,w_2,w_3$ — угловые скорости вращения частицы относительно ее главных осей. Индекс j принимает столько значений, сколько необходимо, чтобы исчерпать все степени свободы сложной частицы.

Задание: Сравните средние энергии молекул кислорода и азота при одинаковых температурах.

Кислород имеет двухатомную молекулу ($O_2)$, предположим, что связь между атомами жесткая, следовательно, молекула кислорода обладает пятью степенями свободы (тремя поступательными и двумя вращательными). Из закона равномерного распределения энергии по степеням свободы имеем средняя энергия молекулы:

\[\left\langle \varepsilon \right\rangle =\frac<2>kT\to \left\langle <\varepsilon >_\right\rangle =\frac<5><2>kT\ \left(1.1\right)\]

Азот имеет двухатомную молекулу ($N_2)$, предположим, что связь между атомами жесткая, следовательно, молекула азота также обладает пятью степенями свободы. Соответственно:

Ответ: Средние энергии молекул кислорода и азота при одинаковых температурах одинаковы.

Задание: Водород находится в сосуде при температуре T=300K. Определите среднюю энергию вращательного движения молекул.

Основой для решения задачи является закон равномерного распределения энергии по степеням свободы. Из него известно, что на каждую степень свободы приходится в среднем энергия $\left\langle <\varepsilon >_i\right\rangle $, равная:

\[\left\langle <\varepsilon >_i\right\rangle =\frac<1><2>kT\ \left(2.1\right).\]

Следовательно, чтобы решить задачу, осталось определить, сколько вращательных степеней свободы имеет молекула водорода. Для этого вспомним химическую формулу водорода:

В молекуле имеется два атома, если молекула жесткая, то общее число степеней свободы такой молекулы будет равно пяти. Из них три приходятся на поступательные степени свободы, на вращательные степени свободы остается две степени. Соответственно:

Ответ: Средняя энергия вращательного движения молекул водорода при заданных условиях равна $4,14\cdot <10>^<-21>Дж$.

Задание: Чему равна суммарная средняя кинетическая энергия молекул двухатомного газа, заключенного в объеме 4 л при давлении 1,47 $\cdot <10>^5$Па? Молекулы считать жесткими.

Жесткие двухатомные молекулы имеют пять степеней свободы. Средняя энергия движения молекулы определяет формула:

\[\left\langle \varepsilon \right\rangle =\frac<2>kT\to \left\langle \varepsilon \right\rangle =\frac<5><2>kT\left(3.1\right).\]

Следовательно кинетическая энергия всех N молекул газа может быть найдена, как:

\[\left\langle E\right\rangle =\frac<5><2>NkT\ \left(3.2\right).\]

\[p=nkT,\ где\ n=\frac\to pV=NkT\left(3.3\right).\]

Подставим в (3.2) уравнение из (3.3), получим:

\[\left\langle E\right\rangle =\frac<5><2>pV\ \left(3.4\right).\]

Переведем данные в СИ: V=4 л=4$\cdot <10>^<-3>м^3$

\[\left\langle E\right\rangle =\frac<5><2>1,47\ \cdot <10>^5\cdot 4\cdot <10>^<-3>=1470\ (Дж)\]

Ответ: Суммарная средняя кинетическая энергия молекул двухатомного газа при заданных условиях равна $1470\ Дж.$

Похожие публикации:

1. Xshare что это за программа
2. Yii2 gii как запустить
3. Zanussi zob482x как почистить стекло
4. Zxx что это